第22頁（共22頁）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷?？碱}之平面向量的運算一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?商洛期末）已知非零向量a→，b→滿足|a→|=8|b→|，向量A．π3 B．π4 C．π6 2．（2024秋?金華期末）已知向量a→=（cosθ，sinθ）與向量b→=（﹣1，1）垂直，則A．1 B．2 C．3 D．23．（2025?孝義市模擬）已知向量a→=（2，3），b→=（x，4），若a→A．1 B．12 C．2 D．4．（2025?鹽城一模）已知向量a→=（1，m），b→=（2，﹣1），且a→A．-12 B．12 C．2 5．（2025?蕪湖一模）已知向量a→在向量b→上的投影向量為32b→A．6 B．12 C．24 D．9二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?丹東期末）已知向量a→、b→、c→A．|a→-b→C．|a→+b→+c（多選）7．（2024秋?遼寧期末）已知平面向量a→，b→滿足|a→|＝1，|b→A．若＜a→，b→＞=π6B．當（4a→-3b→）⊥bC．若＜a→，b→＞∈（0，π3），|a→-D．當＜a→，b→＞∈（π3，π）時，（多選）8．（2024秋?紅河州期末）已知平面直角坐標系中三個點A(-1，1)A．△ABC是銳角三角形 B．CA→在CB→上的投影向量為C．CD→D．若四邊形ABCE為平行四邊形，則點E的坐標為(三．填空題（共4小題）9．（2024秋?諸暨市期末）已知向量a→=（2，m），b→=（﹣1，m），若2a→+b→10．（2024秋?樟樹市校級期末）已知向量a→=(-1，2)，b→=(3，4)，則a11．（2024秋?青島期末）已知a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，x），且a→⊥b→，則12．（2024秋?合肥期末）已知點A（2，﹣1，1），B（3，﹣2，1），C（0，1，﹣1），則AB→在AC→上的投影向量的模為四．解答題（共3小題）13．（2024秋?琿春市校級期末）已知a→=(23sinx，（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知f(x0)=135，14．（2024秋?沈陽校級期末）如圖，在△ABC中，AM→=12AB→，（1）用a→，b→表示AN→（2）若P為△ABC內(nèi)部一點，且BP→=-49a→+15．（2024秋?讓胡路區(qū)校級期末）已知向量a→=(2cos2x，3（1）求函數(shù)g（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）＝3，c＝1，ab=23，且a＞b，且a，

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷常考題之平面向量的運算參考答案與試題解析題號12345答案ACBCC一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?商洛期末）已知非零向量a→，b→滿足|a→|=8|b→|，向量A．π3 B．π4 C．π6 【考點】平面向量的投影向量；數(shù)量積表示兩個平面向量的夾角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得a→【解答】解：設(shè)非零向量a→，b→的夾角為θ，θ∈因為向量a→在向量b→方向上的投影向量是則a→則cosθ=所以θ=故選：A．【點評】本題主要考查平面向量的投影向量，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024秋?金華期末）已知向量a→=（cosθ，sinθ）與向量b→=（﹣1，1）垂直，則A．1 B．2 C．3 D．2【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】由向量的數(shù)量積為零得到cosθ＝sinθ，再由向量模長的運算結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解．【解答】解：a→=（cosθ，sinθ），b→=（﹣由a→⊥b即cosθ＝sinθ，所以|=1+2故選：C．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的運算，考查向量垂直的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．3．（2025?孝義市模擬）已知向量a→=（2，3），b→=（x，4），若a→A．1 B．12 C．2 D．【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；平面向量及應(yīng)用．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求出向量a→-b→的坐標，由向量垂直與向量數(shù)量積的關(guān)系分析可得若a→⊥（a→-b→），則有a→?（a→-b→）＝【解答】解：根據(jù)題意，向量a→=（2，3），b→=（則a→-b→=（2若a→⊥（a→-b→），則有a→?（a→-b→）＝2（解可得：x=故選：B．【點評】本題考查向量數(shù)量積的坐標計算，關(guān)鍵是掌握向量垂直與向量數(shù)量積的關(guān)系．4．（2025?鹽城一模）已知向量a→=（1，m），b→=（2，﹣1），且a→A．-12 B．12 C．2 【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【專題】對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用．【答案】C【分析】直接由平面向量數(shù)量積的坐標表示列式求得m的值．【解答】解：a→=（1，m），b→=（若a→⊥b→，則2﹣m＝0，解得：m＝故選：C．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，是基礎(chǔ)的計算題．5．（2025?蕪湖一模）已知向量a→在向量b→上的投影向量為32b→A．6 B．12 C．24 D．9【考點】平面向量的投影向量；平面向量的數(shù)量積運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】由投影向量的概念列式即可求解．【解答】解：向量a→在向量b→上的投影向量為32可得a→?b故選：C．【點評】本題考查投影向量的概念，屬基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?丹東期末）已知向量a→、b→、c→A．|a→-b→C．|a→+b→+c【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】AC【分析】由已知可得出a→-b→=2c→，可判斷A選項；在等式|a→-b【解答】解：對于A，向量a→、b→、由a→-b所以|a→-對于B，將等式|a可得a→2-2a所以|a故|a→+對于C，因為a→-b所以a→所以|=(1+22)2對于D，a→若a→+b→-c→與即(1-22即a→∥b→，這與故選：AC．