16.1二根次式第十六章二次根式第1課時二次根式的概念講授新課當堂練習課堂小結新課導入目錄新課導入教學目標教學重點1.理解二次根式的概念.（重點）2.掌握二次根式有意義的條件.（重點）3.會利用二次根式的非負性解決相關問題.（難點）學習目標回顧復習問題1

什么叫做平方根?

一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根.問題2

什么叫做算術平方根?

如果一個正數x的平方等于a,即x2=a，那么x稱為a的算術平方根.用表示.0的算數平方根為0.問題3

什么數有算術平方根?我們知道,負數沒有平方根.因此，在實數范圍內開平方時，被開方數只能是正數或0.新課導入思考

用帶根號的式子填空，這些結果有什么特點？(1)面積為3的正方形的邊長為_________，面積為S的正方形的邊長為__________.(2)一個長方形的圍欄，長是寬的2倍，面積為130m2,則它的寬為________m.

(3)一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t

(單位：s)與開始落下時離地面的高度h(單位：m)

滿足關系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t為

______.

上面問題的結果分別是

，它們表示一些正數的算術平方根.講授新課典例精講歸納總結問題1

這些式子分別表示什么意義？分別表示3，S，65，的算術平方根．上面問題中，得到的結果分別是：

，

，

，

．

一、二次根式的概念①根指數都為2;②被開方數為非負數.問題2

這些式子有什么共同特征？講授新課歸納總結

一般地，我們把形如

的式子叫做二次根式.

“”稱為二次根號.兩個必備特征①外貌特征：含有“”②內在特征：被開方數a

≥0注意：a可以是數，也可以是式.例1

下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1屬于“非負數+正數”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根號被開方數是不是非負數二次根式不是二次根式是是否否分析：二次根式的識別方法：判斷一個式子是否為二次根式，一定要緊扣二次根式的定義，看所給的式子是否同時具備二次根式的兩個特征：(1)含根號且根指數為2(通常省略不寫)；(2)被開方數(式)為非負數．歸納總結1.下列式子一定是二次根式的是()A.B.

C.

D.2.下列式子不一定是二次根式的是(

)A.B.C.D.CA練一練：二、二次根式有意義的條件

式子

只有在條件a≥0時才叫二次根式．即a≥0是

為二次根式的前提條件.

1．二次根式有意義的條件是被開方數(式)為非負數；反之也成立，即：

有意義?a≥0.2．二次根式無意義的條件是被開方數(式)為負數；反之也成立，即：

無意義?a＜0.例2

當x是怎樣的實數時,在實數范圍內有意義?解：由x-2≥0，得x≥2.當x≥2時，在實數范圍內有意義.解：由題意得x-1＞0，∴x＞1.解：∵被開方數需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.

要使二次根式在實數范圍內有意義，即需滿足被開方數≥0，列不等式求解即可.若式子為分式，應同時考慮分母不為零.歸納解：∵無論x為何實數，∴當x=1時，在實數范圍內有意義.

被開方數是多項式時，需要對組成多項式的項進行恰當分組湊成含完全平方的形式，再進行分析討論.歸納(1)單個二次根式如有意義的條件：A≥0；(2)多個二次根式相加如有意義的條件：(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：

A＞0；(4)二次根式與分式的和如有意義的條件：

A≥0且B≠0.歸納總結1.下列各式：.

一定是二次根式的有（）A.3個B.4個C.5個D.6個B2.(1)若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是_______;(2)若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是___________.x

≥1

x

≥0且x≠2

練一練：問題1

當x是怎樣的實數時，在實數范圍內有意義？呢？前者x為全體實數；后者x為正數和0.

當a＞0時，表示a的算術平方根，因此＞0；當a=0時，表示0的算術平方根，因此=0.這就是說，當a≥0時，≥0.問題2

二次根式的被開方數a的取值范圍是什么？它本身的取值范圍又是什么？三、二次根式的雙重非負性

二次根式的實質是表示一個非負數（或式）的算術平方根.對于任意一個二次根式，我們知道：（1）a為被開方數，為保證其有意義，可知a≥0；（2）表示一個數或式的算術平方根，可知≥0.

二次根式的被開方數非負二次根式的值非負二次根式的雙重非負性歸納總結例3

若，求a-b+c的值.解：

由題意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.

多個非負數的和為零，則可得每個非負數均為零.初中階段學過的非負數主要有絕對值、偶次冪及二次根式.歸納例4

已知y=,求3x+2y的算術平方根.解：由題意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=25.∵25的算術平方根為5，∴3x+2y的算術平方根為5．解：由題意得∴a=3，∴b=4.當a為腰長時，三角形的周長為3+3+4=10；當b為腰長時，三角形的周長為4+4+3=11．

若，則根據被開方數大于等于0，可得a=0.歸納1.若

，則xy＝________.2.實數a，b滿足

＋4a2＋4ab＋b2＝0，則ba的值為(

)A．2B.C．－2D．－9B練一練：當堂練習當堂反饋即學即用1.下列式子中，不屬于二次根式的是（）C當堂練習2.二次根式中，x的取值范圍是(

)A．x≥1B．x＞1C．x≤1D．x＜1A3.如果式子

有意義，那么

x的取值

范圍在數軸上表示正確的是(

)C

5.若

，則x-y

的值為( )A．1B．－1 C．7 D．－7C6.當x=____時，二次根式取最小值，其最小值為______．-104.式子有意義，則實數a的取值范圍是(

)A．a≥－1B．a≠2C．a≥－1且a≠2D．a＞2C7.當a是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？8.已知|3x-y-1|和互為相反數，求x+4y的平方根．解：由題意，得∵∴3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根為±3.9.若x，y是實數，且y＜,求的值.

解：根據題意得∴x=1.∵y＜,∴y＜，∴

.10.先閱讀，后回答問題：當x為何值時，有意義？解：由題意得x(x-1)≥0，由乘法法則得解得x≥1或x≤0.即當x≥1