數學一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.﹣3的相反數是（）A. B. C. D.答案：D解析：根據相反數的定義可得：－3的相反數是3，故選D．2.如圖是由4個大小相同的小立方塊搭成的幾何體，這個幾何體的左視圖是（）A. B. C. D.答案：A解析：解：這個幾何體的左視圖有2行，第一行有1個正方形，第二行有2個正方形，第1列有2個正方形，第2列有1個正方形故選：A．3.在平面直角坐標系中，點關于y軸對稱的點的坐標是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：點關于y軸對稱的點的坐標是，故選：D．4.若一個凸多邊形的內角和為720°，則這個多邊形的邊數為A.4 B.5 C.6 D.7答案：C解析：設這個多邊形的邊數為n，由多邊形的內角和是720°，根據多邊形的內角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故選C.5.已知點P（m-2，2m-1）在第二象限，且m為整數，則m的值是（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：B解析：∵點P（m-2，2m-1）在第二象限，∴，解得：，∵m為整數，∴m=1，故選：B．6.如圖，是等腰直角三角形，．若，則的度數是（）A. B. C. D.答案：B解析：解：∵，∴，∵，，∴，故選B7.某小組在一次“在線測試”中做對的題數分別是，對于這組數據，下列判斷錯誤的是（）A.眾數是 B.中位數是 C.平均數是 D.方差是答案：D解析：解：把這組數據從小到大排列為，處在最中間的數是8，∴這組數據的中位數為8，故B不符合題意；∵這組數據中8出現了3次，出現的次數最多，∴這組數據眾數為8，故A不符合題意；這組數據的平均數為，故C不符合題意；這組數據的方差為，故D符合題意；故選D．8.已知x=1是關于x的方程(1-k)x2+k2x-1=0的根,則常數k的值為()A.0 B.1 C.0或1 D.0或-1答案：C解析：解：當k=1時，方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0為一元一次方程，解為x=1；k≠1時，方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0為一元二次方程，把x=1代入方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0可得：1﹣k+k2﹣1=0，即﹣k+k2=0，可得k（k﹣1）=0，即k=0或1（舍去）；故選C．9.如圖，已知矩形的邊，，為邊上一點．將沿所在的直線翻折，點恰好落在邊上的點處，過點作，垂足為點，取的中點，連接，則的長為（）A.3 B. C.－1 D.答案：D解析：解：如圖所示連接，．由翻折的性質可知，垂直平分線段，，又，，，共線，，四邊形是矩形，，，是的中點，是的中點，是的中位線，．故選：D．10.如圖1，在中，點為的中點，動點從點出發，沿著的路徑以每秒1個單位長度的速度運動到點，在此過程中線段的長度隨著運動時間的函數關系如圖2所示，則的長為（）A. B. C. D.答案：C解析：解：當時，點點處，此時，則，當時，，，則，，，，故選：C．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11.國家統計局公布了2023年的人口數據：2023年末全國人口140967萬人，比上年末減少208萬人，其中208萬用科學記數法表示為______．答案：解析：解：∵萬，∴萬用科學記數法表示為．故答案為：．12.因式分解：________________．答案：解析：解：原式．故答案為：．13.如圖，將放在每個小正方形邊長為的網格中，點，，均在格點上，則的值是______．答案：##05解析：作BD⊥AC于點D，如圖所示：，，點A到BC的距離為，，，即，，，，故答案是：．14.如圖，菱形ABCD的邊長為4cm，∠A＝60°，弧BD是以點A為圓心，AB長為半徑的弧，弧CD是以點B為圓心，BC長為半徑的弧，則陰影部分的面積為______答案：cm2解析：解：如圖，連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ABD=60°，又∵菱形的對邊AD∥BC，∴∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CBD=120°-60°=60°，∴S陰影=S扇形BDC-（S扇形ABD-S△ABD)，∵AB=CD，∠CBD=∠A=60°，∴S扇形BDC=S扇形ABD，∴S陰影=S△ABD=cm2．故答案為cm2．15.如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，AB＝5，AC＝4，D是上的一個動點，連接AD．過點C作CE⊥AD于E，連接BE，則BE的最小值是_____．答案：解析：解：如圖，取的中點，連接，則，，，在點移動的過程中，點在以為直徑的一段弧上運動，即上運動，，是直徑，，在中，，，在中，，由兩點之間線段最短可知，當點共線時，取得最小值，最小值為，所以的最小值為，故答案為：．三、解答題（一）（本大題共2小題，每小題5分，共10分）16.計算：答案：3解析：解：原式=3．17.如圖，在中，，為的平分線．（1）尺規作圖：過點作的垂線，交于點．(不寫作法，保留作圖痕跡)（2）若，，則的面積是．答案：（1）見解析（2）（1）解析：解：如圖所示，即為所求；（2）解析：解：∵在中，，，∴，，則，∵為的平分線，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的面積是．