2024-2025學(xué)年廣東省江門市高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某體育場一角看臺(tái)的座位是這樣排列的：第1排有12個(gè)座位，從第2排起每一排都比前一排多2個(gè)座位，則第7排有（）個(gè)座位.A.20 B.22 C.24 D.26【正確答案】C【分析】利用等差數(shù)列定義計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)第排的座位個(gè)數(shù)為，易知成等差數(shù)列，且；所以可得.故選：C2.在等比數(shù)列中，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的概念可求得，由此可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵，∴，故，∴.故選：C.3.已知數(shù)列滿足且，則（）A.-3 B.3 C. D.【正確答案】B【分析】由已知可得數(shù)列是以2為公差等差數(shù)列，再，代入可得選項(xiàng).【詳解】,∴數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，，，，，故選：B.本題考查等差數(shù)列的定義，等差數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4.若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（）A. B.3 C.9 D.27【正確答案】D【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得等比數(shù)列的公比，即可得解.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，故，即有，化簡得，解得或（舍），故.故選：D.5.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，則()A. B.C. D.【正確答案】A【分析】等差數(shù)列前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列{}為等差數(shù)列，公差為原數(shù)列公差的一半﹒【詳解】設(shè)的公差為d，∵∴，即{}為等差數(shù)列，公差為，由知，故﹒故選：A﹒6.在適宜的環(huán)境中，一種細(xì)菌的一部分不斷分裂產(chǎn)生新的細(xì)菌，另一部分則死亡.為研究這種細(xì)菌的分裂情況，在培養(yǎng)皿中放入m個(gè)細(xì)菌，在1小時(shí)內(nèi)，有的細(xì)菌分裂為原來的2倍，的細(xì)菌死亡，此時(shí)記為第一小時(shí)的記錄數(shù)據(jù).若每隔一小時(shí)記錄一次細(xì)菌個(gè)數(shù)，則細(xì)菌數(shù)超過原來的10倍的記錄時(shí)間為第（）A.6小時(shí)末 B.7小時(shí)末 C.8小時(shí)末 D.9小時(shí)末【正確答案】A【分析】由題意可知每小時(shí)末的細(xì)菌數(shù)構(gòu)成了等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式，列出相應(yīng)的不等式，求得答案.【詳解】設(shè)表示第n小時(shí)末的細(xì)菌數(shù)，依題意有，，則是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比，所以.依題意，，即，所以,由于，又，所以，所以第6小時(shí)末記錄的細(xì)菌數(shù)超過原來的10倍,故選:A.7.數(shù)列中，，，若，則（）A.8 B.9 C.10 D.11【正確答案】A【分析】由得出是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解.【詳解】由，令，則，故是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，，故，故選：A.8.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀把數(shù)分類，如圖中第一行1，3，6，10稱為三角形數(shù)，第二行的1，4，9，16稱為正方形數(shù)，下列數(shù)中既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)的是（）A.100 B.289 C.1225 D.1378【正確答案】C【分析】由題意，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程，可得答案.【詳解】由題意，三角形數(shù)可看作，，，，，則第個(gè)三角形數(shù)為，正方形數(shù)可看作，，，，則第個(gè)正方形數(shù)為；對(duì)于A，令，得，令，其解不是正整數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，得，令，其解不是正整數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，得，令，解得，故C正確；對(duì)于D，，其解不是正整數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若a1>0，S10＝S20，則（）Ad<0B.a16<0C.Sn≤S15D.當(dāng)且僅當(dāng)n≥32時(shí)，Sn<0【正確答案】ABC【分析】由，得a1＝d，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)可以判斷每一個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S10＝S20，得10a1＋d＝20a1＋d，化簡得a1＝d.因?yàn)閍1>0，所以d<0，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閍16＝a1＋15d＝d＋15d＝d，又d<0，所以a16<0，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閍15＝a1＋14d＝d＋14d＝－d>0，a16<0，所以S15最大，即Sn≤S15，故C正確；對(duì)于D，，若Sn<0，又d<0，則n>30，故當(dāng)且僅當(dāng)n≥31時(shí)，Sn<0，故D錯(cuò)誤．故選：ABC10.已知數(shù)列滿足，，則（）A.B.是等差數(shù)列C.一定是等比數(shù)列D.數(shù)列的前99項(xiàng)和為【正確答案】BC【分析】令，可求的值，判斷A的真假；遞推公式兩邊同除以，可得，可得的特征，判斷B的真假；進(jìn)一步可求的通項(xiàng)公式，判斷C的真假；利用裂項(xiàng)求和法可求數(shù)列的前99項(xiàng)和，判斷D的真假.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)：令可得：，故A錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)：遞推公式兩邊同除以，可得，即，又，所以是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，故B正確；對(duì)C選項(xiàng)：由B可知：，所以，所以，所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故C正確；對(duì)D選項(xiàng)：因?yàn)?，所以?shù)列的前99項(xiàng)和為：，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.在等差數(shù)列中，已知，公差為，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】對(duì)A：利用等差數(shù)列基本量求得，再求即可；對(duì)B：利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求得的前項(xiàng)和；對(duì)C：對(duì)分類討論，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，利用分組求和法即可求得結(jié)果；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，利用前項(xiàng)和與的關(guān)系即可求得結(jié)果；對(duì)D：對(duì)C中所求的，進(jìn)行賦值，即可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)A：由題可知：，故可得，顯然數(shù)列是周期為2的數(shù)列，又，故是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：設(shè)的前項(xiàng)和為，則，故B正確；對(duì)C：，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上所述，；對(duì)D：，故D正確.故選：BCD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考察等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的基本量的運(yùn)算；對(duì)CD選項(xiàng)，解決問題的關(guān)鍵是，對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，利用分組求和法進(jìn)行求解；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，利用與的關(guān)系進(jìn)行求解.屬綜合困難題.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則______．【正確答案】##0.125【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列項(xiàng)間關(guān)系求出公比即可.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由，得，因此，，所以.故13.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），.（1）若，則_________；（2）若，則m所有可能的取值集合為____.【正確答案】①.4②..【分析】根據(jù)數(shù)列的周期性、逆推來求得正確答案.【詳解】（1），可知數(shù)列可看作從第8項(xiàng)起以3為周期的數(shù)列，因?yàn)?，所以，?）