第19頁（共19頁）2024-2025學年上學期高一數學人教A版（2019）期中必刷常考題之平面向量的概念一．選擇題（共6小題）1．（2025?山東模擬）已知向量a→=（3，sinθ），b→=（5，1），若a→∥A．725 B．-725 C．24252．（2024秋?中山區校級期末）①平行向量就是共線向量；②若向量AB→與CD→是共線向量，則A、B、C、D四點共線；③若非零向量a→與b→滿足a→+b→A．0 B．1 C．2 D．33．（2024秋?南山區期末）已知平面向量a→，b→滿足|a→|＝1，b→=（1，3），|a→-bA．0 B．1 C．2 D．34．（2024秋?中山區校級期末）已知向量a→=（﹣2，4），b→=（2，1），則A．2 B．3 C．4 D．55．（2024秋?慈溪市期末）已知a→，b→是兩個不共線的向量，若向量2a→+3b→，xaA．6 B．4 C．﹣4 D．﹣66．（2024秋?浙江期末）已知向量a→，b→不共線且滿足(tA．22 B．±22 C．2 二．多選題（共3小題）（多選）7．（2024秋?朝陽期末）下列關于平面向量的說法錯誤的是（）A．若a→，bB．若a→=bC．若a→≠b→D．若a→∥b→（多選）8．（2024秋?遼寧校級期末）下列命題正確的是（）A．若向量AB→，CD→共線，則A，B，CB．若A，B，C為平面內任意三點，則AB→C．若點G為△ABC的重心，則GA→D．已知向量a→=(4+x，y-2)，b→=(（多選）9．（2024秋?岳陽縣校級期末）下列關于向量的說法錯誤的是（）A．若a→∥b→，B．若單位向量a→，b→夾角為π6，則向量a→在向量C．若a→與b→不共線，且sa→+tbD．若a→?c→三．填空題（共3小題）10．（2024秋?河南期末）已知向量a→，b→不共線，AB→=λa→+b→，AC→=a→+μb→，其中11．（2024秋?撫順期末）若非零向量a→與單位向量e→共線，且|a→+e→|＝|e→|，則|a12．（2024秋?西城區校級期末）向量a→=(-4，6)，b→=(2，x)滿足a→∥b→，其中x∈R，那么x＝四．解答題（共3小題）13．（2024秋?葫蘆島期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直線EF過點G，交BA于點E，交BC于點F．（1）求|BG（2）若BE→=λBA→，BF→=μ14．（2024春?香坊區校級期中）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量a→=（2，1），A（1，0），B（cosθ，（1）若a→∥AB→，且|AB→|=5|OA（2）若a→∥AB→，求y＝cos2θ﹣cosθ+t15．（2024春?梅縣區校級期中）設兩個非零向量a→與b→（1）若AB→=a→+b→，BC→=2a→+8b→（2）試確定實數k，使ka→+b→和

2024-2025學年上學期高一數學人教A版（2019）期中必刷常考題之平面向量的概念參考答案與試題解析題號123456答案ACDDDD一．選擇題（共6小題）1．（2025?山東模擬）已知向量a→=（3，sinθ），b→=（5，1），若a→∥A．725 B．-725 C．2425【考點】平面向量的平行向量（共線向量）；求二倍角的三角函數值．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；三角函數的求值；平面向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】A【分析】直接利用向量的坐標運算和三角函數的倍角公式求出結果．【解答】解：已知向量a→=(3，sinθ)整理得：3﹣5sinθ＝0，故sinθ=故cos2故選：A．【點評】本題考查的知識點：向量的共線，向量的坐標運算，三角函數的關系式的變換，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．2．（2024秋?中山區校級期末）①平行向量就是共線向量；②若向量AB→與CD→是共線向量，則A、B、C、D四點共線；③若非零向量a→與b→滿足a→+b→A．0 B．1 C．2 D．3【考點】平面向量的相等與共線．【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；邏輯思維．【答案】C【分析】根據共線向量及相反向量的定義判斷即可．【解答】解：對于①：由共線向量定義可知，①正確；對于②：若向量AB→與CD則表示向量AB→與CD→的線段有可能平行或重合，故對于③：若非零向量a→與b→滿足則a→=-b→，所以a→故選：C．【點評】本題考查共線向量及相反向量的定義，屬基礎題．3．（2024秋?南山區期末）已知平面向量a→，b→滿足|a→|＝1，b→=（1，3），|a→-bA．0 B．1 C．2 D．3【考點】平面向量的模．【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】D【分析】由題設，求得|b→|=2，a【解答】解：由b→=（1，3），可得|b→|=2，又|則由|a→-b→|＝即5-2a則|a→故選：D．【點評】本題考查平面向量數量積的性質及運算，屬基礎題．4．（2024秋?中山區校級期末）已知向量a→=（﹣2，4），b→=（2，1），則A．2 B．3 C．4 D．5【考點】平面向量的模．