專題29方程思想

閱讀與思考

所謂方程思想就是從問題中發現或者構造等量關系，恰當引入未知量，尋找已知量與未知量的等量

關系，列方程或方程組，通過解方程或方程組而使問題獲解的解題方法.

應用方程思想解決問題的常見途徑有：

1．引入字母，把代數式的化簡求值問題轉化為方程或方程組問題來解；

2．突出主元，把等式看作是其中某個字母的方程，將問題轉化為方程或方程組問題來探討；

3．構造一元二次方程，利用求根公式、根的判別式、根與系數的關系等知識，求解代數式的相關

問題；

4．列方程、方程組解應用題；

5．通過列方程或方程組解幾何計算題，把幾何問題代數化．

17世紀，法國數學家笛卡爾曾有過一個偉大的設想：把所有問題化歸數學問題化歸

代數問題化歸方程問題．

雖然笛卡爾的理想在他的一生中未能實現，但隨著計算機的廣泛應用，人們已經越來越體驗到方程

思想的重要性．

構造一元二次方程是方程思想解題最重要的途徑，在代數式的化簡求值、求字母取值范圍、探求最

值等方面有廣泛的應用．常用的構造方法有：

①用根的定義構造；

②用韋達定理的逆定理構造；

③對于含有多個字母的變元等式問題，把等式整理為關于某個字母的一元二次方程.

例題與求解

【例1】已知：a，b，c，d是四個不同的有理數，且（a＋c）(a＋d)＝1，(b＋c)(b＋d)＝1，

那么(a十c)(b＋c)的值是_______________．（江蘇省競賽試題）

解題思路：本例內容新穎，構思巧妙，解題思路寬廣，或用特殊值代入試算、或從變形已知等式入

手.仔細觀察已知兩個等式特點，a，b可看作是方程(x＋c)(x＋d)＝1的兩根，利用方程思想揭示題

設條件與結論的內在規律．

【例2】化簡3535的結果是()

A．10B．2C．5D．2

（武漢市選拔賽試題）

解題思路：設3535＝x，將二次根式的化簡問題轉化為解方程.

424

【例3】已知實數x，y滿足3，y4y23，則y4的值為()

x4x2x4

113713

A.7B．C．D．5

22

（全國初中數學聯賽試題）

解題思路：本題可以構造一元二次方程，利用根與系數關系——韋達定理解決.

xyxzyz

【例4】已知2，3，4，求7x5y2z的值．

xyxzyz

（“《數學周報》杯”天津競賽試題）

解題思路：要求的代數式中含三個字母，正好與已知的三個等式中含的三個字母相同，所以可以將

已知的三個等式組成二元二次方程組，求出這些未知數的值．

本例已知的三個等式中含的三個字母相同，結構相同，排列位置循環轉，根據這些特點可構造二次

方程求解，這也是解決這類問題的常見方法.

【例5】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．點P，Q都是斜邊AB上的動點，點P

從B向A運動（不與點B重合），點Q從A向B運動，BP＝AQ.點E，D分別是點A，B以Q，P為對

稱中心的對稱點，HQ⊥AB，垂足為點Q，交AC于點H，當點E到達頂點B時，P，Q同時停止運動，

當BP長為何值時，△HDE為等腰三角形？

（臺州市中考試題改編）

解題思路：本題可結合圖形，從幾何知識中找等量關系列方程．

利用方程思想解幾何題，通常是對某幾何量進行合理設元，根據幾何性質正確列出方程、方程組，

然后化歸為解方程、方程組的有關問題．

著名數學家波利亞曾說：“為了使問題的概念完整，更富于啟發性，更為人所熟悉，我們可以引入

輔助元素”通過引入輔助元素，有利于各知識領域之間的橫向過渡，有利于轉化問題．解決間題．引入

輔助元素的常見形式有：

①引入參數；②引入輔助方程；③引入輔助函數；

④引入輔助配對代數式；⑤恰當作輔助線；⑥引入輔助命題．

【例6】周長為6，面積為整數的直角三角形是否存在？若不存在，請給出證明；若存在，請證明

有幾個．（全國初中數學聯賽試題）

解題思路：設直角三角形的斜邊為c，直角邊分別為a，b，面積為s．由題設條件及幾何知識可得

到關于以a，b，c，s的方程組，這樣，符合條件的直角三角形是否存在的探討就轉化方程組是否有解

的討論．

能力訓練

5432

51aa2aaa2

1．設a，則＝_____________.（全國初中數學聯賽試題）

2a3a

2．一個讀書小組有六位同學，分別姓趙、錢、孫、李、周、吳，這個讀書小組有六本書，書名分別是A，

B，C，D，E，F．每人至少讀過其中的一本書，已知趙、錢、孫、李、周分別讀過其中的2，2，4，3，

5本書，而書A，B，C，D，E分別被小組中的1，4，2，2，2位同學讀過，那么，吳姓同學讀過____

本書，書F被小組中__________位同學讀過．

3．設2x22xk0，2y22yk0，且xy2，那么k＝__________.

