人教版九年級上冊數學全冊教案(完整版)教學設計

21.1一元二次方程

9教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

i.理解一元二次方程及相關概念.

2.掌握一元二次方程的一般形式.

3.了解一元二次方程根的概念，會檢驗一個數是不是一元二次方程的解.

【過程與方法】

從實際問題中建立方程模型，體會一元二次方程的概念.

【情感態度與價值觀】

通過從實際問題中抽象出方程模型來認識?元二次方程，培養學生良好的研究問題的習

慣，使學生逐步提高自己的數學素養.

二、重難點目標

【教學重點】

1.一元二次方程的概念及其一般形式.

2.判斷一個數是不是一元二次方程的解.

【教學難點】

能準確判斷一元二次方程的二次項、二次項系數、一次項、一次項系數及常數項.

T教學過程

環節1自學提綱，生成問題

(5min閱讀】

閱讀教材P1-P4的內容，完成下面練習.

(3min反饋】

1.解決下列問題：

問題1：如圖，有一塊矩形鐵皮，長100cm,寬50cm,在它的四角各以去一個同樣大

小的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的

底面積為3600cm2.那么鐵皮各角應切去多大的正方形？

【解析】設切去的正方形的邊長為Xcm,則盒底的長為(100-2x)cm寬為＜50

-2x)cm.

列方程，得(100—2x)(5。-2x)=3600,

化簡，整理，得f-75x+350=0.①

問題2：要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據場地和時

間等條件，賽程計劃安排7天，住天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？

【解析】全部比賽的場數為4X7=28(場).設應遨請*個隊參賽，旬個隊要與其他

(＞一1)個隊各褰一場.因為甲隊對乙隊的比賽和乙隊時甲隊的比賽是同一場比賽，所以

全部比賽共p(x-l)場.

列方程，得*(1)=28.

化簡、整理，得?一)-56=0.②

歸納總結：方程①②的共同特點是：方程的兩邊都是只含有一個未知數,

并且未知數的最高次數是2.

2.?元二次方程的定義：等號兩邊都是鱉式，只含有二_個未知數(?元)，并

且未知數的最島次數是，(二次)的方程，叫做一元二次方程.

3.一元二次方程的一般形式是aF+/＞x+c=0(aW0).其中戢是二次項,a

是二次項系數，bx是一次項,_1是一次項系數，是常數項.

環節2合作探究，解決問虺

【活動1]小組討論(師生互學)

【例1】判斷下列方程，哪些是一元二次方程？

(l)x-2y+5=0；

(2)x=l：

(3)5,『一2*—；=￥—

(4)2(Z+1)*2=3*563(^+1)：

(5)X2—2A-=A-24-1：

(6)ax+bx+c=0.

【互動探索】(引發學生思考)要判斷一個方程是一元二次方程，那么它應該滿足哪些條

件？

【解答】(2)(3)(4)是?元二次方程.

【互動總結】（學生總結，老師點評）判斷一個方程是不是一元二次方程，首先看方程等

號兩邊是不是整式，然后移項，使方程的右邊為0,再觀察左邊是否只有一個未知數，且未

知數的最高次數是否為2.

【例2】將方程J+2=5（x-D化成一元二次方程的一般形式，并指出各項系數.

【互動探索】（引發學生思考）?元二次方程的?般形式是怎樣的？

【解答】去括號，得*-2/+2=5*—5.

移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式：2"+4》-7=0.

其中二次項系數是2,一次項系數是4,常數項是一7.

【互動總結】（學生總結，老師點評）將一元二次方程化成一般形式時，迪常要將一?次項

化負為正，化分為整.

【例3】下面哪些數是方程2產+10X+12=0的解？

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

［互動探索］（引發學生思考）你能類比判斷一個數是一元一次方程的解的方法判斷一元

二次方程的解嗎？

【解答】將上面的這些數代入后，只有一2和一3滿足等式，所以*=-2或”=一3是

一元二次方程2丁+10*+12=0的解.

【互動總結】（學生總結，老師點評）要判斷?個數是否是方程的解，只要把這個數代入

笞式，看等式兩邊是否相等即可.若相等，則這個數足方程的解，若不相等，則這個數不足

方程的解.

【活動2】鞏固練習（學生獨學）

1.下列方程是一元二次方程的是（D）

A.ax+/>>r+c.,=0B.3/—2>v=3（Z—2）

C.x-2A-4=0D.（A-1）24-1=0

2.已知x=2是一元二次方程f-2mx+4=0的一個解，則卬的值為（A）

A.2B.0

C.0或2D.0或一2

【教師點撥】將x=2代入f_2耐+4=0得，4-4/H-4=O.再解關于卬的一元一次方

程即可得出川的值.

