2025屆甘肅省張掖市高三下學期數學檢測試卷（一模）一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數在復平面內對應的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】D【分析】根據虛數單位的乘方運算，可得其周期，結合復數的幾何意義，可得答案.【詳解】由，且，則，所以，可得其在復平面上對應的點為，即該點在第四象限.故選：D.2.已知向量不共線，且，若與同向共線，則實數λ的值為（）A.1 B.C.1或 D.或【正確答案】B【分析】由共線可得，求解可得或，檢驗可求得的值.【詳解】因為與共線，所以，解得或.若，則，則，此時與方向相反，故舍去；若，則，則，此時與方向相同.故.故選：B.3.已知圓錐的底面半徑和球的半徑相等，且它們的表面積相等，則該圓錐和球的體積之比為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設球的半徑及圓錐的底面半徑均為，圓錐的母線長為，再根據球與圓錐的表面積公式求得，根據勾股定理求得，再結合球與圓錐的體積公式分析體積比即可【詳解】設球的半徑及圓錐的底面半徑均為，圓錐的母線長為，則，所以，球的體積為，圓錐的高，圓錐的體積為，所以圓錐的體積與球的體積的比值為．故選：C．4.若方向向量為的直線與圓相切，則直線的方程可以是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據直線的方向向量得出斜率，設點斜式方程，再由圓心到直線距離等于半徑求解.【詳解】由直線的方向向量為知，直線的斜率，設直線方程為，則由直線與圓相切知，圓心到直線的距離，解得或，所以直線的方程為或，即或，故選：B5.已知函數的定義域為R，且為奇函數，為偶函數，當時，，則（）A.0 B.1 C.2 D.2025【正確答案】C【分析】由函數奇偶性，確定為周期函數，再結合，求得，即可求解.【詳解】因為為奇函數，所以關于點中心對稱，又為偶函數，所以關于直線對稱，所以為周期函數且周期，∴，∵，∴，∴.故選:C．（新情境題）6.閬中熊貓樂園承載著許多人的回憶，將樂園的摩天輪圖（1）所示抽象成圖（2）所示的平面圖形．已知摩天輪的半徑為40米，其中心點距地面45米，摩天輪按逆時針方向勻速轉動，每24分鐘轉一圈．摩天輪上一點距離地面的高度為（單位：米），若從摩天輪的最低點處開始轉動，則與轉動時間（單位：分鐘）之間的關系為．則摩天輪轉動8分鐘后，求點距離地面的高度（）A.50米 B.60米 C.65米 D.75米【正確答案】C【分析】由圖易得振幅，平衡軸，周期，再由題意知函數經過點，代入解得初相，從而可得函數，即可得當分鐘時，點距離地面高度米.【詳解】由題意知：摩天輪上一點距離地面的高度為（單位：米）與轉動時間（單位：分鐘）之間的關系為．所以由圖可知，，，于是，由于點是從摩天輪的最低點處開始按逆時針開始轉動，則當時，，代入點得，，又，解得，又由函數的周期，解得，則，當（分鐘）時，（米）.故選：C7.曲線與的公切線的斜率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據導數的幾何意義分別求的切線，結合題意列式求解即可.【詳解】因為，則，設切點坐標為，切線斜率為，可得切線方程為，即；因為，則，設切點坐標為，切線斜率為，可得切線方程為，即；由題意可得：，解得，所以公切線的斜率為.故選：A.（新情境題）8.有個盲盒，其中有個內有獎品.若抽獎者選定了一個盲盒但未打開時組織方（知道盲盒內部是否有獎品）打開了一個沒有獎品的盲盒，此時抽獎者重新選定另外一個盲盒后打開，記此時中獎的概率為；若抽獎者選定了一個盲盒但未打開時有個未選的盲盒因被風吹掉而意外打開，且抽獎者發現其內部沒有獎品，此時抽獎者重新選定另外一個盲盒后打開，記此時中獎的概率為，則對任意符合題意的，，都有（）A. B. C. D.無法確定與的大小關系【正確答案】C【分析】利用古典概型概率公式和全概率公式，求出和，由比值確定大小關系.【詳解】設事件為“最終中獎”，事件為“一開始選中的有獎”，則，在組織方打開無獎的盲盒后，若一開始選中的有獎，則剩余個盲盒中有個獎品，更換后，若一開始選中的無獎，則剩余個盲盒中有個獎品，則更換后，故，由于風吹掉為隨機吹掉，故所有個盲盒中有個獎品，且所有盲盒中有獎品的概率相等，，因此，故.故選：C方法點睛：設事件為“最終中獎”，事件為“一開始選中的有獎”，則，，利用的值，判斷和的大小關系.