（河南省競賽試題）

4．x，y，z是實數，并且滿足xyz0，xyz2，則xyz的最小值是________．

（北京市競賽試題）

5．如圖，AA'，BB'分別是∠EAB，∠DBC的平分線，若AA'＝BB'＝AB，則∠BAC＝________．

（全國初中數學聯賽試題）

2

6．已知xy12xy70，則x23xy2y2的值為()

A．0B．4C．6D.12

7．某單位一次在快餐店訂了22盒盒飯，共花費140元，盒飯共有甲、乙、丙三種，它們的單價分別為

8元、5元、3元，那么可能的不同訂餐方案有()（山東省競賽試題）

A.1個B．2個C．3個D．4個

111b

8．已知a，b都是負實數，且0，那么的值為()（江蘇省競賽試題）

ababa

15151515

A．B．C.D．

2222

9．甲是乙現在的年齡時，乙10歲；乙是甲現在的年齡時，甲25歲，那么()

A．甲比乙大5歲B．甲比乙大10歲C．乙比甲大10歲D．乙比甲大5歲

（全國初中數學競賽試題）

a6b31

10．已知a43a2b23b1，且a2b1，則的值是()（山東省競賽試題）

b3

A．35B．36C．－35D．－36

11．已知x2xyy22，求x2xyy2的取值范圍．（黃岡市競賽試題）

12.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一點.以O為圓心，以OB為半徑作圓，交AC于

E、F，交AB于D.若E是DF的中點，且AE：EF＝3：1，FC＝4，求∠CBF的正弦值及BC的長．

（北京市海淀區中考試題）

13.如圖，在四邊形ABCD中，AD＝DC＝1，∠DAB＝∠DCB＝90°，BC，AD的延長線交于P，求

AB·S△ABP的最小值.（四川省競賽試題）

14.設a1，a2，b1，b2都為實數，a1≠a2，滿足（a1＋b1）（a1＋b2）＝（a2＋b1）(a2＋b2)＝1．求證：

（a1＋b1）（a2＋b1）＝（a1＋b2）(a2＋b2)＝－1.（“祖沖之杯”邀請賽試題）

15.已知a，b，c都是正整數，且拋物線yax2bxc與x軸有兩個不同交點A，B．若A，B到

原點的距離都小于1，求abc的最小值．

（全國初中數學聯賽試題）

16.在平面直角坐標系xOy中，我們把橫坐標為整數，縱坐標為完全平方數的點稱為“好點”.求

二次函數yx9024907的圖象上所有“好點”的坐標．

（《數學周報》杯全國競賽試題）

bcacababc1

17．已知a，b，c為正數，滿足以abc32①，②．證明：

bccaab4

以a，b，c為三邊長可構成一個直角三角形．

（全國初中數學聯賽試題）

18.一個自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000km后報廢；若把它安裝在后輪，則

自行車行駛3000km后報廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎，如果交換前、后輪胎，要使一輛自

行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛車將能行駛多少km?

（全國初中數學競賽試題）

19.如圖，AB為半圓⊙O的直徑，動點C在半圓上，CD⊥AB于D，⊙O1與AC內切且與AB，CD

相切，⊙O2與CB內切且與AB，CD相切，E，F是AB上的兩個切點，求證：∠ECF＝45°.

