北京大學附中2025年高三第一次統練考試數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，內接于圓，是圓的直徑，，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．2．已知角的終邊經過點,則A． B．C． D．3．設（是虛數單位），則（）A． B．1 C．2 D．4．已知集合，集合，則（）.A． B．C． D．5．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的右焦點為，若F到直線的距離為，則E的離心率為()A． B． C． D．6．記為數列的前項和數列對任意的滿足.若，則當取最小值時，等于（）A．6 B．7 C．8 D．97．集合的真子集的個數是（）A． B． C． D．8．設復數滿足，在復平面內對應的點為，則不可能為（）A． B． C． D．9．點在曲線上，過作軸垂線，設與曲線交于點，，且點的縱坐標始終為0，則稱點為曲線上的“水平黃金點”，則曲線上的“水平黃金點”的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知集合，，若，則（）A．或 B．或 C．或 D．或11．若的展開式中的常數項為-12，則實數的值為（）A．-2 B．-3 C．2 D．312．已知復數是純虛數，其中是實數，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為____________.14．已知過點的直線與函數的圖象交于、兩點，點在線段上，過作軸的平行線交函數的圖象于點，當∥軸，點的橫坐標是15．下圖是一個算法流程圖,則輸出的的值為__________．16．若函數的圖像與直線的三個相鄰交點的橫坐標分別是,,,則實數的值為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在多面體中，四邊形是正方形，平面，，，為的中點.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的正弦值.18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρcos2θ=4asinθ?(a>0)，直線l的參數方程為x=-2+22t,y=-1+（I）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程（不要求具體過程）；（II）設P(-2,-1)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，求a的值．19．（12分）如圖，平面四邊形為直角梯形，，，，將繞著翻折到.（1）為上一點，且，當平面時，求實數的值；（2）當平面與平面所成的銳二面角大小為時，求與平面所成角的正弦.20．（12分）移動支付（支付寶及微信支付）已經漸漸成為人們購物消費的一種支付方式，為調查市民使用移動支付的年齡結構，隨機對100位市民做問卷調查得到列聯表如下：（1）將上列聯表補充完整，并請說明在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡是否有關？（2）在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進一步的問卷調查，從這10人隨機中選出3人頒發參與獎勵，設年齡都低于35歲（含35歲）的人數為，求的分布列及期望.（參考公式：（其中）21．（12分）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，∥，為等邊三角形，平面底面，為的中點.（1）求證：平面平面；（2）點在線段上，且，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.22．（10分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數方程為（為參數）和曲線（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．（1）求直線和曲線的極坐標方程；（2）在極坐標系中，已知點是射線與直線的公共點，點是與曲線的公共點，求的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

根據已知證明平面，只要設，則，從而可得體積，利用基本不等式可得最大值．【詳解】因為，所以四邊形為平行四邊形.又因為平面，平面，所以平面，所以平面.在直角三角形中，，設，則，所以，所以.又因為，當且僅當，即時等號成立，所以.故選：B．本題考查求棱錐體積的最大值．解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設出底面三角形一邊長為，用建立體積與邊長的函數關系，由基本不等式得最值，或由函數的性質得最值．2．D【解析】因為角的終邊經過點,所以,則,即.故選D．3．A【解析】

先利用復數代數形式的四則運算法則求出，即可根據復數的模計算公式求出．【詳解】∵，∴．故選：A．本題主要考查復數代數形式的四則運算法則的應用，以及復數的模計算公式的應用，屬于容易題．4．A【解析】

算出集合A、B及，再求補集即可.【詳解】由，得，所以，又，所以，故或.故選：A.本題考查集合的交集、補集運算，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.5．A【解析】

由已知可得到直線的傾斜角為，有，再利用即可解決.【詳解】由F到直線的距離為，得直線的傾斜角為，所以，即，解得.故選：A.本題考查橢圓離心率的問題，一般求橢圓離心率的問題時，通常是構造關于的方程或不等式，本題是一道容易題.6．A【解析】

先令，找出的關系，再令，得到的關系，從而可求出，然后令，可得，得出數列為等差數列，得，可求出取最小值.【詳解】解法一：由，所以，由條件可得，對任意的，所以是等差數列，，要使最小，由解得，則.解法二：由賦值法易求得，可知當時，取最小值.故選：A此題考查的是由數列的遞推式求數列的通項，采用了賦值法，屬于中檔題.7．C【解析】

根據含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，計算可得；【詳解】解：集合含有個元素，則集合的真子集有（個），故選：C考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對于含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，屬于基礎題．8．D【解析】

依題意，設，由，得，再一一驗證.【詳解】設，因為，所以，經驗證不滿足，故選：D.本題主要考查了復數的概念、復數的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎題.9．C【解析】

設,則,則,即可得,設,利用導函數判斷的零點的個數,即為所求.【詳解】設,則,所以,依題意可得,設,則,當時,,則單調遞減；當時,,則單調遞增,所以,且,有兩個不同的解,所以曲線上的“水平黃金點”的個數為2.故選:C本題考查利用導函數處理零點問題,考查向量的坐標運算,考查零點存在性定理的應用.10．B【解析】

因為,所以,所以或.若，則,滿足.若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B.11．C【解析】