3.把一元二次方程（*+1）（1—*）=2>化成二次項系數大于0的一?般式是，+2*—1

=0，其中二次項系數是」_，一次項系數是2,常數項是一1.

【活動3】拓展延伸（學生對學）

【例4】求證：關于/的方程（，一8/17）/+2儂+1=0,不論加取何值，該方程都是

一元二次方程.

【互動探索】（引發學生思考）已知關于X的方程，且含有字母系數，要證明該方程是?

元二次方程，則該方程的二次項系數必須滿足什么條件？

【證明】萬一8獷4~17=?—8H+4，+1=GW—4）'+L

V（W-4）2^0,

.,.（flz-4）24-l>0.即（廣4/+1W3,

.?.不論加取何值，該方程都是一元二次方程.

【互動總結】（學生總結，老師點評）要證明不論如取何值，該方程都是一元二次方程，

只需證明二次項系數恒不為0,即屆一8/17W0.

環節3課堂小結，當堂達標

（學生總結，老師點評）

是整式方程

必須滿足,

的三要素'只有?個未知數

1.一元二次方程，

.未知數的最高次數是2

-一般形式：ax+bx+c=0a/0

2.判斷一個數是否是一元二次方程解的方法：將這個數分別代入方程他左右兩邊，如

果“左邊=右邊”，則這個數是方程的解：如果“左邊W右邊”，則這個數不是方程的解.

9練習設計

請完成木課時對應練習!

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法（第1課時）

9教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

i.理解一元二次方程“降次”轉化的數學思想，并能應用它解決一些具體問題.

2.理解并掌握直接開方法、配方法解一元二次方程的方法.

【過程與方法】

1.通過根據平方根的意義解形如的方程，遷移到根據平方根的意義解形如

（*+加>="（〃20）的方程.

2.通過把一元二次方程轉化為形如（萬一給2=匕的過程解一元二次方程.

【情感態度與價值觀】

通過對一元二次方程解法的探索，體會“降次”的基本思想，培養學生良好的研究問題

的習慣，使學生逐步提高自己的數學素養.

二、重難點目標

【教學重點】

掌握直接開平方法和配方法解一元二次方程.

【教學難點】

把一元二次方程轉化為形如(*一日尸=6的形式.

T教學過程

環節1自學提綱，生成問題

【5min閱讀】

閱讀教材P5?P9的內容，完成下面練習.

(3min反饋】

1.一般地，對于方程爐="

(1)當P>0時，根據平方根的意義，方程有兩個不等的實數根，汨=_啦_,xk一木

(2)當〃=0時，方程TT兩個相等的實數根由=照=0；

(3)當〃V0時，方程無實數根.

2.用直接開平方法斛卜列方程，

24

(1)(3X4-1)2=9;.ri=-,xz——-

*5<5

(2)y+2y+1=25.yi=4,度=—6.

3.(1)A;+6X+9=(x+3)S

(2)(A-

1g

(3)4*2+，|*+\_=(2x4-1產

4.一般地，如果?個一元二次方程通過配方轉化成(x+〃)2=〃的形式，那么就有：

⑴當90時，根據平方根的意義，方程有兩個不等的比數根，名=一〃一也，x?

=~n+\[p；

(2)當〃=0時，方程有兩個相等的實數根行=版=一〃：

(3)當pVO時，方程無實數根.

環節2合作探究，解決問題

【活動1】小組討論(師生互學)

【例1】用配方法解下列關于A■的方程:

(1)2XZ-4A-8=0：⑵2「+3L2=0.

【互動探索】(引發學生思考)用配方法解一元二次方程的實質和關鍵點是什么？

【解答】⑴移項，得2/—4x=8.

二次項系數化為1,得產-2*=4.

配方，得爐-21+「=4十/，即(*-1)2=5.

由此可得*一1=±#，

，小=1+鄧，X2=\—y[5.

(2)移項，得2*+3戶2.

二次項系數化為1,得

配方,得(*)=強

351

由此可得*十；=±1，.'.xi=-,Xi=—2.

【互動總結】(學牛.總結，老師點評)用配方法解一元二次方程的實質就是對一元二次方

程進行變形，轉化為開平方所需要的形式，配方法的一般步驟可簡記為：一移，二化，三配,

四開.

【活動2】鞏固練習(學生獨學)

1.若4x+p=則p、g的值分別是(B)

A.p=4,q=2B.p=4,q=-2

C.p=-4,q=2D.p=—\,q=—2

2.用直接開平方法或配方法解下列方程：

(1)3(A-1)2-6=0；(2)。-4*+4=5；

(3)9?+6x+l=4；(4)36?-1=0：

(5)4?=81；(6)"+2*+1=4.

