1.2.3反比例函數的圖象與性質第1章反比例函數北師大版數學九年級上冊【公開課精品課件】授課教師：********班級：********時間：********問題1：當路程\(s\)一定時，速度\(v\)與時間\(t\)之間的關系。問題2：矩形的面積\(S\)一定時，長\(a\)與寬\(b\)之間的關系。問題3：一個游泳池的容積為\(V\)，注滿游泳池所需的時間\(t\)與注水速度\(v\)之間的關系。引導學生分析這些問題中兩個變量之間的關系，列出相應的函數表達式：對于問題1，由\(s=vt\)，可得\(v=\frac{s}{t}\)（\(s\)為常數）。對于問題2，由\(S=ab\)，可得\(a=\frac{S}{b}\)（\(S\)為常數）。對于問題3，由\(V=vt\)，可得\(t=\frac{V}{v}\)（\(V\)為常數）。觀察這些函數表達式的特點，引出本節課的主題——反比例函數。（二）探究新知（20分鐘）反比例函數的概念給出反比例函數的定義：一般地，形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數，\(k\neq0\)）的函數，叫做反比例函數。其中\(x\)是自變量，\(y\)是函數，自變量\(x\)的取值范圍是不等于\(0\)的一切實數。強調反比例函數的三個特征：等號左邊是函數\(y\)，等號右邊是一個分式，分子是不為\(0\)的常數\(k\)，分母中含有自變量\(x\)，且\(x\)的次數為\(1\)。\(k\neq0\)，因為當\(k=0\)時，\(y=\frac{k}{x}=0\)，此時\(y\)是一個常數，不是反比例函數。自變量\(x\)的取值范圍是\(x\neq0\)，因為分母不能為\(0\)。讓學生判斷一些函數是否為反比例函數，如\(y=\frac{2}{x}\)，\(y=3x^{-1}\)，\(y=\frac{1}{x+1}\)等，加深對反比例函數概念的理解。反比例函數表達式的確定例1：已知\(y\)與\(x\)成反比例，當\(x=2\)時，\(y=-3\)，求\(y\)與\(x\)之間的函數表達式。分析：因為\(y\)與\(x\)成反比例，所以設\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)），再將\(x=2\)，\(y=-3\)代入表達式中，求出\(k\)的值。解答：設\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)），把\(x=2\)，\(y=-3\)代入得\(-3=\frac{k}{2}\)，解得\(k=-6\)，所以\(y\)與\(x\)之間的函數表達式為\(y=-\frac{6}{x}\)。總結用待定系數法求反比例函數表達式的步驟：設反比例函數表達式為\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）。把已知條件代入表達式中，得到關于\(k\)的方程。解方程，求出\(k\)的值。將\(k\)的值代入所設表達式中，得到反比例函數的表達式。反比例函數的圖象和性質用描點法畫反比例函數\(y=\frac{6}{x}\)的圖象：列表：選取一些\(x\)的值（\(x\neq0\)），計算出對應的\(y\)值。例如，當\(x=-6\)時，\(y=-1\)；當\(x=-3\)時，\(y=-2\)；當\(x=-2\)時，\(y=-3\)；當\(x=-1\)時，\(y=-6\)；當\(x=1\)時，\(y=6\)；當\(x=2\)時，\(y=3\)；當\(x=3\)時，\(y=2\)；當\(x=6\)時，\(y=1\)。描點：在平面直角坐標系中，根據列表中的坐標值，描出相應的點。連線：用平滑的曲線將這些點依次連接起來，得到反比例函數\(y=\frac{6}{x}\)的圖象。讓學生觀察圖象，分組討論反比例函數\(y=\frac{6}{x}\)的圖象特征和性質：圖象是由兩條曲線組成，分別位于第一、三象限。當\(x\gt0\)時，\(y\)隨\(x\)的增大而減小；當\(x\lt0\)時，\(y\)隨\(x\)的增大而減小。即反比例函數\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\gt0\)）在每個象限內，\(y\)隨\(x\)的增大而減小。再畫反比例函數\(y=-\frac{6}{x}\)的圖象，對比分析其圖象特征和性質：圖象同樣由兩條曲線組成，分別位于第二、四象限。當\(x\gt0\)時，\(y\)隨\(x\)的增大而增大；當\(x\lt0\)時，\(y\)隨\(x\)的增大而增大。即反比例函數\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\lt0\)）在每個象限內，\(y\)隨\(x\)的增大而增大。總結反比例函數\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）的圖象和性質：當\(k\gt0\)時，圖象位于第一、三象限，在每個象限內，\(y\)隨\(x\)的增大而減小。