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了研究y關于x的線性相關關系，收集了5組樣本數據(見下表)：x12345y0.50.811.21.5假設經驗回歸方程為，則（）A.B.當時，y的預測值為2.2C.樣本數據y的40%分位數為0.8D.去掉樣本點后，x與y樣本相關系數r不變【正確答案】ABD【分析】對于A選項：根據回歸直線必過點解得;對于B選項：結合經驗回歸方程的性質即可求解；對于C選項：結合百分位數的定義即可求解；對于D選項：根據相關系數的性質即可判斷；【詳解】對于A選項：線性回歸方程必過點，，，解得，所以選項A正確；對于B選項：當時，可以的出y的預測值為2.2,所以B選項正確；對于C選項：從小到大排列共有5個數據，則是整數，則第40百分位數為從小到大排列的第2、3個數據的平均數，即第40百分位數為0.9，所以C選項錯誤；對于D選項：因為相關系數為,5組樣本數據的相關系數為：

，

去掉樣本中心點后相關系數為，所以相關系數r不變,所以D選項正確；故選：ABD10.已知拋物線：與雙曲線：有相同的焦點，點在拋物線上，則下列結論正確的是（）A.雙曲線的離心率為2B.雙曲線的漸近線為C.D.點到拋物線的焦點的距離為3【正確答案】ACD【分析】選項A由雙曲線的方程可得進而可得，即可得；選項B由焦點在軸上雙曲線漸近線方程可得；選項C先由點在拋物線上判斷，在根據焦點相同可得；選項D由拋物線的定義，將點到拋物線的焦點的距離轉化為到拋物線準線的距離可得.【詳解】選項A：由得，，，故，所以，故A正確；選項B：由得漸近線方程為：，故B錯誤；選項C：因點在拋物線上，可得開口向右，，由選項A得的焦點為，故的焦點坐標為，得，即，故C正確；選項D：由選項C知，拋物線：，故其準線為，由拋物線的定義知點到拋物線的焦點的距離為到拋物線準線的距離為，故D正確.故選：ACD11.已知，則下列說法正確的是（）A.當時，為增函數. B.當時，的值域為.C.. D.與軸有兩個交點時，.【正確答案】ACD【分析】對于A，當時，可得為增函數；對于B，當時，分別求出當時和當時的值域，即可判斷；對于C，當時，分和時，，再代入計算即可；對于D，分類討論當和時，和，與軸交點情況，得出與軸有兩個交點時，即可判斷；【詳解】對于A，當時，，當時，為增函數，當時，為增函數，且在處連續，所以為增函數，故A正確；對于B，當時，函數的值域為，函數，因為對稱軸，所以當時，函數單調遞增，所以其值域為，因為當時，，所以的值域不為，故B錯誤；對于C，當時，若，則，若，則，所以，故C正確；對于D，當時，若，函數與軸有一個交點，若，則函數與軸的交點由方程決定，此時方程須有一個實根，則，解得，則，當時，若，函數與軸沒有交點，若，方程有兩個不同實根時，函數的對稱軸，則，解得或，且，則，綜上，與軸有兩個交點時，故D正確.故選：ACD.關鍵點點睛：判斷分段函數與軸交點個數，須分類討論每段函數與軸交點個數，并且注意交點要滿足自變量的范圍.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，都為銳角，，，則______．【正確答案】【分析】根據題意，由同角三角函數的平方關系分別得到，，再由，結合和差角公式代入計算，即可得到結果.【詳解】因為，都為銳角，所以，由可得，由可得，所以.故13.已知關于的不等式的解集為，若，則實數的取值范圍是______．【正確答案】【分析】若，則將代入不等式求解即可得到的范圍，根據題意求其補集即可.【詳解】關于的不等式的解集為，若，則有，即，所以，解得或．因此若，則故14.已知數列是公差不為的等差數列，，且、、成等比數列，設，則的前項和為______.【正確答案】【分析】設等差數列的公差為，則，根據求出的值，可得出數列的通項公式，然后對任意的，計算出，即可得解.【詳解】設等差數列的公差為，則，因為、、成等比數列，則，即，即，因為，解得，所以，，所以，，對任意，，，，，所以，，因為，故數列的前項和為.故答案為.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.的內角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若為中點，，，求的周長.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）方法一：利用正弦定理將邊化角后，再利用兩角和的正弦公式及，得到，再得出的值；方法二：利用余弦定理將角化邊，得出，消去，得出結果.