(1)汨=1+鏡，汨=1一筐.

(2)川=2+4，照=2一乖.

(3)Xi=—1,比=；.

小11

⑷汨=W，Xz=-g.

小99

⑸*=/,xz=—

(6)X|=1.總=-3.

【活動3】拓展延伸(學生對學)

【例2】如果1-4*+j，+6y+yz+2~H3=0,求(燈)’的值.

【互動探索】（引發學生思考）一個數的平方是正數還是負數？?個數的算術平方根是正

數還是負數？幾個非負數相加的和是」E數還是負數？

【解答】由已知方程，得六一4》+4+,2+6產+9+，而=0,

即（X-2）2+（y+3）2+，7誦=0,

*.x=2,y=-3?z=-2.

：.（xy）r=[2X（-3）廣=白

30

【互動總結】（學生總結，老師點評）若幾個非負數相加等于0,則這幾個數都等于0.

環節3課堂小結，當堂達標

（學牛總結，老師點評）

用配方法解一元二次方程的一般步驟：

一移項?*二化簡一三配方一四開方

?練習設計

請完成本課時對?應練習！

21.2.2公式法（第2課時）

￡教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

1.理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念.

2.會熟練運用公式法解一元二次方程.

【過程與方法】

災習具體數字的一元二次方程配方法的解題過程，引入a"+配+。=0仁00）的求根公

式的推導，并應用公式法解一元二次方程.

【情感態度與價值觀】

在一元二次方程求根公式的推導過程中，激發學生興趣，了解解決問的多樣性.

二、重難點目標

【教學重點】

求根公式的推導及用公式法解一元二次方程.

【教學難點】

一元二次方程求根公式的推導.

殳教學過程

環節1自學提綱，生成問題

[5min閱讀】

閱讀教材P9?P12的內容,完成下面練習.

(3min反饋】

1.用配方法解下列方程：

(1)X2—5x=0；汨=0,必=5.

(2)2六一，1*一1=0.

2.如果這個?元二次方程是?般形式/+/+。=0(60),你能否用上面配方法的步

-b+76-4ac-b-\J6-4ac

驟求出它的兩根？2a'片2a-

【教師點撥】因為前面解具體數字的一元二次方程己做得很多，我們現在不妨把a、氏

c也當成一個具體數字，根據上面的解題步驟就可以一直推下去.

3.一元二次方程&V+Ztr+c=0(aN0)的根由方程的系數a、b、c而定.

(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一股形式af+以+c=0.當反一4M20時，

將a、b、c代入式子*=士荽工就得到方程的根.

乙a

⑵這個式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有2個實數根，也可能選匕實數根.

⑸一般地，式子5—4ac叫做方程/+隊+。=0(〃#0)的根的判別式，通常用希臘字

母4表示，即4=4一4ac.當zl>0時，方程ay+b*+c=0(a#0)有兩個不相等的

實數根：當4=0時,方程aV十兒+c=0(a#0)有兩個相等的實數根：當4?0時,

方程a/+H+c=0(aW0)沒有實數根.

4.不解方程，判斷方程根的情況.

(1)16Ag+8x=-3：(2)9Z+6x+l=0；

(3)27-9A-+8=0；(4)Z-7^-18=0.

解：(D沒有實數根.(2)有兩個相等的實數根.

(3)有兩個不相等的實數根.

(4)有兩個不相等的實數根.

【教師點撥】將方程化為-一般形式，再用判別式進行判斷.

環節2合作探究，解決問題

【活動1】小組討論(師生互學)

【例1］用公式法解卜列方程：

(1)2/+l=3x；(2)2x(x-1)-7x=2.

【互動探索】(引發學生思考)用公式法解一元二次方程的步驟是怎樣的？

【解答】⑴原方程整理，得2V-3*+1=0.

其中a=2,Z>=—3,c=\,

則d=Z/-4ac=(-3)2-4X2Xl=l>0.

.-—4ac——3±Vi

；?*=2a=2X2'

即必=1.

(2)原方程整理，得2y—9x—2=3.

其中a=2,5=—9,c=—2,

則zl=Z>:-4ac=(一9/一4X2X(-2)=97>0.

._-4ac——9士\/^

??*=2a=2X2'

94^/979-797

即*L4，*L4

【互動總結】(學生總結，老師點評)用公式法解?元二次方程的?股步驟：(1)把方程

化為一般形式，確定a、氏C的值：⑵求出d=〃-4ac的值：⑶當4>0時，方程有兩個

不相等的實數根，即*k一"尸二片上坐工；當」=0時，方程有兩個相

Lala

等的實數根，即航=也=一4?：當/i〈Q時，方程沒有實數根.