【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】D【分析】首先求出a→【解答】解：由a→=(-2，可得a→所以|a故選：D．【點評】本題考查平面向量的模長公式，屬基礎題．5．（2024秋?慈溪市期末）已知a→，b→是兩個不共線的向量，若向量2a→+3b→，xaA．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6【考點】平面向量的平行向量（共線向量）．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】D【分析】根據已知條件，結合平面向量共線的性質，即可求解．【解答】解：a→，b→是兩個不共線的向量，若向量2a→+3b→，則x2=-93故選：D．【點評】本題主要考查平面向量共線的性質，屬于基礎題．6．（2024秋?浙江期末）已知向量a→，b→不共線且滿足(tA．22 B．±22 C．2 【考點】平面向量的平行向量（共線向量）．【專題】對應思想；定義法；平面向量及應用；運算求解．【答案】D【分析】根據向量共線的判定定理可知存在k∈R，使得ta【解答】解：已知向量a→，b→不共線，則由(ta→+b→)∥(2a又向量a→，b→不共線，∴t=2故選：D．【點評】本題考查共線向量基本定理的應用，是基礎題．二．多選題（共3小題）（多選）7．（2024秋?朝陽期末）下列關于平面向量的說法錯誤的是（）A．若a→，bB．若a→=bC．若a→≠b→D．若a→∥b→【考點】平面向量的平行向量（共線向量）．【專題】對應思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】ACD【分析】根據相等向量與共線向量的概念可判定A、B、C；由向量共線定理可判定D．【解答】解：若a→，b→是共線的單位向量，則a→兩向量相等，即大小相等，方向相同，故B正確；若a→≠b此時a→，b若a→∥b→，如則不存在實數λ，使得a→=λ故選：ACD．【點評】本題考查平行向量與相等向量的概念，屬基礎題．（多選）8．（2024秋?遼寧校級期末）下列命題正確的是（）A．若向量AB→，CD→共線，則A，B，CB．若A，B，C為平面內任意三點，則AB→C．若點G為△ABC的重心，則GA→D．已知向量a→=(4+x，y-2)，b→=(【考點】平面向量的平行向量（共線向量）．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】BC【分析】根據向量共線的定義判斷出A項的正誤；平面向量的線性運算法則判斷出B項的正誤；根據平面向量的線性運算性質與三角形重心的性質，可判斷出C項的正誤；根據平面向量共線的坐標表示，判斷出D項的正誤．【解答】解：對于A，若向量AB→，CD不一定A、B、C、D在同一直線上，故A項錯誤；對于B，根據平面向量線的性運算法則，可知AB→+BC對于C，若點G為△ABC的重心，設AB中點為M，則GA→由三角形重心的性質，得CG→=2GM→，可得2GM對于D，因為向量a→=(4+x，y所以（4+x）?y＝x?（y﹣2），化簡得x+2y＝0，故D項錯誤．故選：BC．【點評】本題主要考查平面向量的線性運算法則、三角形重心的性質、兩個向量平行的條件等知識，考查概念的理解能力，屬于基礎題．（多選）9．（2024秋?岳陽縣校級期末）下列關于向量的說法錯誤的是（）A．若a→∥b→，B．若單位向量a→，b→夾角為π6，則向量a→在向量C．若a→與b→不共線，且sa→+tbD．若a→?c→【考點】平面向量的平行向量（共線向量）；平面向量的數量積運算；平面向量的投影向量．【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】AD【分析】對于A：舉反例說明即可；對于B：根據投影向量的定義分析判斷；對于C：根據向量共線的判定定理分析判斷；對于D：根據數量積的定義分析判斷．【解答】解：A：當b→=0→時，滿足a→∥b→，b→∥c→，但a→與c→不一定平行，A錯誤；B：單位向量aC：不妨假設s≠0，則a→=-tsb→，可知所以s＝t＝0，C正確；D：因為a→?c又c→≠0→，則|a故選：AD．【點評】本題主要考查向量的相關知識，考查計算能力，屬于中檔題也是易錯題．三．填空題（共3小題）10．（2024秋?河南期末）已知向量a→，b→不共線，AB→=λa→+b→，AC→=a→+μb→，其中【考點】平面向量的平行向量（共線向量）．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；平面向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】4．【分析】結合三點共線的向量形式，利用向量基本定理得λμ＝1，然后利用基本不等式求解最小值即可．【解答】解：向量a→，b→因為A，B，C三點共線，所以存在實數k，使AB→=k又向量a→，b→不共線，所以λ=k1=μk?λμ=1當且僅當λ＝4μ＝2時，取等號，即λ+4μ的最小值為4．故答案為：4．【點評】本題考查的知識點：向量的線性運算，共線向量基本定理，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．11．（2024秋?撫順期末）若非零向量a→與單位向量e→共線，且|a→+e→|＝|e→|，則|a【考點】平面向量的模．