2024-2025學年福建省莆田市高一下學期3月月考數學檢測試題一：單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1.A. B. C. D.【正確答案】A【詳解】分析：根據終邊相同的角正弦值相等，將的正弦化成的正弦，，即可求出結果.詳解：由誘導公式可得，，，故選A.點睛：本題著重考查了終邊相同的角、誘導公式，特殊角的三角函數值等知識，屬于簡單題.2.已知向量，，則（）A.5 B. C.3 D.【正確答案】B【分析】先把向量和相加得到向量的坐標，再利用向量的坐標算出向量的模長．【詳解】，．故選：B．3.已知，向量與向量的夾角為，與向量共線同向的單位向量為，則向量在向量方向上的投影向量等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據投影向量的公式計算即可.【詳解】．故選：C.4已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意求出，再根據二倍角得正切公式即可得解.【詳解】由，得,故，故選：D5.如圖，已知平行四邊形ABCD，，E為CD中點，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據平面向量的線性運算求解即可.【詳解】.故選：D6.已知直角中，是斜邊，，則的值是（）A.27 B.1 C.9 D.【正確答案】D【分析】由可得，由向量平面數量積的坐標表示，列方程求解即可.【詳解】因為直角中，是斜邊，，可得，則有，即，解得，故選：D.7.設點，若點在直線AB上，且，則點的坐標為（）A. B. C.或 D.或【正確答案】D【分析】根據已知求出向量的坐標，進而根據，可求出向量的坐標，進而求出點的坐標．【詳解】解：，，∴，點在直線上，且，∴，或，故，或，故點坐標為或，故選：D．本題考查的知識點是平面向量坐標表示，熟練掌握向量坐標等于終點坐標與起點坐標的差是解答的關鍵．8.在等腰梯形中，已知，，是的中點，，若，則的值為（）A. B. C.2 D.3【正確答案】A【分析】根據平面向量線性運算法則及平面向量基本定理求出、即可.【詳解】根據題意，，，是的中點，，畫出梯形如下圖所示：所以，則，又，、不共線，所以，所以.故選：A二：多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在下列各組向量中，不可以作為基底的是（

）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】逐項判斷向量是否共線即可得解.【詳解】因為共線，故不能做基底，故A正確；因為，所以不共線，可作基底，故B錯誤；因為，所以，即共線，故不能作基底，故C正確；因為，所以，即共線，故不能作基底，故D正確.故選：ACD10.下列四個命題中正確是（）A.向量與向量能作為平面向量的一組基底，則與不共線B.若，則C.為非零向量且，則D.為任意向量且，則【正確答案】ABD【分析】根據基底的概念判斷A，根據向量的數量積化簡運算判斷B，根據向量垂直的關系由特例法判斷C，根據向量相等及數量積的概念判斷D.【詳解】對于A，根據基底的定義知，向量與向量能作為平面向量的一組基底，則與不共線正確；對于B，，，化簡可得，故正確；對于C，滿足，不能推出，例如向量都與垂直時等式成立，但不一定相等，故錯誤；對于D，因，所以成立，故正確.故選：ABD11.函數的圖象如圖所示，將其向左平移個單位長度，得到的圖象，則下列說法正確的是（）A.函數的最小正周期為B.方程在上有5個根C.函數的圖象關于直線對稱D.函數在上單調遞減【正確答案】ABD【分析】根據三角恒等變換及圖象特殊值，求出，進而求出，求出最小正周期，判斷A選項；求出及，結合及函數圖象，判斷出有5個交點，即有5個根；C選項，求出，代入檢驗得到圖象不關于直線對稱；當時，，得到的單調性.【詳解】，由圖象可知：，所以，解得：，因為，所以，所以，因為，所以，所以，此時，所以最小正周期為，A正確；，則，即，因為，所以，畫出在的圖象，如下：函數圖象與有5個交點，故方程在上有5個根，B正確；函數，當時，，所以的圖象關于直線不對稱，C錯誤；，當時，，故函數在上單調遞減，D正確.故選：ABD三：填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量與滿足，且，則與的夾角等于__________．【正確答案】##【分析】直接用數量積的定義求夾角即可.【詳解】依題意，，∴與的夾角為；故.13.已知，，，且，則的值為___________.【正確答案】【分析】根據給定條件，利用和角的正弦公式求解作答.【詳解】由，，得，由，知，又，則，所以，所以.故14.《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，如圖所示的是《易經》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田.已知正八邊形的邊長為，點P是正八邊形邊上的一點，則的最大值為_________.【正確答案】【分析】作垂直的延長線于點M，根據正八邊形的特征求出，根據的定義，即可求出的最大值.【詳解】由題意知，每個三角形的頂角為，，作垂直的延長線于點M，根據正八邊形的特征知，，設與所成的角為，則，所以，由的最大值為，所以的最大值為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分，（15題13分，16-17題15分，18-19題17分）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.計算：（1）；（2）；（3）．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】根據平面向量的數乘運算及線性運算計算即可.【小問1詳解】原式．【小問2詳解】原式．【小問3詳解】原式．16.已知向量，，且．（1）若向量與互相垂直，求的值．（2）若向量與互相平行，求的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由已知得，根據向量數量積的運算律及已知條件代入求解即可．（2）根據向量平行及平面向量基本定理列式求解.【小問1詳解】，，，，即，得，若向量與互相垂直，則，即得，，解得或.小問2詳解】由，所以，所以不共線，由向量與互相平行，可知存在實數，使得，，解得，當時，；當時，.或.17.已知是平面內兩個不共線的非零向量，，，，且三點共線．（1）求實數的值；（2）若，，求的坐標；（3）已知點，在（2）的條件下，若四點按逆時針順序構成平行四邊形，求點的坐標．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據已知可得，結合三點共線可得，列方程組求參數即可；（2）根據平面向量線性運算的坐標表示求解即可；（3）根據平行四邊形中的坐標表示列方程組求解即可.【小問1詳解】因為，，所以，因為三點共線，所以存在實數使得，即，又因為是平面內兩個不共線的非零向量，所以，解得.【小問2詳解】由（1）可知，，所以，若，，則.【小問3詳解】由四點按逆時針順序構成平行四邊形可得，設，則，由（2）得，所以，解得，所以.18.已知.（1）若，且，求的值；（2）設，，若方程恰有兩個不同的解，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）0；（2）.【分析】（1）由，利用平面向量數量積公式，二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式可得，結合，可求的值；（2）利用（1）可得，由可得,結合函數的圖象圖象有兩個交點時實數的取值范圍【小問1詳解】∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴．【小問2詳解】∵，當時，,當時，單調遞減，當時，單調遞增，且，故方程恰有兩個不同的解，則實數的取值范圍是.19.對于函數，稱向量為函數的相伴特征向量，同時稱函數為向量的相伴函數.（1）設函數，試求函數的相伴特征向量的坐標；（2）記向量的相伴函數為.（I）當且時，求的值；（II）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（I）（II）【分析】（1）利用兩角差的正弦公式及兩角和的余弦公式化簡函數解析式，再結合函數的相伴特征向量的定義即可求解；（2）（I）根據題意先求得函數的解析式，結合已知條件求得的值，進而求得的值，通過配角的方法并結合兩角差的正弦公式即可求解；（II）通過誘導公式化簡原式，通過分類討論的正負，通過參變分離法