1認識三角形第3課時三角形的高、中線與角平分線

第四章三角形講授新課當堂練習課堂小結新課導入目錄新課導入教學目標教學重點1.認識三角形的高、中線與角平分線，能畫任意三角形的高;了解三角形的三條中線交于一點，三角形的三條角平分線交于一點，三角形三條高所在的直線交于一點（重點）2.學會用數學知識解決實際問題的能力，發展應用和自主探究意識，并培養學生的動手實踐能力與合作精神.（難點）學習目標你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎?012345012345678910012345678910012345678910012345012345放、靠、過、012345678910012345012345012345678910012345012345畫.思考：過三角形的一個頂點，你能畫出它的對邊的垂線嗎?新課導入講授新課典例精講歸納總結三角形的高的定義A從三角形的一個頂點，BC向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足D之間的線段叫作三角形的高線，簡稱三角形的高.如右圖,線段AD是BC邊上的高.和垂足的字母.注意!標明垂直的記號012345678910012345012345三角形的高思考：你還能畫出一條高來嗎？一個三角形有三個頂點，應該有三條高.(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎?(2)

這三條高之間有怎樣的位置關系？O(3)

銳角三角形的三條高是在三角形的內部還是外部?銳角三角形的三條高交于同一點；銳角三角形的三條高都在三角形的內部.銳角三角形的三條高如圖所示；直角邊BC邊上的高是

;直角邊AB邊上的高是

;(2)AC邊上的高是

;直角三角形的三條高ABC(1)畫出直角三角形的三條高,ABBC它們有怎樣的位置關系？D直角三角形的三條高交于直角頂點.BD鈍角三角形的三條高

(1)你能畫出鈍角三角形的三條高嗎？ABCDEF(2)AC邊上的高呢？AB邊上呢？BC邊上呢？BFCEADABCDF(3)鈍角三角形的三條高交于一點嗎？(4)它們所在的直線交于一點嗎？OE鈍角三角形的三條高不相交于一點；鈍角三角形的三條高所在直線交于一點.例1

作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(

)方法總結：三角形任意一邊上的高必須滿足：(1)過該邊所對的頂點；(2)垂足必須在該邊或在該邊的延長線上．D例2

如圖，在△ABC中，BC邊上的高AD＝4cm，BC＝4cm，AC＝5cm.(1)試求△ABC的面積及AC邊上的高BE的長；(2)試求AD∶BE的值．利用三角形面積公式及面積法求解．導引：(1)S△ABC＝BC·AD＝×4×4＝8(cm2)，因為S△ABC＝AC·BE＝×5×BE＝8(cm2)，所以BE＝cm.(2)AD∶BE＝4∶＝

解：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，則BP的最小值為____．練一練在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫作這個三角形的中線(median).AE是BC邊上的中線.三角形的“中線”BACABE=ECE三角形的中線(1)在紙上畫出一個銳角三角形，確定它的中線.

你有什么方法？它有多少條中線？它們有怎樣的位置關系?議一議三條中線，交于一點(2)鈍角三角形和直角三角形的中線又是怎樣的？折一折，畫一畫，并與同伴交流.

三角形的三條中線交于一點，這個交點就是三角形的重心.要點歸納例1

在△ABC中，AC＝7cm，AD是△ABC的中線，若△ABD的周長比△ADC的周長大2cm，則BA＝________.提示：將△ABD與△ADC的周長之差轉化為邊長的差.9cm例2

張大爺的兩個兒子都長大成人了，也該分家了．于是張大爺準備把如圖所示的一塊三角形田地平均分給兩個兒子，兩個兒子要求分成的兩塊田地的形狀仍然是三角形，請你幫助張大爺提出一種平分的方案．根據等底等高的兩個三角形的面積相等，要等分三角形的面積，只需要作出一條邊上的中線即可．導引：根據要求，平分田地的直線只能經過三角形的頂點．畫△ABC的中線AD(如圖)，則AD就把△ABC的面積平分成兩份．這是因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC.過點A作AE⊥BC于點E.在△ABD和△ACD中，因為BD，CD邊上的高都是AE，所以由三角形的面積計算公式，知△ABD和△ACD的面積相等，因此，要把△ABC平分成兩個三角形，只需畫中線AD即可，這是一種平分方法．(本題答案不唯一，作AB，AC邊上的中線也可以)解：1.若AD是△ABC的中線，則下列結論中錯誤的是(

)A．AB＝BC

B．BD＝DCC．AD平分BC

D．BC＝2DCA練一練2.如圖，△ABC的面積為3，BD：DC＝2：1，E是AC的中點，AD與BE相交于點P，那么四邊形PDCE的面積為(

)A.B.C.D.B三角形的角平分線的定義:

在三角形中，一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫三角形的角平分線.12ABCD注意：“三角形的角平分線”是一條線段.∠1=∠2三角形的角平分線每人準備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形紙片各一個.

(1)你能分別畫出這三個三角形的三條角平分線嗎?(2)在每個三角形中，這三條角平分線之間有怎樣的位置關系?做一做三角形的三條角平分線交于同一點.三角形角平分線的性質例3

如圖所示，AD是△ABC的角平分線，AE是△ABD的角平分線，∠BAC＝80°，則∠EAD的度數是(

)A．20°

B．30°C．45°

D．60°因為AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，所以∠BAD＝40°.又因為AE平分∠BAD，所以∠EAD＝20°.導引：A3.如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列結論錯誤的是(

)A．BD是△ABC的角平分線B．CE是△BCD的角平分線C．∠3＝∠ACBD．CE是△ABC的角平分線D練一練解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝68°，

∴∠DAC＝∠BAD＝34°.

在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－36°－34°＝110°.4.

如圖,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一條角平分線，求∠ADB的度數.ABDC5

如圖，已知AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度數．解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－50°＝100°.當堂練習當堂反饋即學即用1.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC的高()ADCBABCDABCDABCDABCDD當堂練習1.AD是ΔABC的高（如圖1），那么

∠ADB∠ADC=

；2.AD是ΔABC的角平分線（如圖2），那么

∠BAC=∠BAD；3.AE是ΔABC的中線（如圖3），那么

BC=BE.2當堂練習圖1圖2圖390°2=4.如圖,在△ABC中,∠1=∠2,G為AD中點,延長BG交

AC于E,F為AB上一點,CF⊥AD于H,判斷下列說法的正誤.⌒⌒ABCDE12FGH（1）AD是△ABE的角平分線()（2）BE是△ABC邊AC上的中線()××（3）CH是△ACD邊AD上的高()√

5.如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴∠DAC=180°－(∠ADC+∠C)

=180°－90°－40°=50°.∵AE是△ABC的角平分線，且∠BAC=82°，∴∠CAE=41°，∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°=9°.BACDE6.在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為12cm和15cm的兩部分，求三角形的各邊長．因為中線BD將△ABC的周長分成兩部分：(BC＋CD)和(AD＋AB)，誰為12cm，誰為15cm，不確定，故應分類討論；另外題中涉及線段較多，因此可建立方程模型，利用設未知數來求解．導引：設AB＝xcm，則AD＝CD＝

xcm.(1)如圖①，若AB＋AD＝12cm，則x＋

x＝12，解得x＝8，即AB＝AC＝8cm，CD＝4cm.故BC＝15－4＝11(cm)．此時AB＋AC＞BC，所以三邊長分別為8cm，8cm，11cm.解：(2)如圖②，若AB＋AD＝