先研究的展開式的通項，再分中，取和兩種情況求解.【詳解】因為的展開式的通項為，所以的展開式中的常數項為：，解得，故選：C.本題主要考查二項式定理的通項公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.12．A【解析】

對復數進行化簡，由于為純虛數，則化簡后的復數形式中，實部為0，得到的值，從而得到復數.【詳解】因為為純虛數，所以，得所以.故選A項本題考查復數的四則運算，純虛數的概念，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（或寫成）【解析】

設與的夾角為，通過，可得，化簡整理可求出，從而得到答案.【詳解】設與的夾角為可得，故，將代入可得得到，于是與的夾角為.故答案為：.本題主要考查向量的數量積運算，向量垂直轉化為數量積為0是解決本題的關鍵，意在考查學生的轉化能力，分析能力及計算能力.14．【解析】

通過設出A點坐標，可得C點坐標，通過∥軸，可得B點坐標，于是再利用可得答案.【詳解】根據題意，可設點，則,由于∥軸，故，代入，可得，即，由于在線段上，故，即，解得.15．3【解析】

分析程序中各變量、各語句的作用,根據流程圖所示的順序,即可得出結論.【詳解】解:初始,第一次循環:;第二次循環:;第三次循環:;經判斷,此時跳出循環,輸出.故答案為:本題考查了程序框圖的應用問題,解題的關鍵是對算法語句的理解,屬基礎題.16．4【解析】

由題可分析函數與的三個相鄰交點中不相鄰的兩個交點距離為,即,進而求解即可【詳解】由題意得函數的最小正周期,解得故答案為：4本題考查正弦型函數周期的應用,考查求正弦型函數中的三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）首先證明，，，∴平面.即可得到平面，.（2）以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，帶入公式求解即可.【詳解】（1）∵平面，平面，∴.又∵四邊形是正方形，∴.∵，∴平面.∵平面，∴.又∵，為的中點，∴.∵，∴平面.∵平面，∴.（2）∵平面，，∴平面.以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.如圖所示：則，，，.∴，，.設為平面的法向量，則，得，令，則.由題意知為平面的一個法向量，∴，∴平面與平面所成角的正弦值為.本題第一問考查線線垂直，先證線面垂直時解題關鍵，第二問考查二面角，建立空間直角坐標系是解題關鍵，屬于中檔題.18．（I）x2=4aya>0，x-y+1=0【解析】

（I）利用所給的極坐標方程和參數方程，直接整理化簡得到直角坐標方程和普通方程；（II）聯立直線的參數方程和C的直角坐標方程，結合韋達定理以及等比數列的性質即可求得答案.【詳解】（I）曲線C：ρcos2可得ρ2cos2直線l的參數方程為x=-2+22t,x-y=-1，得x-y+1=0；（II）將x=-2+22t,y=-1+2t韋達定理：t1由題意得MN2=PM可得(t即32(a+1)解得a=本題考查了極坐標方程、參數方程與直角坐標和普通方程的互化，以及參數方程的綜合知識，結合等比數列，熟練運用知識，屬于較易題.19．（1）；（2）.【解析】

（1）連接交于點，連接，利用線面平行的性質定理可推導出，然后利用平行線分線段成比例定理可求得的值；（2）取中點，連接、，過點作，則，作于，連接，推導出，，可得出為平面與平面所成的銳二面角，由此計算出、，并證明出平面，可得出直線與平面所成的角為，進而可求得與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）連接交于點，連接，平面，平面，平面平面，，在梯形中，，則，，，，所以，；（2）取中點，連接、，過點作，則，作于，連接.為的中點，且，，且，所以，四邊形為平行四邊形，由于，，，，，，，為的中點，所以，，，同理，，，，平面，，，，為面與面所成的銳二面角，，，，，則，，，平面，平面，，，，面，為與底面所成的角，，，.在中，.因此，與平面所成角的正弦值為.本題考查利用線面平行的性質求參數，同時也考查了線面角的計算，涉及利用二面角求線段長度，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.20．（1）列聯表見解析，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡有關；（2）分布列見解析，期望為.【解析】

（1）根據題中所給的條件補全列聯表，根據列聯表求出觀測值，把觀測值同臨界值進行比較，得到能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡有關.（2）首先確定的取值，求出相應的概率，可得分布列和數學期望.【詳解】（1）根據題意及列聯表可得完整的列聯表如下：35歲以下（含35歲）35歲以上合計使用移動支付401050不使用移動支付104050合計5050100根據公式可得，所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡有關.（2）根據分層抽樣，可知35歲以下（含35歲）的人數為8人，35歲以上的有2人，所以獲得獎勵的35歲以下（含35歲）的人數為，則的可能為1，2，3，且，，，其分布列為123.獨立性檢驗依據的值結合附表數據進行判斷，另外，離散型隨機變量的分布列，在求解的過程中，注意變量的取值以及對應的概率要計算正確，注意離散型隨機變量的期望公式的使用，屬于中檔題目.21．（1）見解析（2）【解析】

（1）根據等邊三角形的性質證得，根據面面垂直的性質定理，證得底面，由此證得，結合證得平面，由此證得：平面平面.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，為的中點，∴∵平面底面，平面底面，∴底面平面，∴又由題意可知為正方形，又，∴平面平面，∴平面平面（2）如圖建立空間直角坐標系，則，，，由已知，得，設平面的法向量為，則令