依題意，，且當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，可得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，可得，則，不滿足正整數(shù)的條件，舍去.所以.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，可得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，可得，則，不滿足正整數(shù)的條件，舍去.所以.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，可得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，可得，則.所以或.當(dāng)時(shí)：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，可得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，可得，則，不滿足正整數(shù)的條件，舍去.當(dāng)時(shí)：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，可得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，可得，則，不滿足正整數(shù)的條件，舍去.所以或.當(dāng)時(shí)：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，可得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，可得，則.當(dāng)時(shí)：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，可得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，可得，則，不滿足正整數(shù)條件，舍去.所以或或.當(dāng)時(shí)：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，可得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，可得，則，不滿足正整數(shù)的條件，舍去.當(dāng)時(shí)：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，可得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，可得，則，不滿足正整數(shù)的條件，舍去.當(dāng)時(shí)：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，可得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，可得，則.所以或或或.當(dāng)時(shí)：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，可得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，可得，則.當(dāng)時(shí)：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，可得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，可得，則.當(dāng)時(shí)：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，可得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，可得，則，不滿足正整數(shù)的條件，舍去.當(dāng)時(shí)：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，可得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，可得，則，不滿足正整數(shù)的條件，舍去.綜上，所有可能的取值集合.故；14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，（），則為______.【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用變形，再利用構(gòu)造法求出.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，整理得，即，顯然當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列，因此，所以.故四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，求證.【正確答案】（1），（2）證明見解析【分析】（1）利用數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系求解即可.（2）利用裂項(xiàng)相消法得到，再結(jié)合證明不等式即可.小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也成立，所以，.【小問2詳解】因?yàn)椋瑒t.16.在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若記為中落在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求的前k項(xiàng)和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合通項(xiàng)公式求解即得.（2）解不等式求出，再利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.【小問1詳解】等差數(shù)列中，由，得，而，解得，因此數(shù)列的公差，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.【小問2詳解】由（1）知，，由，得，整理得，因此正整數(shù)滿足，從而得，所以的前k項(xiàng)和為.17.數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義可證明結(jié)論.（2）利用累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（3）求出，利用錯(cuò)位相減法和分組求和可得結(jié)果.【小問1詳解】∵，∴，即，∴數(shù)列是等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）得數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，∴.【小問3詳解】由（2）得，.設(shè)①，則2②①②得：，∴，∴.18.已知等比數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是遞增數(shù)列，若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若不是遞增數(shù)列，，求的最小值．【正確答案】（1），，（2）（3）答案見解析【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立關(guān)于q得方程，求出即可求解；（2）根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性，由（1）得，進(jìn)而不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可求解；（3）根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性可知或，分類討論為偶數(shù)和奇數(shù)時(shí)的情況，求出對(duì)應(yīng)的即可求解.【小問1詳解】設(shè)的公比為，則，若，則．若，則．所以的公比為，，4，所以的通項(xiàng)公式為：，，．【小問2詳解】若是遞增數(shù)列，則，則有，，等價(jià)于，恒成立，令，即．而．時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，，，，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【小問3詳解】若不是單調(diào)數(shù)列，則，或．（i）當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．所以此時(shí)的最小值為．（ii）當(dāng)時(shí)，．①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，且為遞增數(shù)列，；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，不可能為最小值．所以此時(shí)的最小值為．19.已知數(shù)列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，?，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，，再接下來的三項(xiàng)是，，，以此類推．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，規(guī)定：若，使得，則稱為該數(shù)列的“類比數(shù)”．（1）將該數(shù)列的“類比數(shù)”從小到大排列，直接寫出前3個(gè)“類比數(shù)”；（2）試判斷50是否為“類比數(shù)”，并說明理由；（3）①求滿足最小的“類比數(shù)”；②證明：該數(shù)列的“類比數(shù)”有無數(shù)個(gè)．【正確答案】（1）前3個(gè)“類比數(shù)”為2，4，13；（2）不是“類比數(shù)”，理由見解析；（3）①1836；②證明見解析.【分析】（1）根據(jù)“類比數(shù)”的定義直接求出該數(shù)列的前3個(gè)“類比數(shù)”即可.（2）首先根據(jù)規(guī)律求出，再根據(jù)定義看是否存在正整數(shù)p使得.（3）求出前組的和為，進(jìn)而求出，讓，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，所?不是該數(shù)列的“類比數(shù)”．因?yàn)?，，，所以該?shù)列的前3個(gè)“類比數(shù)”為2，4，13.【小問2詳解】由題意可得數(shù)列如下：第1組：1；第2組：1，2；第3組：1，2，4；…第組：．所以該數(shù)列的前項(xiàng)的和為，（*）當(dāng)時(shí)，，則，由