2024-2025學年廣東省汕頭市高二下學期3月月考數學檢測試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據對數函數的單調性解不等式得到集合，然后求交集.【詳解】由，解得，所以.故選：B.2.已知復數，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【正確答案】A【分析】根據復數的除法運算化簡即可求解.【詳解】在復平面內對應的點為，∴在復平面內對應的點位于第一象限.故選：A.3.已知，若，則a的值為（）A. B. C.1 D.或1【正確答案】C【分析】根據兩直線平行的公式求解即可.【詳解】若，則，即，解得或.當時，滿足；當時，重合；故故選：C4.已知函數在處有極大值，則c的值為（）A.2 B.6 C.2或6 D.0【正確答案】B【分析】求出函數的導數，利用導數為0求出值并驗證即得.【詳解】函數，求導得，依題意，，解得或，當時，，當時，，當時，，函數在處取得極小值，不符合題意；當時，，當時，，當時，，函數在處取得極大值，符合題意，所以.故選：B5.“”是“函數有且只有一個零點”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】求出有且只有一個零點條件，再根據充分必要條件的定義判斷．【詳解】首先已經有一個零點1，因此只有一個零點，則無零點，即（）無解，時，，所以或，因此是有且只有一個零點”的充分而不必要條件．故選：A．6.已知函數，下列說法正確的是（）A.若函數周期為4，則B.當時，函數的對稱軸為C.若函數在單調，則有最大值2D.若函數可以由先向右平移個單位長度，再橫坐標變為原來的3倍得到，則【正確答案】C【分析】利用周期公式計算可得A錯誤，再由對稱軸方程可判斷D錯誤，由余弦函數單調性計算可得C正確，根據平移規則可判斷D錯誤.【詳解】對于A，若函數周期為4，可得，解得，即A錯誤；對于B，當時，函數的對稱軸滿足，解得，即B錯誤；對于C，當時，，所以，若函數在單調，可得，解得，即有最大值2，可得C正確；對于D，先向右平移個單位長度可得，再橫坐標變為原來的3倍可得，若能得到函數，可得，此時無解，即D錯誤.故選：C7.已知雙曲線左、右焦點分別為，過的直線與的漸近線及右支分別交于兩點，若，則的離心率為（）A. B.2 C. D.3【正確答案】C【分析】根據題意分析可知為的中點，且，結合點到直線的距離公式可得，根據雙曲線的定義結合勾股定理運算求解.【詳解】因為，可知為的中點，且為的中點，可知∥，又因為，可知，則，則點到直線的距離，可得，由可得，整理得，則，整理得，所以的離心率為.故選：C.方法點睛：1．橢圓、雙曲線離心率（離心率范圍）的求法：求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求e的值；2．焦點三角形的作用：在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結合起來．8.定理：如果函數及滿足：①圖象在閉區間上連續不斷；②在開區間內可導；③對，那么在內至少有一點，滿足成立，該定理稱為柯西中值定理.請利用該定理解決下面問題：已知，若存在正數，滿足，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】令，由柯西中值定理可知：那么在內至少有一點，滿足，令，對求導，求出的值域，即可得出答案.【詳解】由可得：，令，所以由柯西中值定理可知：那么在內至少有一點，滿足成立，因為，，所以，，所以令，，，令可得：或，令可得：，所以在上單調遞增，在上單調遞減，又，，當趨于正無窮時，趨近，所以，所以實數的取值范圍為.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多個符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選頂，每選對一個得3分；若只有3個正確選項，每選對一個得2分.9.某地種植的新品種哈密瓜獲得了豐收，隨機從采摘好的哈密瓜中挑選了100個稱重（單位：），并整理數據，得到如圖所示的頻率分布直方圖.根據此頻率分布直方圖，下面結論正確的是（）A.B.估計該哈密瓜的質量不低于1.6kg的比例為30%C.估計有一半以上的該哈密瓜的質量介于1.4kg至1.6kg之間D.估計該哈密瓜的質量的中位數介于1.5kg至1.6kg之間【正確答案】BCD【分析】先根據概率和為，可得，進而根據頻率分布直方圖得到對應概率，進而可得.【詳解】選項A：，解得，A錯誤；選項B：估計該哈密瓜的質量不低于的比例為，B正確；選項C：低于的概率為，低于的概率為，故估計有一半以上的該哈密瓜的質量介于至之間，C正確；選項D：低于的概率為，低于的概率為，估計該哈密瓜的質量的中位數介于至之間，D正確.故選：BCD10.如圖，長方體中，是側面的中心，是底面的中心，點在線段上運動，則下面選項正確的是（）A.直線與平行B.四面體的體積為定值C.點到平面的距離為D.異面直線與所成的角為【正確答案】ABC【分析】連接，則為的中點，為的中點，即可判斷A；證明平面，再根據棱錐的體積公式即可判斷B；以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法即可判斷CD.【詳解】對于A選項，連接，因為是側面的中心，是底面的中心，則為的中點，為的中點，所以在中，為的中位線，即，A正確；對于B選項，因為，平面平面，所以平面，又點在線段上運動，所以點到平面的距離為定值，又為定值，所以四面體的體積為定值，B正確；對于C選項，如圖以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，設平面的一個法向量為，則，解得，令，得，則，所以點到平面的距離，C正確；對于D選項，，,則，故異面直線與所成的角不為，D錯誤.故選：ABC.11.的內角的對邊分別為，，，已知，，則（）A. B.C.為銳角三角形 D.