2024-2025學年安徽省合肥市高二下學期3月聯考數學質量檢測試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知函數，則（）A.1 B.0 C. D.【正確答案】B【分析】根據導數定義結合導數運算律計算求解即可.【詳解】因為，所以，所以．故選：B．2.已知等差數列的前n項和為，若，則（）A. B.10 C.19 D.38【正確答案】C【分析】應用等差數列求和公式結合項的性質計算求解.【詳解】因為數列是等差數列，所以．故選：C．3.下列求導的運算正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據導數的運算法則，逐項判斷即可.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤．故選：C4.已知單調遞減的等比數列滿足，則（）A. B. C.512 D.1024【正確答案】A【分析】應用等比數列基本量運算求解.【詳解】在等比數列中，，所以，又，解得，設的公比為q，則，解得，因為單調遞減，所以．故選：A5.已知點P是拋物線上任意一點，若點P到拋物線C的準線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由拋物線方程可得焦點與準線，根據拋物線定義，結合圖象，可得答案.【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，過點F作，交直線m于點E，由拋物線的定義可知，，所以當P在線段上時，取得最小值，．故選：B.6.在平面直角坐標系中，，點P滿足，則面積的最大值是（）A.2 B. C. D.【正確答案】C【分析】設點，因為可得點P的軌跡是以為圓，以為半徑的圓，進而求出點P到直線的最大距離即可求得面積的最大值.【詳解】設點，因為，所以，整理得，所以點P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，所以點P到直線的最大距離，所以面積的最大值為．故選：C.7.已知定義域為的函數滿足，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】令，利用導數說明函數的單調性，則原不等式等價，再根據函數的單調性解不等式即可.【詳解】令，則，所以在上單調遞減，因，所以不等式可變為，即，所以，即，所以不等式的解集為．故選：D．8.鄭國渠是秦王贏政命鄭國修建的著名水利工程，先人用智慧和勤勞修筑了一道道堅固的堤壩．如圖是一道堤壩的示意圖，堤壩斜面與底面的交線記為l，點A，B分別在堤壩斜面與地面上，過點A，B分別作直線l的垂線，垂足分別為C，D，若，二面角的大小為，則（）A. B.5 C. D.【正確答案】D【分析】根據向量加法的三角形法則得到，再利用向量模長平方的性質將展開，結合向量數量積公式計算，最后求出.【詳解】因，所以，所以．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知曲線，則下列結論正確的是（）A.當時，曲線C表示橢圓B.當時，曲線C表示雙曲線C.曲線C可能表示兩條直線D.曲線C不可能表示拋物線【正確答案】BD【分析】根據橢圓、雙曲線的標準方程，結合直線、拋物線方程，可得答案.【詳解】若曲線C表示橢圓，則，解得，故A錯誤；若曲線C表示雙曲線，則，解得，故B正確；曲線C不可能表示兩條直線，故C錯誤；無論m取何值，曲線C都不可能表示拋物線，故D正確．故選：BD．10.已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數的圖象在的切線的斜率為0B.函數在上單調遞減C.是函數的極小值點D.是函數的極大值【正確答案】AD【分析】根據導函數的圖象與原函數的關系逐個判斷即可.【詳解】由圖可知，所以函數的圖象在的切線的斜率為0，故A正確；由圖可知時，，所以函數在上單調遞增，故B錯誤；由圖可知時，，所以函數在上單調遞增，不是函數的極小值點，故C錯誤；由C選項可知函數在上單調遞增，由圖可知時，，所以函數在上單調遞減，故是函數的極大值點，是函數的極大值，故D正確．故選：AD.11.將個數排成行列的一個數陣，如：………該數陣第一列的個數從上到下構成以為公差的等差數列，每一行的個數從左到右構成以為公比的等比數列（其中）．已知，記這個數的和為，則下列說法正確的有（）A. B. C. D.【正確答案】ACD【分析】根據結合，求得，根據等差數列、等比數列通項公式求得，，根據等比數列、等差數列求和公式得到.【詳解】因為，所以，解得（舍去），故A正確；，，故B錯誤；，，故C正確；，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數的圖象在處的切線方程是____________．【正確答案】【分析】先對函數求導，根據導數的幾何意義，求出函數在處的切線斜率，進而可得切線方程.【詳解】由已知，得，所以，所以所求切線方程為，即.故答案為.13.已知數列的前n項和為，若，則____________．