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】先判斷非零向量a→與單位向量e【解答】解：|a→+e→|＝|e→|則非零向量a→與單位向量e則|a故|a→|＝2故答案為：2．【點評】本題主要考查平面向量的模，屬于基礎題．12．（2024秋?西城區校級期末）向量a→=(-4，6)，b→=(2，x)滿足a→∥b→，其中x∈R，那么x＝【考點】平面向量的平行向量（共線向量）．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】﹣3；13．【分析】結合向量共線的性質，以及向量模公式，即可求解．【解答】解：向量a→=(-4，6)，則﹣4x＝12，解得x＝﹣3，故b→所以|b→|=故答案為：﹣3；13．【點評】本題主要考查向量共線的性質，屬于基礎題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?葫蘆島期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直線EF過點G，交BA于點E，交BC于點F．（1）求|BG（2）若BE→=λBA→，BF→=μ【考點】平面向量的概念與平面向量的模；運用基本不等式求最值．【專題】轉化思想；綜合法；不等式的解法及應用；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）203（2）6．【分析】（1）由重心性質可得BG→（2）由平面向量基本定理的推論得13【解答】解：（1）根據題意：BA→=(-4，由G是△ABC的重心，可得BG→所以|BG（2）由BE→可得BA→=1所以BG→因為E，F，G三點共線，所以13則2λ當且僅當8μ3λ=2λ3所以2λ+8μ的最小值為6．【點評】本題考查平面向量的模長公式及平面向量基本定理，考查基本不等式求最值，屬中檔題．14．（2024春?香坊區校級期中）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量a→=（2，1），A（1，0），B（cosθ，（1）若a→∥AB→，且|AB→|=5|OA（2）若a→∥AB→，求y＝cos2θ﹣cosθ+t【考點】平面向量的相等與共線．【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）OB→=（﹣1，﹣（2）ymin=-【分析】（1）運用向量平行的條件和向量的模長的公式，解方程可得t，進而得到所求向量的坐標；（2）由向量平行的條件，運用配方法和余弦函數的性質，可得所求最小值．【解答】解：（1）∵向量a→=（2，1），A（1，0），B（cosθ，∴AB→=（cosθ﹣1，t），又a→∥AB→，∴2t﹣cosθ+1＝0，∴cosθ﹣1＝又|AB→|=5|OA→|，∴（cosθ﹣1）2+t2＝由①②得，5t2＝5，∴t2＝1，∴t＝±1，當t＝1時，cosθ＝3（舍去），當t＝﹣1時，cosθ＝﹣1，∴B（﹣1，﹣1），即OB→=（﹣1，﹣（2）由（1）可知t=cosθ∴y＝cos2θ﹣cosθ+(cosθ-1)24又∵cosθ∈[﹣1，1]；∴當cosθ=35時，ymin【點評】本題考查向量的數量積的坐標表示和性質，考查三角函數的化簡和求值，注意運用二次函數的最值的求法，屬于中檔題．15．（2024春?梅縣區校級期中）設兩個非零向量a→與b→（1）若AB→=a→+b→，BC→=2a→+8b→（2）試確定實數k，使ka→+b→和【考點】平面向量的相等與共線．【專題】計算題；轉化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）證明略；（2）﹣1．【分析】（1）可根據BD→=BC→+CD→進行向量的數乘運算可得出BD→=5(a→（2）可設ka→+b→=λ【解答】解：（1）證明：∵AB→∴BD→=5AB∴AB→與BD→共線，且AB→與BD∴A，B，D三點共線；（2）設ka→+b→=λa∴根據平面向量基本定理得：λ=kkλ=1，解得k＝﹣1或【點評】本題考查了向量的加法和數乘運算，共線向量和平面向量基本定理，考查了計算能力，屬于基礎題．

考點卡片1．運用基本不等式求最值【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數的幾何平均數小于或等于它們的算術平均數．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2【解題方法點撥】在運用均值不等式求最值時，可以將代數式分解成可以應用均值不等式的形式．例如，要求代數式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2從而得出最小值為2【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數表達式的最值求解、幾何圖形的最優設計等．例如，求解一個代數式的最小值，或設計一個幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學生能夠靈活運用均值不等式進行最值求解，并能正確代入和計算．