（2）方法一：利用已知條件和余弦定理，得出，題干已知條件有轉化成，利用余弦定理得出，解方程得出再計算得出周長；方法二：利用，得出，由，得出，解方程得出，再計算得出周長；方法三：在和分別利用余弦定理，得出，由，得出，解方程得出，再計算得出周長.【小問1詳解】方法一：因為，由正弦定理可得，則，所以，因為在中，，所以.方法二：因為，由余弦定理可得，所以，因此，因為，所以.【小問2詳解】方法一：由已知條件得.在利用余弦定理得.所以，由余弦定理得，所以，因此，所以的周長為.方法二：因為，所以，因此，所以，又由余弦定理得，所以，所以，又，所以，所以的周長為.方法三：在和分別利用余弦定理可得，所以，又由余弦定理得，所以，所以，又，所以，所以的周長為.16.已知P為圓上任意一點，另有一點，線段NP的垂直平分線和半徑MP相交于點Q.（1）當點P在圓上運動時，求動點Q的軌跡方程C;（2）直線l與C相交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓過坐標原點O，求證:點O到直線AB的距離為定值.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由題意可得QN+QM=2（2）設，分直線l的斜率是否存在兩種情況求解，當直線l的斜率不存在，，由已知可得，可得，當直線l的斜存在時，設，與橢圓方程聯立，根據根與系數的關系可得，進而利用點到直線的距離公式可求結論.【小問1詳解】由題意得，又點Q為NP垂直平分線上的點，可得，因為，所以QN+QM所以點Q的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，且，所以，故，所以動點Q的軌跡方程為.【小問2詳解】設，①當直線l的斜率不存在時，由橢圓的對稱性可知，，因為以AB為直徑的圓經過坐標原點，所以，即，又點A在橢圓C上，所以，所以，所以點O到直線AB的距離；②當直線l的斜率存在時，設直線，聯立，消去y，得，則Δ=4km2所以，因為以AB為直徑的圓過坐標原點O，所以，所以，即，又，所以，將代入上式，整理得.所以點O到直線AB的距離.綜上所述，點O到直線AB的距離為定值.（創新題）17.如果數列對任意的，，則稱為“速增數列”.（1）判斷數列是否為“速增數列”?說明理由;（2）若數列為“速增數列”，且任意項，，，，求正整數的最大值.【正確答案】（1）數列為“速增數列”，理由見解析（2）64【分析】（1）利用“速增數列”的定義判斷說明即可；（2）根據新定義有，，，，，累加得，再結合已知求參數最大值.【小問1詳解】數列為“速增數列”.理由如下，易知數列對，有,所以，即，所以數列為“速增數列”.【小問2詳解】因為數列為“速增數列”，，，，所以對，有，且，所以，，，，累加得，所以，由，得，又，，所以正整數的最大值為.18.如圖，在三棱錐P?ABC中，平面PAB⊥平面PAC，BC=2AB=2，∠ABC=.（1）證明:PB⊥AC;（2）若側面PAB是等邊三角形，點D滿足=λ（0<λ<1），過B，D兩點作平面α，滿足直線AC∥α，設平面α與PC交于點E，直線PC與平面α所成的角為，求λ的值.【正確答案】（1）證明見解析（2）λ=【分析】（1）由勾股定理和面面垂直性質可分別證得，由線面垂直的判定與性質可證得結論；（2）由線面平行性質可得，以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法可構造方程求得結果.【小問1詳解】，，由余弦定理得：，，即，作，垂足為，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；，平面，平面，平面，.【小問2詳解】，平面平面，，又，以點為坐標原點，所在直線分別為軸，過點垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，，設平面，即平面的法向量，則，令，解得：，，，直線與平面所成角為，，解得：，滿足，.（重難題）19.已知函數．（1）當時，求的單調區間；（2）若對任意，都有恒成立，求最大整數值；（3）對于任意的，證明：．【正確答案】（1）的單調遞增區間為，無單調遞減區間；（2）的最大整數值為2；（3）證明見解析.【分析】（1）先求，接著令并求，根據的正負情況可得導函數的值的情況，從而可求得函數的單調區間.（2）先將題設等價轉換為對任意，恒成立，進而將問題等價轉化成求函數在區間上的最小值，利用導數工具求出該最小值即可得解.（3）由（1）在上單調遞增可得，進而可得，從而結合累加