La

【活動2】鞏固練習(學生獨學)

1.方程y-4%+4=0的根的情況是(B)

A.有兩個不相等的實數根

B.有兩個相等的實數根

C.有一個實數根

D.沒有實數根

2.如果方程5y—4尸次沒有實數根，那么力的取值范圍是E一’.

M

3.用公式法解下列方程：

(1)27-6A-1=0；(2)27-2^1-1=0；

(3)5*+2=3，

解：⑴呼呼，總=匕默.

（2）方程沒有實數根.

（3）xi=2,*2=-；.

【活動3】拓展延伸（學生對學）

【例2】己知a、&。分別是三角形的三邊，試判斷方程8+〃）丁+2”+（日+〃）=0的

根的情況.

【互動探索】（引發學生思考）三角形的三邊滿足什么關系？是怎樣根據一元二次方程的

系數判斷根的情況？

【解答】:a、b、c分別是三角形的三邊，，a+QO,c+a+b>0,c~a-b<0,/.

4=（2c）z—4（a+b）?（a+Z>）=4（c+&+與（c—a—6）<0,故原方程沒有實數根.

【互動總結】（學生總結，老師點評）解答本題的關鍵是掌握三角形三邊的關系，即兩邊

之和大于第三邊，以及運用根的判別式4=6?—4"?判斷方程的根的情況.

環節3課堂小結，當堂達標

（學生總結，老師點評）

△〉0o方程有兩個不相等的實數根

1.一元二次方程根的情況，4=0=方程有.兩個相等的實數根

.4<00方程沒有實數根

2.當d20時，方程“+6+c=0（a工程的實數根為xL±/Tae

9練習設計

請完成本課時對應練習！

21.2.3因式分解法（第3課時）

R教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

1.掌握用因式分解法解一元二次方程.

2.能根據具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法.

【過程與方法】

通過燈習用配方法、公式法解一元二次方程，體會和探尋用更簡單的方怯一一因式分解

法解一元二次方程，并應用因式分解法解決一些具體問題.

【情感態度與價值觀】

了解因式分解法是?元二次方程解法中應用較為廣泛的簡便方法，它避免了復雜的計

算，提高了解題速度和準確程度，培養學生的應用意識和創新能力.

二、重難點目標

【教學重點】

運用因式分解法解一元二次方程.

【教學難點】

選擇適當的方法解一元二次方程.

T教學過程

環節1自學提綱，生成問題

[5min閱讀】

閱讀教材P12?P14的內容，完成下面練習.

(3min反饋】

1.將下列各題因式分解?：

a/M+cm=m(a+6+“：

3-6=(a+b)(a-8),：

?+2&ZH■公=+6)2:

皆+5x+6=(x+2)(x+3).：

3x-14x+8=(x-4)(3x-2).

2.按要求解下列方程：

⑴2f+x=0(用配方法)：

(2)3丁+6*—24=0(用公式法).

解：(1)M=0,x：=—(2)A-|=2,x2=-4.

3.對于一元二次方程，先將方程右邊化為0.然后對方程左邊進行因式分解，使方程

化為兩個一次式的乘枳的形式，再使這兩個?次式分別等于0,從而實現降次，這種解法叫

做因式分解法.

4.如果研=0,那么@=0或6=0,這是因式分的法的根據.即，如果Cv+DJ-l)

=0,那么*+1=0或>-1=0,即片一1或*=1.

環節2合作探究，解決問題

【活動1】小組討論(師生對學)

【例1】用因式分解法解下列方杜：

(1)Z-3A—10=0；

13

(2)5/—2x一7=爐一24+不

44

(3)3x(2x+l)=4*+2；

⑷(*一41=(5—2爐.

【互動探索】(引發學生思考)用因式分解法解一元二次方程的,般步驟是什么？

【解答】(D因式分解,得(*+2)(*—5)=0.

，x+2=0或X—5=0,

".Xi=-2,Xi=5.

⑵移項、合并同類項，得4/-1=0.

四式分解，得(2x+l)(2I)=0.

.?.2工+1=0或2工一1=0,

(3)原方程可變形為3x(2x+1)-2(2x+1)=0.

因式分解，得(2X+1)(3L2)=0.

.*.2x+l=0或3*—2=0,

12

T.X>=~.

⑷移項,得(*一4/一(5-2力2=0.

因式分解，得(1一分(3%—9)=0,

1—x=O或3x—9=0,

/.A'l=1,*2=3.