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算，屬中檔題．（多選）7．（2024秋?遼寧期末）已知平面向量a→，b→滿足|a→|＝1，|b→A．若＜a→，b→＞=π6B．當（4a→-3b→）⊥bC．若＜a→，b→＞∈（0，π3），|a→-D．當＜a→，b→＞∈（π3，π）時，【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；平面向量的投影向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】AC【分析】由投影向量的概念計算即可判斷A；由向量垂直的性質(zhì)建立方程，求解即可判斷B；由向量模的求法即可判斷C，D．【解答】解：對于A，a→?b→=|a→||b對于B，由（4a→-3b→）⊥b→，得所以cos＜a→，b→＞對于C，當＜a→，b→＞∈（0，π3）時，a→所以|a→-對于D，當＜a→，b→＞∈（π3，π）時，a→所以|a→-故選：AC．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積與夾角，模的求法，屬于中檔題．（多選）8．（2024秋?紅河州期末）已知平面直角坐標系中三個點A(-1，1)A．△ABC是銳角三角形 B．CA→在CB→上的投影向量為C．CD→D．若四邊形ABCE為平行四邊形，則點E的坐標為(【考點】平面向量的投影向量；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)平面向量CA→，CB根據(jù)投影向量的定義，即可判斷B；根據(jù)中點坐標公式，平面向量數(shù)量積的定義即可判斷C；根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)，結(jié)合相等向量的定義，即可判斷D．【解答】解：平面直角坐標系中三個點A(則CA→=(-1，3)則|AB→|=|CA→|=|CB因為CA→在CB→上的投影向量為CA→對于C選項：因為點D為線段AB中點，所以D（0，1），所以CD→=(0，3)，又BC對于D選項：設(shè)E（x，y），則EA→若四邊形ABCE為平行四邊形，則EA→=CB即-1-x=11-y=故選：ABD．【點評】本題考查了投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?諸暨市期末）已知向量a→=（2，m），b→=（﹣1，m），若2a→+b→【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】5．【分析】由向量線性運算、垂直的坐標表示列方程求得m2＝1，再應(yīng)用坐標公式求|a【解答】解：向量a→=（2，m），b→=（﹣則2a又2a→+所以(2a→+b→)?所以|a故答案為：5．【點評】本題主要考查平面向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024秋?樟樹市校級期末）已知向量a→=(-1，2)，b→=(3，4)，則a【考點】平面向量的數(shù)量投影．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】1．【分析】根據(jù)向量的坐標運算可得a→?b【解答】解：因為a→=(-1，2)，b→所以a→在b→方向上的投影數(shù)量是故答案為：1．【點評】本題主要考查投影數(shù)量的求解，屬于基礎(chǔ)題．11．（2024秋?青島期末）已知a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，x），且a→⊥b→，則【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】對應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】103【分析】直接由空間向量垂直的坐標運算列式求解x值．【解答】解：∵a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，x），且∴2×（﹣4）+（﹣1）×2+3x＝0，解得x=10故答案為：103【點評】本題考查空間向量垂直的坐標運算，是基礎(chǔ)題．12．（2024秋?合肥期末）已知點A（2，﹣1，1），B（3，﹣2，1），C（0，1，﹣1），則AB→在AC→上的投影向量的模為2【考點】平面向量的投影向量；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】23【分析】首先求出AB→、AC→的坐標，即可得到AB→?AC【解答】解：因為A（2，﹣1，1），B（3，﹣2，1），C（0，1，﹣1），所以AB→=(3，所以AB→?AC所以AB→在AC→上的投影向量的模為故答案為：23【點評】本題考查空間向量的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?琿春市校級期末）已知a→=(23sinx，（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知f(x0)=135，【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】（1）[-π3+kπ【分析】（1）先根據(jù)二倍角公式、輔助角公式化簡f（x），然后求解單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)角的配湊可得cos2【解答】解：（1）f=2sin令-π解得-π故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-（2）因為f(x0所以sin(2又x0∈[π所以cos(2所以cos=cos=4-3【點評】本題考查三角函數(shù)性質(zhì)，考查兩角和差公式，二倍角公式，屬于中檔題．14．（2024秋?沈陽校級期末）如圖，在△ABC中，AM→=12AB→，（1）用a→，b→表示AN→（2）若P為△ABC內(nèi)部一點，且BP→=-49a→+【考點】平面向量的數(shù)乘與線性運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】（1）AN→=1（2）證明見解答．【分析】（1）利用平面向量線性運算法則，計算出AN→=1（2）計算出MP→=19b【解答】解：（1）由題可知，AN→MN→（2）證明：由BP→可得MP→因為MN→=3MP所以M，P，N三點共線．【點評】本題考查平面向量的線性運算，屬基礎(chǔ)題．15．（2024秋?讓胡路區(qū)校級期末）已知向量a→=(2cos2x，3（1）求函數(shù)g（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）＝3，c＝1，ab=23，且a＞b，且a，【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【專題】綜合題；函數(shù)思想；向量法；解三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）直接由向量的平方等于向量模的平方可得g（x），降冪后利用周期公式求得函數(shù)周期；（2）利用數(shù)量積的坐標運算求得f（x），由f（C）＝3求得C，再由余弦定理及已知求得a，b的值．【解答】解：（1）b→∴g(∴函數(shù)g（x）的最小正周期T=（2）∵a→=(2cos∴f=2co則f(∴sin(∵C是三角形內(nèi)角，∴2C+π6∈(∴cosC=∵c＝1，ab=23，∴a2+b2＝聯(lián)立a2+b2=7ab=23∴a=3或當a=3時，b＝2；當a＝2，∵a＞b，∴a＝2，b=【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，是中檔題．

