中職數(shù)學余弦定理[知識整合]基礎知識余弦定理：三角形任意一邊長的平方等于其它兩邊長的平方和減去這兩邊長與它們的夾角的余弦乘積的2倍，即：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.還可以變形為：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).基礎訓練1．在△ABC中，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(3)，c＝3，則C＝()A．120°B．60°C．45°D．30°2．在△ABC中，若a＝1，b＝2，cosC＝eq\f(1,4)，則c＝____________．3．在△ABC中，a＝5，b＝6，c＝9，則△ABC為____________三角形．4．在△ABC中，a2＋b2－c2＋ab＝0，則C＝____________．5．設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2，cosC＝－eq\f(1,4)，3sinA＝2sinB，則c＝____________．[重難點突破]考點1余弦定理在三角形中的運用例1在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c.已知a＝3，c＝1，cosB＝eq\f(1,3)，則b＝________．【解析】由余弦定理可得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,3)，將a＝3，c＝1代入可得b＝2eq\r(2).【變式訓練】在△ABC中，a＝2，b＝2eq\r(2)，c＝2，求cosC的值．例2在△ABC中，a＝5，b＝3，c＝7，則△ABC為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定三角形ABC的形狀【解析】因為三角形中大邊對大角，因此c邊所對的角C最大．由余弦定理，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(25＋9－49,2×5×3)＝－eq\f(1,2)＜0，∴C為鈍角(C＝120°)．∴三角形為鈍角三角形．故選C.反思提煉：此類題目，只要判斷最大角是銳角、直角或鈍角，即可確定三角形的形狀．本題由求cosC的過程可知，只要判斷a2＋b2－c2的符號，就可確定△ABC的形狀．當a2＋b2－c2＞0時，C為銳角，因而△ABC為銳角三角形；當a2＋b2－c2＝0時，角C為直角，因而△ABC為直角三角形；當a2＋b2－c2＜0時，角C為鈍角，因而△ABC為鈍角三角形．【變式訓練】在△ABC中，已知三角形三邊之比為eq\r(3)∶3∶2eq\r(3)，求三角形中的最小角．例3在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，且A＋B＝eq\f(π,3).(1)求sinAcosB＋cosAsinB的值；(2)若a＝1，b＝2，求c的值．【解】(1)sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).(2)由于A＋B＝eq\f(π,3)，所以C＝π－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3).根據(jù)余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝5＋2＝7，所以c＝±eq\r(7)，根據(jù)題意舍去負值，故c＝eq\r(7).【變式訓練】在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，且a＝2，b＝3，cosB＝eq\f(1,3).(1)求邊c的值；(2)求cos(A＋C)的值．例4在△ABC中，若a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2＝ac－bc，求A.【解】∵a、b、c成等比數(shù)列．∴b2＝ac.又∵a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc.即b2＋c2－a2＝bc，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).∴A＝60°.【變式訓練】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且(a＋c)(a－c)＝b2＋eq\r(2)bc，則角A＝________．考點2余弦定理的實際應用例5如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待獲救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，命乙船到達B處實施營救工作．(1)求B、C兩處間的距離．(2)如果乙船的速度是15eq\r(7)海里/小時，試問經(jīng)過多長時間乙船能到達營救處？【解】(1)由題意得AC＝20海里，AB＝40海里，A＝120°.由余弦定理BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cosA＝202＋402－2×20×40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝2800.故BC＝20eq\r(7)海里．(2)由題意得乙船的速度V＝15eq\r(7)海里/小時，BC的距離S＝20eq\r(7)海里．∴時間t＝eq\f(S,V)＝eq\f(20\r(7),15\r(7))＝eq\f(4,3)(小時)＝80(分鐘)答：BC之間的距離為20eq\r(7)海里；經(jīng)過80分鐘乙船能到達營救處．反思提煉：余弦定理適合的是已知兩邊及其夾角的三角形，或者是已知三邊的三角形，在解題時要理解好已知條件的關系．【變式訓練】海軍某快艇在A處測得一走私艇在北偏東45°，距離為10海里的B處．正沿著東偏南15°的方向以每小時9海里的速度逃跑，該快艇立即以每小時21海里的速度沿直線前去追捕，快艇需用多久才能追上走私艇？[課堂訓練]1．在△ABC中，已知a＝1，b＝1，c＝eq\r(3)，則C＝()A．120°B．30°C．45°D．60°2．在△ABC中，如果a2－b2＝c(b＋c)，則A＝()A．60°B．30°C．120°D．150°3．