章末復習第十七章勾股定理目錄考點精講課堂小結當堂練習要點梳理要點梳理教學目標教學重點1.如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊

為c，那么a2

+b2=c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.在直角三角形中才可以運用2.勾股定理的應用條件1.勾股定理3.勾股定理表達式的常見變形：

a2＝c2－b2,

b2＝c2－a2，ABCcab要點梳理2.勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2

，那么這個三角形是直角三角形.2.原命題與逆命題如果兩個命題的題設、結論正好相反，那么把其中一個叫做原命題，另一個叫做它的逆命題.ABCcab滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數.3.勾股數考點精講典例精講歸納總結例1

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15.（1）求AB的長；（2）求BD的長．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，（2）方法一：∵S△ABC=AC?BC=AB?CD，∴20×15=25CD，

∴CD=12．∴在Rt△BCD中，考點1勾股定理及其應用考點精講方法二：設BD=x,則AD=25-x.解得x=9.∴BD=9.方法總結對于本題類似的模型，若已知兩直角邊求斜邊上的高常需結合面積的兩種表示方法來考查，若是同本題(2)中兩直角三角形共一邊的情況，還可利用勾股定理列方程求解.1.Rt△ABC中，斜邊BC=2，則AB2+AC2+BC2的值為（）A.8B.4C.6D.無法計算A3.一直角三角形的三邊分別為2、3、x，那么以x為邊長的正方形的面積為___________.2.如圖，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，則AD的長為______．13或513針對訓練4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，求△ABC的面積.解：∵a+b=14，∴(a+b)2=196.又∵a2+b2=c2=100，∴2ab=196-(a2+b2)=96，∴ab=24，即△ABC的面積為24．例2

我國古代數學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各是多少？

如圖，設水池的水深AC為x尺，

則這根蘆葦長AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺，由勾股定理得BC2+AC2=AB2,即52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，∴x=12，x+1=13.答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺.DBCA解：例3

如圖所示，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處，問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？解析：螞蟻由A點沿長方體的表面爬行到C1點，有三種方式：①沿ABB1A1和A1

B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三種方式分別展成平面圖形，如下：解：

在Rt△ABC1中，

在Rt△ACC1中，

在Rt△AB1C1中，∴沿路徑走路徑最短，最短路徑長為5.化折為直：長方體中求兩點之間的最短距離，展開方法有多種，一般沿最長棱展開，距離最短.方法總結5.現有一長5米的梯子架靠在建筑物的墻上，它們的底部在地面的水平距離是3米，則梯子可以到達建筑物的高度是______米．4針對訓練在Rt△ABO中，OA＝2米，DC＝OB＝1.4米，∴AB2＝22－1.42＝2.04.∵4－2.6＝1.4，1.42＝1.96，2.04＞1.96，答：卡車可以通過，但要小心．解：如圖，過半圓直徑的中點O，作直徑的垂線交下底邊于點D，取點C，使CD＝1.4米，過C作OD的平行線交半圓直徑于B點，交半圓于A點.6.如圖，某住宅社區在相鄰兩樓之間修建一個上方是一個半圓，下方是長方形的仿古通道，現有一輛卡車裝滿家具后，高4米，寬2.8米，請問這輛送家具的卡車能否通過這個通道？7.在O處的某海防哨所發現在它的北偏東60°方向相距1000米的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經過若干小時后快艇到達哨所東南方向的B處.（1）此時快艇航行了多少米(即AB

的長)？北東OAB60°45°C解：根據題意得∠AOC=30°，∠COB=45°，AO=1000米.∴AC=500米，BC=OC.在Rt△AOC中，由勾股定理得∴BC=OC=在O處的某海防哨所發現在它的北偏東60°方向相距1000米的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經過若干小時后快艇到達哨所東南方向的B處.（2）距離哨所多少米（即OB的長）？北東OAB60°45°C解：在Rt△BOC中，由勾股定理得例4

在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，，2c-b=12，求△ABC的面積．解：由題意可設a=3k，則b=4k，c=5k，∵2c-b=12，∴10k-4k=12，∴k=2，∴a=6，b=8，c=10，∵62+82=102，∴a2+b2=c2，∴△ABC為直角三角形，∴△ABC的面積為×6×8=24．考點2勾股定理的逆定理及其應用例5

B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°方向以每小時8nmile的速度前進，乙船沿南偏東某個角度以每小時15nmile的速度前進，2h后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34nmile，你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎？解：甲船航行的距離為BM=16（nmile）,乙船航行的距離為BP=30（nmile）．∵162+302=1156，342=1156,∴BM2+BP2=MP2,∴△MBP為直角三角形，∴∠MBP=90°,∴乙船是沿著南偏東30°方向航行的．8.下列各組數中，是勾股數的為（）A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，99.已知下列圖形中的三角形的頂點都在正方形的格點上，可以判定三角形是直角三角形的有________．

(2)(4)

C針對訓練10.如圖，在四邊形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A與∠C的關系，并加以證明．解：猜想∠A+∠C=180°．連接AC.∵∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得

∵AD2+DC2=625=252=AC2，∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠DAB+∠BCD=180°，即∠A+∠C=180°．11．如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距5nmile的A，B兩個基地前去攔截，6min后同時到達C地將其攔截．已知甲巡邏艇的速度為40nmile/h，乙巡邏艇的速度為30nmile/h，且乙巡邏艇的航向為北偏西37°，求甲巡邏艇的航向．解：由題意得AC＝40×(6÷60)＝4(nmile)，BC＝30×(6÷60)＝3(nmile)．∵AB＝5nmile，∴AB2＝BC2＋AC2.∴∠ACB＝90°.∵∠CBA＝90°－37°＝53°，∴∠CAB＝37°.答：甲巡邏艇的航向為北偏東53°.考點3勾股定理與折疊問題例6

如圖，在長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，求△ABE的面積.解：∵將長方形折疊，使點D與點B重合，∴ED=BE.設AE=xcm，則ED=BE=(9-x)cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴32+x2=(9-x)2，解得x=4.∴△ABE的面積為3×4×=6(cm2).方法總結

勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題；如果只知一邊和另兩邊的關系時，也可用勾股定理求出未知邊，這時往往要列出方程求解．11.如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕是DE，則CD的長為

．

1.75cm針對訓練考點4本章解題思想方法方程思想

例7

如圖，在△ABC中，AB=17，BC=9，AC=10，AD⊥BC于D.試求△ABC的面積．解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2，設DC=x，則BD=9+x，故172-(9+x)2=102-x2，解得x=6.∴AD2=AC2?CD2=64，∴AD=8.∴S△ABC=×9×8=36．解：當高AD在△ABC內部時，如圖①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，

∴△ABC的周長為25＋20＋15＝60.例8

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD為BC邊上的高，且AD＝12，求△ABC的周長．分類討論思想

題中未給出圖形，作高構造直角三角形時，易漏掉鈍角三角形的情況．如在本例題中，易只考慮高AD在△ABC內的情形，忽視高AD在△ABC外的情形．同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周長為7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC的周長為42或60.方法總結當高AD在△ABC外部時，如圖②.例9

有一圓柱體高為8cm，底面圓的半徑為2cm，如圖.在AA1上的點Q處有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的點P處有一只蒼蠅，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最短路徑長(π取3).解：如圖,