已知正數a，b滿足a+b＝1，則a+1+b解：因為正數a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則a+1當且僅當a＝b=1故答案為：6．2．求二倍角的三角函數值【知識點的認識】二倍角的正弦其實屬于正弦函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實屬于余弦函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實屬于正切函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α=2【解題方法點撥】﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2αtan2﹣將具體角度值代入公式，求解二倍角的三角函數值．﹣驗證計算結果的正確性．【命題方向】常見題型包括利用二倍角公式求解三角函數值，結合具體角度進行計算．已知tanα2=22，則解：因為tanα所以tanα=故答案為：223．平面向量的概念與平面向量的模【知識點的認識】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數量（物理中的標量：身高、體重、年齡）．在數學中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個標量．向量的幾何表示用有向線段表示向量，有向線段的長度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點、終點的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小寫字母a→、b→，…表示．有向向量的長度為模，表示為|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的長度（或稱模），記作|AB零向量長度為零的向量叫做零向量，記作0→，零向量的長度為0單位向量長度為一個單位長度的向量叫做單位向量AB→（與AB→共線的單位向量是相等向量長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．4．平面向量的模【知識點的認識】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數量（物理中的標量：身高、體重、年齡）．在數學中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個標量．向量的模AB→的大小，也就是AB→的長度（或稱模），記作|AB【解題方法點撥】﹣計算模：也就是AB→﹣實際應用：用于求解平面幾何中的距離問題，如兩點間的距離等．【命題方向】﹣向量模的計算：考查如何計算向量的模，并應用于幾何問題．﹣向量長度的應用：在問題中如何利用向量的長度解決實際問題，如物體的位移和距離計算．如圖，在2×4的矩形中，起點和終點都在小方格頂點，且模與AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有39解：如圖，設小正方形的邊長為1，則|AB→|=則長度為5的對角線有20個，分別為AB，DE，FG，HI，CD，BF，EH，GK，CO，EM，BP，GN，EQ，IO，AO，MF，NH，PD，OK，FQ，∴模與AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有20×2﹣1＝故答案為：39．5．平面向量的相等與共線【知識點的認識】相等向量的定義：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量．共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．規定：零向量與任一向量平行．注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等．表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移．【解題方法點撥】平行向量與相等向量的關系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時，向量所在的直線重合或平行；（2）平行向量要求兩個向量均為非零向量，規定：零向量與任一向量平行．相等向量則沒有這個限制，零向量與零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動到同一直線上．因此，平行向量也叫做共線向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命題方向】了解向量的實際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念，理解向量的幾何表示．命題形式只要以選擇、填空題型出現，難度不大，有時候會與向量的坐標運算等其它知識結合考察．6．平面向量的平行向量（共線向量）【知識點的認識】相等向量的定義：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量．共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．規定：零向量