三邊邊長分別為eq\r(3)、eq\r(5)、eq\r(7)的三角形是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形4．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝1，則AC＝()A.eq\r(3)B．2C．3D．3eq\r(3)5．在△ABC中，已知b2＋c2－a2＝eq\r(3)bc，則A＝____________．6．在△ABC中，如果b＝6，c＝7，A＝60°，則cosB＝____________．7．在△ABC中，已知a＝8，b＝5，c＝7，求cos(A－B)．8．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，cosC＝－eq\f(1,4).(1)求△ABC的周長；(2)sin(A＋C)的值．9．有兩艘船同時從一個港口出發(fā)，甲船以每小時24海里的速度向北偏東60°方向航行，乙船以每小時20海里的速度向南偏西30°方向航行，求2小時后，兩船相距多少海里？中職數(shù)學余弦定理知識整合基礎訓練1．A【解析】在△ABC中，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(3＋3－9,2×\r(3)×\r(3))＝－eq\f(1,2)，∴C＝120°，故答案選A.2．2【解析】根據(jù)余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×eq\f(1,4)＝4，解得c＝2.3．鈍角【解析】cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(25＋36－81,2×5×6)＝－eq\f(20,60)＝－eq\f(1,3)，∴C為鈍角，△ABC為鈍角三角形．4．120°【解析】∵c2＝a2＋b2＋ab，∴－2cosC＝1，∴cosC＝－eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，∴C＝120°.5．4【解析】在△ABC中，因為3sinA＝2sinB，由正弦定理可知3a＝2b，a＝2，所以b＝3.由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×(－eq\f(1,4))＝16.所以c＝4.重難點突破【例1】【變式訓練】cosC＝eq\f(\r(2),2)【例2】【變式訓練】【解】若a∶b∶c＝eq\r(3)∶3∶2eq\r(3)，設a＝eq\r(3)t，b＝3t，c＝2eq\r(3)t，則最小邊是a，故最小角是A，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9t2＋12t2－3t2,2×3t×2\r(3)t)＝eq\f(\r(3),2)，A＝30°.【例3】【變式訓練】【解】(1)在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，3c2－4c－15＝0，∵c>0，∴c＝3.(2)在△ABC中，cos(A＋C)＝cos(π－B)＝－cosB＝－eq\f(1,3).【例4】【變式訓練】135°【解析】∵(a＋c)(a－c)＝b2＋eq\r(2)bc，即a2＝b2＋c2＋eq\r(2)bc，即eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(\r(2),2)，∵0°<A<180°，∴A＝135°.【例5】【變式訓練】【解】如圖所示，設快艇x小時后才能追上走私艇．在三角形ABC中，∠ABC＝180°－45°－15°＝120°，由余弦定理得(21x)2＝102＋(9x)2－2·10·9x·cos120°，整理得36x2－9x－10＝0得x＝eq\f(2,3)或x＝－eq\f(5,12)(舍去)，eq\f(2,3)×60＝40(分鐘)，即快艇需用40分鐘才能追上走私艇．課堂訓練1．A【解析】cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1＋1－3,2)＝－eq\f(1,2)，∴C＝120°.2．C【解析】∵a2－b2＝bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－bc,2bc)＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°.3．A4．A【解析】AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3，AC＝eq\r(3).5．30°【解析】由余弦定理可得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝30°.6.eq\f(4\r(43),43)【解析】a2＝b2＋c2－2bccosA＝36＋49－2×6×7×eq\f(1,2)＝43，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(4\r(43),43).7．【解】∵a＝8，b＝5，c＝7，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,7)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(11,14)，∵0<B<A<π，∴sinA＝eq\f(4\r(3),7)，sinB＝eq\f(5\r(3),14)，∴cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB＝eq\f(1,7)×eq\f(11,14)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(5\r(3),14)＝eq\f(71,98).8．【解】(1)c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×(－eq\f(1,4))＝6，∴c＝eq\r(6)，∴C△ABC＝1＋2＋eq\r(6)＝3＋eq\r(6).(2)∵cosC＝－eq\f(1,4)，0°<C<180°，∴sinC＝eq\f(\r(15),4)，∵eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，∴eq\f(\r(6),\f(\r(15),4))＝eq\f(2,sinB)，∴sinB＝eq\f(\r(10),4).∵A＋B＋C＝1