的最大值為【正確答案】AB【分析】根據余弦定理、商關系、二倍角公式和基本不等式計算分別判斷各個選項；【詳解】對于A，因為，結合余弦定理推論可得，，化簡得，解得（舍）或，A正確；對于B，因為，所以，又，所以，B正確；對于C，是鈍角，C錯誤；對于D，解得，根據余弦定理可得，代入得利用基本不等式，當且僅當時取等號；所以，D錯誤；故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分.12.從集合中取兩個不同的數分別作為對數的底數與真數，則不同的對數值的個數為______．【正確答案】52【分析】先利用分步乘法計數原理得到個對數，再排除掉相等的對數值，得到答案.【詳解】第一步，取底數，有8種取法；第二步，取真數，有7種取法．根據分步乘法計數原理，共得到個對數．但在這些對數中，，，，，所以可以得到個不同的對數值．故5213.已知向量，則的最大值為__________.【正確答案】【分析】首先表示出的坐標，再根據向量模的坐標表示、三角恒等變換公式及余弦函數的性質計算可得.【詳解】因，所以，所以，所以當，即時取得最大值，且.故14.數列滿足，則______；記為的前n項和，若關于n的方程有解，則正整數的所有取值為______．【正確答案】①.②.7和9【分析】根據數列的通項與前項和的關系求數列的通項公式；根據等差數列的求和公式，可以把問題轉化成為整數的討論.【詳解】解法一：由，得．①當時，，所以．當時，有．②①－②得，即．因為符合，所以，．因為，所以顯然為10的約數，時，；時，；時，.綜上，正整數的所有取值為7和9．解法二：由．①當時，有，②，所以．③①－③得，即．又，故．下同解法一．故；7和9四、解答題：本題共5小題，共計77分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是等差數列，是各項都為正數的等比數列.且，，，.（1）求，的通項公式；（2）求數列的前n項和；（3）若，求數列的前2n項和.【正確答案】（1），；（2）；（3）【分析】(1)由等差數列和等比數列的通項公式，解方程可得公差和公比，進而得到所求；(2)由數列的錯位相減法求和，結合等比數列的求和公式，可得所求和；(3)由數列的分組求和，結合等差數列和等比數列的求和公式，可得所求和．【小問1詳解】是等差數列，是各項都為正數的等比數列，設公差為d，公比為，由，，，，可得，，解得：負的舍去，則，；【小問2詳解】數列的前n項和，，兩式相減可得，化為；【小問3詳解】，則數列的前2n項和16.如圖，在四棱錐中，底面，，為線段的中點，為線段上的動點.（1）若，平面與平面是否互相垂直？如果垂直,請證明；如果不垂直，請說明理由.（2）若底面為正方形，當平面與平面夾角為時，求的值.【正確答案】（1）垂直，證明見解析.（2）【分析】（1）由底面得，進而由得平面，進而得，又，可得平面，進而可證；（2），，建立空間直角坐標系，利用空間向量法根據面面角可得，進而可得.【小問1詳解】平面平面，證明如下：因平面，平面，故，又，，平面，故平面，因平面，所以，因，為線段的中點，故，因，平面，故平面，又平面，故平面平面.【小問2詳解】如圖建立空間直角坐標系，設，，則，則，則，設平面的一個法向量為，則，令，則，，則，s設平面的一個法向量為，則，令，則，則，由題意，解得，故.17.單項選擇與多項選擇題是數學標準化考試中常見題型，單項選擇一般從A，B，C，D四個選項中選出一個正確答案，其評分標準為全部選對的得5分，選錯的得0分；多項選擇題一般從A，B，C，D四個選項中選出所有正確的答案（四個選項中有兩個或三個選項是正確的），其評分標準為全部選對的得6分，部分選對的得部分分（兩個選項選對其中一個的得3分，三個選項選對其中一個的得2分，選對兩個得4分，只要選出錯誤選項的就得0分）.（1）有一道單項選擇題考生甲不會做，他隨機選擇一個選項，求猜對本題并得5分的概率；（2）有一道多項選擇題乙不會做，這道題正確答案為ABD，他便隨機猜寫答案（2個或3個選項），求考生乙本題剛好得4分的概率；（3）現有一道只有兩個正確選項的多項選擇題，根據訓練經驗，考生丙得6分的概率為，得3分的概率為；考生丁得6分的概率為，得3分的概率為.丙、丁二人答題互不影響，求這道多項選擇題丙丁兩位考生總分剛好是6分的概率.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）利用列舉法可得共有10個樣本點，“猜對本題得4分”，有3個樣本點，利用古典概型的概率公式求解；（3）分丙得0分丁得6分；丙得3分丁得3分；丙得6分丁得0分三種情況，利用獨立事件和互斥事件的概率公式求解.【小問1詳解】樣本空間，設“猜對本題得5分”，則.【小問2詳解】樣本空間，共有10個樣本點，設“猜對本題得4分”，，有3個樣本點，故.【小問3詳解】記丙得分的事件為，丁得分為，其中由題意；記丙丁兩位考生總分剛好6分的事件為，易知由題意18.已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調性；（3）若在區間上存在極值，且此極值小于，求實數的取值范圍．【正確答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析】（1）先確定切點坐標，再根據導數的幾何意義求切線斜率，依據點斜式可得切線方程.（2）求導，對的不同取值進行討論，可得函數的單調區間.要注意：函數的定義域.（3）利用（2）的結論，可求問題（3）.【小問1詳解】當時，，.又，所以.所以切點坐標為，切線斜率為1，所以切線方程為即.【小問2詳解】因為，當時，恒成立，函數在區間單調遞增．當時，令，解得，在區間，，函數單調遞減，在區間，，函數單調遞增.綜上可知：當時，函數在區間單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.【小問3詳解】由（2）知，當時，函數無極值，當時，函數在取得極小值，所以，解得，所以．所以實數的取值范圍為：19.已知橢圓的左，右焦點分別為，，，離心率.（1）求橢圓C的方程；（2）過點作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F，求四邊形EPFQ面積