【互動總結】(學生總結，老師點評)用因式分解法解一元二次方程的步蟋：(】)將一元

二次方程化成?般形式，即方程右邊為0；(2)將方程左邊進行因式分解，將一元二次方程

轉化成兩個一元一次方程；(3)對兩個一元一次方程分別求解.

【活動2】鞏固練習(學生獨學)

1.解方程：

(Dr—3x—10=0；

(2)3%(—2)：

(3)(3A+1)，-5=0；

(4)/一6才+9=(2-3力：

解：(1)汨=5,X2=-2.

5

(2)*=-2,用=予

J

⑶汨=一苧，典=痔1.

（4）M=-2，花=彳

2.三角形兩邊的長是3和，1,第三邊的長是方程f-12%+35=0的根，求該三角形的

周長.

解：解9一12*+35=0,得汨=5,X2=7.

???3+4=7,...*=5,故該三角形的周長=3+4+5=12.

【活動3】拓展延伸（學生對學）

【例2】已知9/-48=0,求代數式日一力一二巨的值.

baab

【互動探索】（引發學生思考）W、〃的值能求出來嗎？a、〃之間有怎樣的美系？怎樣將

a、〃的值與己知代數式聯系起來.

#一8一言一62b

【解答】原式

a.

(3a+2Z?)(3^-2A)=0,

即3a+2/)=0或3a—28=0,

22

.?.a=—gb或

當a=一時，原式=—部~=3：

2

當a=-b時，原式=-3.

oh/+R

【互動總結】（學生總結，老師點評）要求二廠才的值’首先要對它進行化簡,然

后從已知條件入手，求出a與。的關系后代入，但也可以直接代入，因計算量比較大，容易

發生錯誤.本題注意不要漏解.

環節3課堂小姑，當堂達標

（學生總結，老師點評）

用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：先將方程一邊化為兩個一次因式相乘，另一

邊為0,再分別使各一次因式等了0.

?練習設計

請完成本課時對?應練習！

*21.2.4一元二次方程的根與系數的關系（第4課時）

9教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

掌握一元二次方程的根與系數的關系.

【過程與方法】

利用求根公式得到一元二次方程的根，推導出根與系數的關系，體現「數學推理的嚴密

性與嚴i堇性.

【情感態度與價值觀】

通過公式的引入，培養學生尋求簡便方法的探索精神及創新意識，培養學生觀察思考、

歸納概括的能力.

二、重難點目標

【教學重點】

理解一元二次方程的根與系數的關系.

【教學難點】

利用一元二次方程根與系數的關系解決問題.

Q教學過程

環節1自學提綱，生成問題

【5min閱讀】

閱讀教材P15?PI6的內容，完成下面練習.

[3min反饋】

L解卜列方程，并填寫表格：

方程X\X2汨+*2%]?尤

f-2%=00220

V+3*—4=0-41-3-4

丁-5*+6=02356

觀察上面的表格,發現規律：

(1)用語言描述你發現的規律：一元二次方程的兩根之和為一次項系數的相反數：兩

根之積為常數項.

(2)關于*的方程/+m+g=O的兩根為石、即，請用式了表示航、發與小〃的關系：

航+2X\/=q.

2.解下列方程，井鎮寫表格：

方程XIXzM+MX\?X1

1

2x—7x—4=04-2

~22

_52_5

3y+2L5=01

333

2176

5x2-17x+6=03

5~55

觀察上面的表格，發現規律:

(1)用語言描述你發現的規律：兩根之和為一次項系數與二次項系數之比的相反數，

兩根之積為常數項與二次項系數之比.

(2)關于x的方程a父+Z>*+c=O(aWO)的兩根為航、xz,請用式子表示X、照與a、b、

乂l.bc

。的關系：xi+x=—^.第比==.

-------2-----旦-------旦

3.求下列方程的兩根之和與兩根之積.

(1)/—6x—15=0；

(2)5萬—1=4。；

(3)/=4；

(4)2/=3x

解：(1)川+必=6,加版=-15.

⑵*1+照=,，加北=；.

(3)用+照=0,X\Xi=—A.

3

(4)汨+必=3，汨M=0.

環節2合作探究，解決問題

【活動1】小組討論(師生互學)

【例1】用、照是方程2/一3萬一5=0的兩個根，不解方程，求下列代數式的值：

⑴*|+*2:(2)—+—；

為Xz

(3)Z4-AS：(4)AI+3A2—3A'；.

【互動探索】(引發學生思考)根據-?元二次方程的根與系數的關系可考慮將所求代數式

轉化為兩根之和與兩根之積的關系.