【正確答案】2500【分析】先化簡已知條件得出數列是常數列，再計算求出通項公式，最后應用等差數列求和公式計算.【詳解】因為，所以，所以數列是常數列，因為，所以，所以.故2500.14.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線l與雙曲線C的右支和左支分別交于點A，B，若的面積為，且的面積是面積的2倍，則雙曲線C的離心率為____________．【正確答案】【分析】根據余弦定理，面積公式及二倍角正弦公式計算得出，再結合雙曲線定義設，計算求出離心率即可.【詳解】因為，所以，即，因為，所以，所以，即，設，由的面積是面積的2倍，得，則，在中，，所以，解得，所以，因為，所以，得，即，所以雙曲線C的離心率為．故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知與只有一條公切線l，且公切點為M，點P是l上異于點M的一點，過點P作的另一條切線，切點為N．（1）求a的值及直線l的方程；（2）若是等腰直角三角形，求直線的方程．【正確答案】（1），（2）或【分析】（1）問通過公切線的條數判斷圓與圓的位置關系；（2）問通過直線的垂直關系求直線的方程．【小問1詳解】可化為，圓心，半徑，可化為，圓心，半徑．因為與只有一條公切線，所以兩圓內切，，即，解得．兩圓相減，得公切線l的方程為，即．【小問2詳解】由題意，得，若是等腰直角三角形，所以，故，由（1）可知直線的斜率，所以直線的斜率．設直線的方程為，所以點到直線的距離，解得或．所以直線的方程為或．16.已知數列滿足．（1）求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和．【正確答案】（1）證明見解析，（2）【分析】（1）通過等比數列的概念證明等比數列，并求通項公式；（2）運用分組求和法與錯位相減法求和．【小問1詳解】證明：因為，所以，所以．因為，所以，所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列，所以，即．【小問2詳解】解：因為，所以．其中．令，，兩式相減，得．所以，所以．17.已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）若，求證：對且，都有．【正確答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【分析】（1），根據與1的大小關系分類討論，根據導數的正負判斷函數的單調性；（2）設，要證，即證，構造新函數，證明函數在上單調遞增即可．【小問1詳解】因為，定義域為，所以．當時，令，得或，令，得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．當時，恒成立，所以函數在上單調遞增．當時，令，得或，令，得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．【小問2詳解】不妨設，則，要證對，都有，只需證，即需證．構造函數，則要證，需證函數在上為增函數，因為，所以函數在上為增函數成立，所以當時，對且，都有．18.已知橢圓C中心為坐標原點，對稱軸為x軸與y軸，且C經過點．（1）求C標準方程；（2）若F是C的右焦點，過F作兩條互相垂直的直線，直線與C交于A，B兩點，直線與C交于D，E兩點．求四邊形面積的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）運用點在橢圓上求橢圓的方程；（2）通過直線與橢圓方程的聯立，用設而不求法求弦長，通過構造新函數求四邊形面積的取值范圍．【小問1詳解】設C的方程為，將點代入，得解得所以C的標準方程為．【小問2詳解】由（1）可知，，當直線的斜率為0，直線的斜率不存在時，，當直線的斜率不存在，直線的斜率為0時，，所以四邊形的面積．當直線的斜率存在且不為0時，設直線的方程為，聯立得，由題意得．所以，同理，四邊形的面積．令，則，所以當，即時，，所以．綜上所述，四邊形面積的取值范圍．19.在平面直角坐標系中，任何一條直線都可以用（其中）表示，給定一個點和一個方向，我們可以確定一條直線，例如：已知點在直線l上，是直線l的一個方向向量，則直線l上任意一點滿足，化簡得直線l的方程為．而在空間直角坐標系中，任何一個平面的方程都可以表示成（其中，且），類似的，在空間中，給定一個點和一個平面的法向量也可以確定一個平面．（1）若點，求平面的方程；（2）求證：是平面的一個法向量；（3）已知某平行六面體，平面的方程為，平面經過點，平面的方程為，求平面與平面夾角的余弦值．【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）【分析】（1）通過平面方程的新概念求平面的方程；（2）通過平面方程的新概念求平面的法向量與點到平面的距離；（3）通過平面方程的新概念求的方向向量，再根據平面求平面的法向量，再求平面與平面的夾角的余弦值．【小問1詳解】，設是平面的一個法向量，則令，得，所以．設點是平面內任意一點，由，得，所以平面的