當\(k\lt0\)時，圖象位于第二、四象限，在每個象限內，\(y\)隨\(x\)的增大而增大。（三）例題講解（15分鐘）例2：已知反比例函數\(y=\frac{k}{x}\)的圖象經過點\((-2,3)\)，求\(k\)的值，并判斷點\((1,-6)\)是否在該函數圖象上。分析：將點\((-2,3)\)代入反比例函數\(y=\frac{k}{x}\)中，可求出\(k\)的值，得到函數表達式，再把點\((1,-6)\)代入表達式中，判斷等式是否成立，從而確定該點是否在函數圖象上。解答：把\((-2,3)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)得\(3=\frac{k}{-2}\)，解得\(k=-6\)，所以反比例函數表達式為\(y=-\frac{6}{x}\)。當\(x=1\)時，\(y=-\frac{6}{1}=-6\)，所以點\((1,-6)\)在該函數圖象上。例3：已知反比例函數\(y=\frac{m-2}{x}\)，當\(x\gt0\)時，\(y\)隨\(x\)的增大而增大，求\(m\)的取值范圍。分析：根據反比例函數的性質，當\(k\lt0\)時，在每個象限內\(y\)隨\(x\)的增大而增大。在函數\(y=\frac{m-2}{x}\)中，\(k=m-2\)，所以\(m-2\lt0\)。解答：因為當\(x\gt0\)時，\(y\)隨\(x\)的增大而增大，所以\(m-2\lt0\)，解得\(m\lt2\)。例4：某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓\(P\)（\(kPa\)）是氣體體積\(V\)（\(m^3\)）的反比例函數，其圖象如圖所示。（1）求這一函數的表達式。（2）當氣體體積為\(1m^3\)時，氣壓是多少？（3）當氣球內的氣壓大于\(140kPa\)時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣體體積應不小于多少？分析：（1）設反比例函數表達式為\(P=\frac{k}{V}\)（\(k\neq0\)），從圖象上選取一點坐標代入表達式，求出\(k\)的值。（2）把\(V=1m^3\)代入已求出的函數表達式中，求出\(P\)的值。（3）把\(P=140kPa\)代入函數表達式中，求出\(V\)的值，再根據函數性質確定\(V\)的取值范圍。解答：（1）設\(P=\frac{k}{V}\)（\(k\neq0\)），由圖象可知，當\(V=1.6m^3\)時，\(P=60kPa\)，把\(V=1.6\)，\(P=60\)代入得\(60=\frac{k}{1.6}\)，解得\(k=96\)，所以函數表達式為\(P=\frac{96}{V}\)。（2）當\(V=1m^3\)時，\(P=\frac{96}{1}=96kPa\)。（3）當\(P=140kPa\)時，\(140=\frac{96}{V}\)，解得\(V=\frac{96}{140}=\frac{24}{35}m^3\)。因為\(P=\frac{96}{V}\)，\(k=96\gt0\)，當\(V\gt0\)時，\(P\)隨\(V\)的增大而減小，所以為了安全起見，氣體體積應不小于\(\frac{24}{35}m^3\)。（四）鞏固練習（10分鐘）下列函數中，哪些是反比例函數？5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理9布置作業學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解上節課我們學習了反比例函數的圖象，本節課我們將從函數圖象在平面直角坐標系中所處的位置和函數值隨自變量的變化而變化的情況兩個方面來進一步研究反比例函數的圖象與性質。[動腦筋]已知反比例函數的圖象經過點P（2，4）。（1）求k的值，并寫出該函數的表達式；（2）判斷點A（－2，－4），B（3，5）是否在這個函數的圖象上；（3）這個函數的圖象位于哪些象限？在每個象限內，函數值y隨自變量x的增大如何變化？解：（1）∵過P（2，4）∴k=×4=8∴反比例函數表達式為：（2）當x=－2時，；當x=3時，∴點A在反比例函數圖象上，點B不在反比例函數圖象上。（3）∵k=8>0，∴這個反比例函數的圖象位于第一、三象限；在每個象限內，函數值y隨自變量x的增大而減小。例2如圖是某反比例函數

的圖象。根據圖象，回答下列問題：（1）

k的取值范圍是k>0還是k<0？說明理由；（2）如果點A（－3，y1），B（－2，y2）是該函數圖象上的兩點，試比較y1，y2的大小。舉例解：（1）由圖可知：反比例函數的圖象的兩支曲線分別位于第一、三象限內，∴

k

＞0。（2）∵k

＞0又∵－3＜－2，∴y1＞y2。因此，，解得：例3已知一個正比例函數與一個反比例函數的圖象交于點P（－3，4）。試求出它們的表達式，并在同一坐標系內畫出這兩個函數的圖象。舉例解：設正比例函數、反比例函數