四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）18.先化簡，再求值：，其中．答案：，解析：解：，當時，原式=．19.如圖，用兩個邊長為的小正方形紙片沿中間對角線剪開，拼成一個大正方形．（1）大正方形的邊長是______．（2）麗麗同學想用這塊大正方形紙片裁剪出一塊面積為且長和寬之比為的長方形紙片，她能裁出來嗎？請說明理由．答案：（1）4（2）不能裁出，理由見解析（1）解析：解：兩個正方形的面積之和為：，∴拼成的大正方形的面積為：，∴大正方形的邊長為：，故答案為：4；（2）解析：解：設長方形紙片的長為，寬為：，∴，解得，∴，∴不能使裁下的長方形紙片的長寬之比為：，且面積為．20.為了解中考體育科目訓練的效果，九年級學生中隨機抽取了部分學生進行了以此中考體育科目測試（把測試結果分為四個等級，A等：優秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并將結果匯成了如圖1、2所示兩幅不同統計圖，請根據統計圖中的信息解答下列問題：（1）本次抽樣測試的學生人數是人；（2）圖1扇形圖中D等所在的扇形的圓心角的度數是，并把圖2條形統計圖補充完整；（3）已知得A等的同學有一位男生，體育老師想從4名同學中隨機選擇兩位同學向其他同學介紹經驗，請用列表法或畫樹狀圖的方法求出選中的兩人剛好是一男一女的概率．答案：（1）25（2），條形圖見解析（3）（1）解析：解：抽取B等成績的人數為10人，所占比例為，本次抽樣測試學生人數是（人），故答案為：25；（2）解析：D等級的人數為（人），所以D等所在的扇形的圓心角的度數，條形圖如下圖：（3）解析：畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果數，其中選中的兩人剛好是一男一女的結果數為6，所以選中的兩人剛好是一男一女的概率為．五、解答題（三）（本大題共3小題，每小題8分，共24分）21.某學校準備購進一批足球和籃球，從體育商城了解到：足球單價比籃球單價少25元，用250元購買足球與用375元購買籃球的數量相等．（1）求足球和籃球的單價各是多少元；（2）若該學校準備同時購進這兩種足球和籃球共80個，并且足球的數量不多于籃球數量的3倍，求本次購買最少花費多少錢．答案：（1）足球的單價是50元，籃球的單價是75元（2）本次購買最少花費4500元（1）解析：解：設足球的單價是x元，則籃球的單價是元，根據題意得：，解得：，經檢驗是所列方程的解，且符合題意，∴（元）．答：足球的單價是50元，籃球的單價是75元；（2）解析：設購買足球m個，則購買籃球個，根據題意得：，解得：，設學校購買足球和籃球的總費用為w元，則，即，∵，∴w隨m的增大而減小，∴當時，w取得最小值，為4500元∴本次購買最少花費4500元．22.獨輪車（圖1）俗稱“手推車”，又名輦、鹿車等，西漢時已在一些田間隘道上出現．北宋時正式出現獨輪車名稱，在北方，幾乎與毛驢起同樣的運輸作用．如圖2所示為從獨輪車中抽象出來的幾何模型．在中，，以的邊為直徑作，交于點P，且，垂足為點D．（1）求證：是的切線；（2）若，求的半徑．答案：（1）見詳解（2）5（1）解析：證明：連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴∴，又∵，∴，∴，即，∴是的切線；（2）解析：解：連接，如圖，∵為直徑，∴，∴，又∵，∴，在中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，∴的半徑為5．23.如圖，中，，，繞點順時針旋轉與重合，點在軸上，連接，若反比例函數與直線僅有一個公共點（1）求直線和反比例函數的解析式；（2）把沿直線翻折到，與反比例函數交于點，求的面積．答案：（1）直線解析式為，反比例函數解析式為（2）9（1）解析：解：∵，，∴，∴，由旋轉的性質可得，又∵點在軸上，∴，∴，設直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式，聯立得，即，∵反比例函數與直線僅有一個公共點，∴方程只有一個實數根，∴，∴，∴反比例函數解析式為；（2）解析：解：由折疊的性質可得，又∵，∴，∴四邊形是菱形，∴，在中，當時，，∴，∴，∴．六、解答題（四）（本大題共2小題，每小題10分，共20分）24.在邊長為1的正方形中，點為線段上一動點，連接．（1）如圖①，過點作于點，交直線于點．以點為直角頂點在正方形的外部作等腰，連接．求證：是等腰直角三角形；（2）如圖②，在（1）的條件下，記分別交于點，連接．①試探究之間的數量關系；②設，中邊上的高為，請用含的代數式表示．并求的最大值．答案：（1）見解析（2）①；②，最大值為（1）解析：證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形；（2）解析：解：①結論：．理由：如圖②中，將繞點順時針旋轉得到，則共線．圖②∵四邊形是正方形，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．②∵，∴，∵，∴，∴，∴點到的距離的長，∵，∴，∴，，，∴∵，∴時，的值最大，最大值為．25.已知拋物線經過點和點，與軸交于另一點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為第四象限內拋物線上的點，連接，如圖1，若的面積為1，求P點坐標；（3）設點M為拋物線上的一點，若時，求M點坐標．答案：（1）（2）（3）M的坐標為或（1）解析：將點、的坐標代入拋物線表達式得，，解得，故拋物線的表達式為；（2）解析：如