【解答】(1)加+照=*

(2)Vxix2=—

乙

.1.-X-1―~Xt+m^—―3

?'X\XzX\Xi5'

(3)A?4~/=(劉4--2MXZ=—.

(4)必+34—3典=+總)+(2必一3照)=1若.

【互動總結】(學生總結，老師點評)解答這類問題一般先將求值式進行變形，使其含有

兩根的和與兩根的積，再求出方程的兩根的和與兩根的積，整體代入即可求解.

【活動2】鞏固練習(學生獨學)

1.不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積.

(1)X2-5X-3=0：(2)9x4-2=X：

(3)6?-3.v+2=0：(4)3/+x+l=0.

解：(1)*1+必=5,XI照=—3.

(2)加+照=9,X\Xz'=—2.

(3)方程無解.

(4)方程無解.

2.己知方程/-3)+加=0的一個根為1,求另一根及加的值.

解：另一根為2,m=2.

【教師點撥】本題有兩種解法：一種是根據根的定義，將x=l代入方起先求期再求

另一個根：另一種是利用根與系數的關系解答.

3.若一元二次方程f+a*+2=0的兩根滿足：#+￡=12,求&的值.

解：a=±4.

【教師點撥】由北+必=(汨+照)2—2兄照=12,再整體代入方程的兩根之和與兩根

之積得到答案.

【活動3】拓展延伸(學生對學)

【例2】已知關于x的方程f-a+Dx+*+l=0,且方程兩實根的積為5,求才的

值.

【互動探索】(引發學生思考)一元二次方程有根的條件是什么？一元二次方程兩實根的

積與什么有關？

【解答】???方程兩實根的積為5,

4=［一什1了-4(*+1)2，

.=々W，A=±4.

故當〃=4時，方程兩實根的積為5.

【互動總結】（學生總結，老師點評）根據?元二次方程兩實根滿足的條件，求待定字母

的值，務必要注意方程有兩實根的條件，即所求的值應滿足420.

環節3課堂小結，當堂達標

（學生總結，老師點評）

一元二次方程〃+H+c=0（&W：））的兩根,、用和系數的關系如下：

bc

M十照=一一，＞1照=一.

aa

9練習設計

請完成本課時對應練習！

21.3實際問題與一元二次方程

9教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

1.會根據具體問題中的數量關系列一元二次方程并求解.

2.能根據問題的實際意義，檢驗所得結果是否合理.

【過程與方法】

經歷分析和解決實際問題的過程，體會?元二次方程的數學建模作用.

【情感態度與價值觀】

體會數學來源尸實踐，反過來又作用于實踐，增強數學的應用意識.

二、重難點目標

【教學重點】

列一元二次方程解決實際問題的一般步驟.

【教學難點】

利用一元二次方程解決實際問題.

T教學過程

環節1自學提綱，生成問題

[5min閱讀】

閱讀教材P19?P21的內容，完成下面練習.

[3min反饋】

1.有一人患門或毛，經過兩輪傳染后共有121人患/感冒，每輪傳染4平均一個人傳

染了幾個人？

設每輪傳染中平均一個人傳染了才個人，則第一輪后共有1+*人患了感冒,第二輪

后共有1+*+*5+1)人患了感冒.

可列方程l+x+x(x+D=⑵.

解方程，得*=一12(不合題意，舍去)，_照=1Q.

所以平均一個人傳染了_也_個人.

2.兩年前生產1噸甲種藥品的成本是5000元,生產1噸乙種藥品的成本是6000元,

隨著生產技術的進步，現在生產1噸甲種藥品的成本是3000元，生產1噸乙種藥品的成木

是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？(精確到0.01)

絕對母，甲種藥品成本的年平均下降額為(5000—3000)+2=1000(元)，乙種藥品成本

的年平均下降額為(6000-3600)彳2=1200(元)，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大.

相對求：從上面的絕對后的大小能否說明相對用的大小呢？也就是能否說明乙種藥品成

本的年平均卜降率大呢？卜.面我們通過計算來說明這個問題.

①設甲種藥品成本的年平均下降率為x,則一年后甲種藥品成本為5000(1—%)元,

兩年后甲種藥品成本為5000(1一勸2元.

依題意，得5000(1—*)'=3000.

解得為。0.23,題「1.77.

根據實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為？3%.

②設乙種藥品成木的年平均下降率為乂

依題意，得6000(1-02=3600.

解得了產0.23,j戶1.77(不合題意，舍去).

所以兩種藥品成本的年平均下降率相.

提示：經過計算，成本下降額較大的藥品，它的成本下降率不一定較大，應比較降前及

降后的價格.