專題29方程思想

例1.-1提示：a、b是方程(xc)(xd)10的兩個根，由根的性質得

(xc)(xd)1（xa）(xb)，將x=-c代入上式得－1=(－c－a)(－c－b)，即(a+c)(b+c)=－1．例

42

2B例3A提示：解法一：∵3，

x4x2

2222

()2()3．又y4+y2=3，即（y2)2+y2=3，且0，y2≥0，∴0，y2是一元二次方程

x2x2x2x2

22

t2+t－3=0的兩個不等實根．由韋達定理，y2=－1，y2=－3，

x2x2

422

y4(y2)22(y2)=1+6=7．解法二：∵x2>0，y2≥0，由已知條件得

x4x2x2

1244431131143113422

，y2=，∴y433y2y267．

x28422x4x2x2

xyxzyz111111111

例42,3,4，①，②③．①+②－③得

xyxzyzxy2xz3yz4

2111242111242111

，解得x=;①+③－②得，解得y；②+③－①得，解得

x2347y2435z342

1111

z=24．∴7x+5y－2z=0．例5分當BP≤AB，AB<BP<AB，BP=AB三種情況討論．當

4422

4040640

BP=,,5,時，HDE為等腰三角形．

2111231

abcab①

abc6②

22

例6由題意得a2b2c2③由①②得2c<a+b+c=6<3c，∴2<c<3⑤．由②有（a+b)=(6－c)，

1

Sab④

2

11

將③④代入得3C=9－s，∴有6<3c<9，從而3C=7或3c=8．若3c=7，則s=2，代入②④得a+b=，ab=4，

3

105757

由于此時方程組無解，故此情形不可能；若3c=8，則s=1，此時a+b=，ab=2．解得a,b，

333

8

而c=，以這三個數為邊長構成唯一的直角三角形．

3

515135

能力訓練1．－2提示：a,a2()21a，∴a2+a=1，

222

a3(a2a)2a3(a2a)2a32a3121a31a3

=(1aa2)2．2．16提

aa2aa(1a)aa21a

示：六位同學讀過的書的總本數等于六本書被讀過的人次總數．3．∵x－y=2，即x≠y，∴x，y是方

k32

程2z2－2z+k=0的兩根，x+y=1，xy=，又x－y=2，∴k=2xy=－．4．4由x+y=－z，xy=知，

22z

2

x，y是方程t2+zt+=0的兩根，由Δ≥0得z≥2，又|x|+|y|=－(x+y)=z≥2．5．設∠BAC=x，則

z

1

B'BD2x,CBD4x,AA'BABA'CBD4x，A'AB(1800x)，∴

2

1

(1800x)+4x+4x=1800，解得x=120．6．B7．C提示：設該單位訂甲、乙、丙三種盒飯分

2

xyx22①

別有x，y，z盒，則①×8－②得3y+5z=36，5z=36－3y≤36．由此可知z≤7，且

8x5y3z140②

3y，36均是3的倍數知z是3的倍數．∴z的可能值為0，3，6，相應的y的值為12，7，2．∴共有3

x10x12x14

組解：y12，y7，y2，8．C9．A提示：設甲現在x歲，乙現在y歲，x>y，則有

z0z3z6

y(xy)10111

，10．D提示：由已知得a4+3a2－1=0，()23()10，∴a2，是方程x2+3x

x(xy)25bbb

11a2

－1=0的根．又由a2b≠1得a2≠，由根與系數關系得a2+=－3，=－1，∴

bbb

a6b31111a22

a6(a2)[(a2)23]36．11．x2xyy26提示：設

b3b3bbb3

22

xxyym2m6m6m2m

，則xy，(x+y)=，∴x，y是方程z2z0的兩個實根．由

22

xxyy22222

26m22

Δ≥0得m，又(xy)20，m6．12．sinCBF=，BC=10提示：；連結

3233

OE，DF，則OE∥BF，∴AE：EF=AO：OB=3：1，OE：BF=3：4，∴AE=3EF，AO：AB=3：4．設

46

OB=r，則AO=3r，BF=r，AD=2r．由AE·AF=AD·AB得EF=r．在RtΔABC中，BC2=CF·CE=4

33

76FB

（4+EF）=AC2－AB2，解得r=，sin∠CBF=sin∠BDF=．13．設DP=x，則PC=x21，

4DB

2

x1(x1)2

AB=．又設y=AB·SΔABP=，即x+2(1－y)x+1+2y=0．由Δ≥0得y≥4，故AB·SΔABP的

x212(x1)

最小值為4．14．由題設知x1=a1，x2=a2是一元二次方程（x+b1）(x+b2)－1=0的兩根，∴（x+b1）(x+b2)

－1=（x1－a1）(x2－a2)．令x=－b1，得（a1+b1）(a2+b1)=－1；令x=－b2，得（a1+b2）(a2+b2)=－1．15．設

2bc

A(x1，0)，B(x2，0)，且x1<x2，則x1，x2是方程ax+bx+c的兩根，∴x1+x2=＜0，x1x2=＞0，則x1

aa

＜，＜∵方程有兩個不相等的實根，∴△2＞，得＞①∵，

0x20.=b-4ac0b2ac.OAx1＜1

，即＜＜，

OBx2＜1-1x10

c

-1＜x2＜0，∴xx＜1，得c<a②．從而a≥1，故拋物線開口向上．旦當x=-1時，y>0．∴

a12

a(1)2b(1)c＞0，得b<a+c．∵b，a+c是整數，∴a+c≥b+l③．由①得a+c>2ac+1→

(ac)2>1．由②得ac>1∵a>c+1，即a>（c+1）2≥（1+1）2=4，∴a≥5．又b>2ac

≥251>4，∴b≥5．取a=5，b=5，c=1時．拋物線y=5x2+5x+l滿足題設條件，故a+b+c的最小值

為5+5+l=ll.16.設y=m2，（x-90）2=k2，m，k都是非負數，則k2-m2=7×701=1×4907，即(k+m)（k-m）

km701km4907k1354,k22454,

=7×701=1×4907.∴或，解得∴

km7km1m1347;m22453.

x1444,x2264,x32544x42364

∴“好點”共有4個，它們的坐標分別

y1120409;y2120409;y36017209y46017209

為：（444，120409）．（-264,120409），(2544,6017209)，（-2364,6017209）．

bcaacbabc

17．①×②得()(abc)=8

bccaab

(bc)2a2(ac)2b2(ab)2c2

→=8

bccaab

(bc)2a2(ca)2b2(ab)2c2

→44=0

bccaab

(bc)2a2(ca)2b2(ab)2c2

→=0

bccaab

(bca)(bca)(cba)(cba)(abc)(abc)

→=0

bccaab

(bca)

→a(bca)b(cab)c(abc)=0

abc

(bca)

→(2aba2b2c2)0

abc

(bca