考點卡片1．三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用【知識點的認識】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數(shù)關(guān)系：sinαcosα=tan2．誘導(dǎo)公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=22．平面向量的數(shù)乘與線性運算【知識點的認識】（1）實數(shù)與向量a→的積是一個向量，記作λa→，它的大小為|λa→|＝|λ||a→|，其方向與λ的正負有關(guān)．若|λa→|≠0，當λ＞0時，λa→的方向與a→的方向相同，當λ＜當λ＝0時，λa→與a對于非零向量a、b，當λ≠0時，有a→∥b→?a（2）向量數(shù)乘運算的法則①1a→=a→；（﹣②（λμ）a→=λ（μ）a→=μ③（λ+μ）a→=λa→④λ（a→+b→）＝λ一般地，λa→+μb→叫做a→，b→的一個線性組合（其中，λ、μ均為系數(shù)）．如果l→=λa→+3．平面向量的數(shù)量積運算平面向量的數(shù)量積運算4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【知識點的認識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=（2）a→⊥b→（3）當a→，b→方向相同時，a→?b→=|a→||b→|；當a→特別地：a→?a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→?b→|≤|2、平面向量數(shù)量積的運算律（1）交換律：a→（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λa→）?b→=λ（a→?（3）分配律：（a→?b→）?平面向量數(shù)量積的運算平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（a→±b→）2=a→2±2a→?b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解題方法點撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c→≠0，④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“|a→?b→|＝|a→|⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（a→?b⑥“acbc=ab”類比得到a→?解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“a→即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，即③錯誤；∵|a→?b→|≠|(zhì)a→|∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“|a→?b→|＝|a→|即④錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（a→?b即⑤錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴acbc=ab即⑥錯誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“a→?b→=b→?a→”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）?c→=a→?c→+b→?c→”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a→?c→=b→?c→?a→=c→”；|a→?b→|≠|(zhì)a→|?【命題方向】本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個?？键c，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．5．平面向量的投影向量【知識點的認識】投影向量是指一個向量在另一個向量上的投影．投影向量可以用來求兩個向量之間的夾角，也可以用來求一個向量在另一個向量上的分解．設(shè)a→，b→是兩個非零向量，AB=a→，CD=b→，考慮如下的變換：過AB的起點A和終點B分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱上述變換為向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解題方法點撥】投影，是一個動作．投影向量，是一個向量．我們把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量為|a→|e→cosθ（其中e→為與b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量與b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命題方向】（1）向量分解：將一個向量分解成與另一個向量垂直和平行的兩個部分．（2）向量夾角計算：通過求兩個向量之間的夾角，則可以判斷它們之間的關(guān)系（如垂直、平行或成銳角或成鈍角）．（3）空間幾何問題：求點到平面的距離．6．平面向量的數(shù)量投影【知識點的認識】1、兩個向量的數(shù)量積及其性質(zhì)：（1）a→?b→＝|a→||b→|cos（2）a→⊥b→?a→?b→=0（3）|a→|2=a→2，|a2、向量的投影：|b→|cosθ=a→?b→|7．數(shù)量積表示兩個平面向量的夾角【知識點的認識】我們知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共線的，那么，當兩條向量a→與b→不平行時，那么它們就會有一個夾角θ，并且還有這樣的公式：cosθ【解題方法點撥】例：復(fù)數(shù)z=3+i與它的共軛復(fù)數(shù)z對應(yīng)的兩個向量的夾角為60解：zz=3+i3∴復(fù)數(shù)z=3+i與它的共軛復(fù)數(shù)z對應(yīng)的兩個向量的夾角為故答案為：60°．點評：這是個向量與復(fù)數(shù)相結(jié)合的題，本題其實可以換成是用向量（3，1）與向量（3，﹣1）的夾角．【命題方向】這是向量里面非常重要的一個公式，也是一個?？键c，出題方式一般喜歡與其他的考點結(jié)合起來，比方說復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等，希望大家認真掌握．8．數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系【知識點