環節2合作探究，解決問題

【活動1】小組討論(師生互學)

【例I】某林場計劃修一條長7501n，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面稅為1.6上

口寬比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m.

(1)渠道的上口寬與渠底寬各是多少？

(2)如果計劃每天挖上48mJ,需要多少天才能把這條渠道挖完？

【互動探索】(引發學生思考)(1)怎樣用渠深表示上口寬和梁底，怎樣il算梯形面積？

⑵渠道的體積怎樣計算？

【解答】(D設渠深為xm,則渠底為(x+0.4)m,上口寬為Cr+2)m.

依題意，得:（.\42冬**0.4）*=1.6,

整理，得5f+6*—8=0,

4

解得汨=三=0.8,照二一2（舍去），

二上口寬為2.8m,渠底為1.2m.

（2）如果計劃每天挖土48m\需要當剋=25（天）才能挖完渠道.

4o

【互動總結】（學生總結，老師點評）解答本題的關鍵是掌握梯形面枳的計算方法，正確

用未知數表示出相關數量.

【泡動2】鞏固練習（學生獨學）

1.兩個正數的差是2,它們的平方和是52,則這兩個數是（C）

A.2和4B.6和8

C.4和6D.8和10

2.某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干，

支干和小分支的總數是91,每個支干長出多少小分支？

解：設每個支干長出x個小分支，則1+*+*?*=91.解得M=9或照=-10（舍去）.故

每個支干長出9個小分支.

3.如圖，要設計一幅長30cm、寬20cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條（圖中陰影部

分），橫、豎彩條的寬度比為3：2,如果要使彩條所占面枳是圖案面積的由應如何設計彩

條的寬度?（精確到0.1cm）

解：橫彩條寬為1.8cm,豎彩條寬為1.2cm.

【教師點撥】設橫彩條的寬度為3xcm,則豎彩條的寬度為2*cm.根據題意，得（30—

4,0(20-6.r)=fl-1jx20X30.解得xgO.61或反-10.2(舍去).4.卬一根長40cm

的鐵絲圍成一個長方形，要求長方形的面積為75cm2.

（1）此長方形的寬是多少？

（2）能圍成一個面積為101cm，的長方形嗎？若能，說明圍法；若不能，說明理由；

解：（1）5cm.

（2）不能.設寬為*cm,則長為（20-*）cm,由*（20—x）=101,即——20*+101=0,

由八=202—4乂101=—4<0,，方程無解，故不能圍成一個面積為101cm」的長方形.

【活動3】拓展延伸(學生對學)

【例3】如圖，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園

力睨以圍增批最長可利用25m),現在己備足可以砌50m長的墻的材料，試設計一種砌法,

使矩形花園的面積為300m2.

【互動探索】(引發學生思考)/4與a'之間的數量關系是怎樣的？比、還應滿足什么條

件？

【解答】設必則比―(50—2㈤嘰

根據題意，得“(50-2x)=300.

解得M=10,矛2=15,

當*=10時，^7=50-10-10=33>25,

則航=10不合題意，舍去.

故可以圍成力月長為15m,故長為20m的矩形花園.

【互動總結】(學生總結，老師點評)利用一元二次方程解決實際問題時，要注意檢箱方

程的根是否符合實際問題.

環節3課堂小結，當堂達標

(學生總結，老師點評)

列一元二次方程解應用題的一股步驟：

(1)“設”，即設未知數，設未知數的方法有直接設和間接設未知數兩種：

(2)“列”，即根據題中的等量關系列方程：

(3)“解”，即求出所列方程的根；

(4)“檢驗”，即驗證是否符合題意：

⑸“答”,即回答題目中要解決的問題.

?練習設計

請完成木課時對應練習！

22.1二次函數的圖象和性質

22.1.1二次函數(第1課時)

《教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

1.理解并掌握二次函數的概念，能判斷一個給定的函數是否為二次函數.

2.根據實際問題中的條件確定二次函數的解析式，體會函數的模型思想.

【過程與方法】

經歷與一次函數類比學習的過程，學會與人合作，并獲得代數學習的一些常用方法：

類比法、合情推理、抽象概括等.

【情感態度與價值觀】

通過對幾個特殊的二次函數的講解,體驗數學中的探索精神，初步體會二次函數的數學

模型.

二、重難點目標

【教學重點】

二次函數的概念.

【教學難點】

能根據已知條件寫出二次函數的解析式.

Q教學過程

環節1自學提綱，生成問題

【5min閱讀】

閱讀教材P28?P29的內容，完成下面練習.

【3min反饋】

1.止比例的函數的表達式為尸網J為常數，且在/0）；一次函數的表達式為一―！

+/>3、。為常數，且aWO）.

2.二次函數的概念：一般地，形加函數的c（a、b、。是常數，且aMO）的函

數叫做二次函數，其中二次項系數、一次項系數和常數項分別為編6、c.

3.下列函數中，是二次函數的有①②③.

①/=（*—3）2—1；②y=l一//③尸：（斤+2）（*—2）；④y=（x—1）'—V.

4.二次函數尸一V+2*中，二次項系數是一1,一次項系數是2,常數項

是0.

5.半徑為戶的圓，半徑增加x,忸的面積增加八則y與*之間的函數關系式為—左

萬、+2"必?（眾0）.

環節2合作探究，解決問題

【活動1】小組討論（師生互學）

【例1】已知關于x的函數y=U+l）a/一%是二次函數，求"的值.

【互動探索】（引發學生思考）已知含參函數的解析式為二次除數，那么二次函數的自變

量及各項系數應該滿足哪些條件？

m—m=2,

【解答】由題意，得一一八

解得〃/=2.

【互動總結】（學生總結，老師點泮）y=af+H+c為二次函數的前提條件是&W0,且

自變量”的最高.次數為2,注意不要忽略二次項系數不為0這一隱含條件.

【例2】某超市購進一種單價為40元的籃球，如果以單價50元出售，那么每月可售出

500個，根據銷售經驗，售價每提高1元,銷售量相應減少10個.如果超市將籃球售價定

為八元（"50）,年月銷售這種籃球獲利了元，求y與”之間的函數大系式.

【互動探索】（引發學生思考）解決實際應用問題的一般步驟是什么？本題中所隱含的等

后關系是什么？

【解答】根據題意，得每個籃球的利潤為5O+x-4O=IO+x；籃球的銷售最為500—lOx.

則尸（10+x）（500—10萬）=—10#+400*+5000.

【互動總結】（學生總結，老師點評）根據實際問題寫出二次函數的解析式的一般步驟：

⑴閱讀并理解強意；（2）找出問題的變量與常量，并分析它們之間的關系，若有圖形，則要

注意結合圖形進行分析：（3）設適當的未知數，用二次函數表示出變量之間的關系，建立二

次函數模型，寫出二次函數解析式.

【活動2】鞏固練習（學生獨學）

I.如圖，用長為10米的籬笆，一面掌堵（堵的長度超過10米），圍成一個矩形花圃，

設矩形垂直于墻的一邊長為X米，花肉面積為S平方米，則S關于*的函數解析式是一^

一2f+10》.（不寫定義域）

2.如果函數尸（4+1）/+1+1是y關于*的二次函數，則片的值為多少？

他根據題盤得[>仁+1X=02,.

解得4=1.

【活動3】拓展延伸（學生對學）

【例3】已知關于x的二次函數，當*=一1時，函數值為10,當x=l時，函數值為4,

當x=2時，函數值為7,求這個二次函數的解析式.

【互動探索】（引發學生思考）我們學過了一次函數以及一次函數解析式的求法一一待定

系數法，求二次函數的解析式用這種方法同樣適用嗎？

【解答】設所求的二次函數的解析式為y=^+bx+c.

a—b-\-c=10.

根據題意，得＜a+6+c=4,

4a4-2Z?4-c=7.

解得a=2,b=—3,c=5.

故所求二次函數為y=2f—3x+5.

【互動總結】（學生總結，老師點評）求二次函數的解析式與求一次函數的解析式的方法

相同，都是待定系數法，二次函數It三個未知數，所以求二次函數的解析式需要三個方程.

環節3課堂小結，當堂達標

（學生總結，老師點評）

定義：形如尸a/+Z?+ca、b、

為常數，a#0的函數

二次函數，

二次函數y=&/+&*+c中隱含的

條件：日#0

9練習設計

請完成本課時對應練習！

22.1.2二次函數尸aV的圖象和性質（第2課時）

9教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

1.能夠用描點法作出函數y=ax2的圖象.

2.認識和理解y=ax?的性質.

【過程與方法】

經歷探索二次函數y=ax?的圖象和性偵的過程，體會數形結合的思想和方法.

【情感態度與價值觀】

在初步建立二次函數表達式與圖象之間的聯系中，體會數形結合與轉化，體會數學內在

的美感.

二、重難點目標

【教學重點】

1.掌握函數丫=2、?的圖象的畫法.

2.理解函數丫=21的圖象與性質.

【教學難點】

用描點的方法準確地畫出函數y=ax「的圖象，掌握其性質特征.

Q教學過程

環節1自學提綱，生成問題

[5min閱讀】

閱讀教材P29?