專題08平行四邊形的性質與判定重難點題型專訓

國【題型目錄】

題型一利用平行四邊形的判定定理證明

題型二利用平行四邊形的性質求角度

題型三利用平行四邊形的性質求長度

題型四利用平行四邊形的性質求面積

題型五平行四邊形中的線段最值問題

題型六平行四邊形中的翻折問題

題型七平行四邊形中的旋轉問題

題型八平行四邊形的存在性問題

題型九三角形中位線有關的證明

題型十平行四邊形的性質與判定綜合題型

.51經典例題一利用平行四邊形的判定定理證明】

【知識歸納】

1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

特別說明：（1）這些判定方法是學習本章的基礎，必須牢固掌握，當幾種方法都能判定同一個平行四

邊形時，應選擇較簡單的方法.

（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據，也可作為“畫平行四邊形”的依據.

【例1】（2022春?福建泉州?八年級統考期末）如圖，四邊形A8C。中，A。BC,BC=3,AB=5,AD=6.若

點M是線段8。的中點，則CM的長為（）

D.3

【變式訓練】

【變式1］（2022春?浙江杭州?八年級校考期中）如圖，在平行四邊形288中,對角線AC,BD交干點O,

BD=2AD,E,F,G分別是OC,OD,A8的中點.下列結論正確的是（）

①EGLtB：@EF=EGz③四邊形BEFG為平行四邊形：④4c垂直平分線段

A.①②（⑨B.①②（3）C.②?④D.①②

【變式2］（2022秋?重慶暴江?九年級校考階段練習）如圖，在以BC中，力是8C邊上的中點，連結A。,

把AA期）沿AO翻折，得到AA*。，連接CE.若4O=C4=2.AO=3,則“6C的面積為

【變式3】（2022春?寧夏銀川?八年級校考期末）如圖，在YA5CD中,對角線AC,￡。相交于點O,點￡

產在AC上，點G,，在8。上，且AE=C產，BG=DH.

（1）若4?=4。，ZC4D=7（F.試求/ABC的度數.

（2）求證：四邊形比廣〃是平行四邊形.

41經典例題二利用平行四邊形的性質求角度】

【知識歸納】

1.邊的性質：平行四邊形兩組對邊平行且相等；

2.角的性質：平行四邊形鄰角互補，對角相等；

3.對角線性質：平行四邊形的對角線互相平分；

4.平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心；

特別說明：（1）平行四邊形的性質中邊的性質可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質可以證明兩角

相等或兩角互補；對角線的性質可以證明線段的相等關系或倍半關系.

<2）由于平行四邊形的性質內容較多，在使用時根據需要進行選擇.

（3）利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時應聯系三角形三

邊的不等關系來解決.

【例2】（2021春?江蘇南京?八年級校考期中）如圖，以平行四邊形ABC。的邊CD為斜邊向內作等腰直角

AC7）E,使八。=小=原，ZD￡C=9（F,且點E在平行四邊形內部，連接AE、酩，則的度數是（）.

A.130°B.135°C.150°D.125°

【變式訓練】

【變式1】（2021春?全國?八年級專題練習）在A8c?中，BC=2AB,CZ）_L/V?于點。，點￡為好的中點,

D.80°

【變式2］（2022春?陜西西安,八年級西安市鐵中學校考階段練習）如圖，平行四邊形AEC。中，AE1BC

于點E,G為線段A6上一點且滿足反;=8。.AG=CE,連。;并延長交A3于點則/即（的度數為

【變式3】（2021春?福建福州?八年級校學期口）如圖，在平行四邊形A8C。中，ACLCD,￡為8。中點,

點M在線段上，連接AM,AE,在8c下方有一點N,滿足/CAO=/8CM連接MN.

⑴若NBCN=60。，求證：Z2?4E=30°：

⑵若MA=MN,求證：NNMC=NMAE；

⑶在（2）的條件下，若MC-EA+CN,求證：A5-6AE.

K【經典例題三利用平行四邊形的性質求長度】

【例3】（2022春?四川綿陽?八年級校考期中）如圖，在YABC。中，NBCD=0）。，DC=6，點E、F分別

在ADBC上,將四邊形他在沿山??折掙得四邊形A用莊，AE恰好垂直于A。，若八月=],則/T”的值

為（）

A.3B.25/3I

【變式訓練】

【變式1］（2022春?陜西咸陽?八年級統考期末）如圖，在四邊形48CD中，AB//CD,4=/。，點E

為BC延長線上一點，連接AC.AE,AE交CD于點兒/DCE的平分線交AE于點G.若

A8=2AO=10,點〃為CD的中點，HE=6,則AC的長為（）.

A.9B.質C.10D.3加

【變式2］（2020春?重慶渝中,八年級重慶市笫二十九中學校校考期中）如圖，平行四邊形人BC。中，AB=

12.NB=75°,將dBC沿人。邊折段得到VAB'C，8fC交ADfE,/必定=45°,則點A到8C的距離

【變式3］（2022帝遼寧沈陽?八年級統考期天）在平行四邊形A8CQ中，對角線八C,B/5交于點。.且分

別平分

⑴求NA04的度數：

（2）猜測線段AD,八氏BC之間的等量關系，并證明你的結論:

⑶設點P為對角線AC上一點，3,若平行四邊形八比7）的周長為16,平行四邊形43a）的面積為8仃，

直接寫出八/，的長.

4【經典例題四利用平行四邊形的性質求面積】

【例4】（2023?廣東佛山?校考一模）如圖，直線4'經過平行四邊形八8。的對角線的交點，若四邊形八8C。

的面積為30cm2,則四邊形EDCr的面積為（）cm2.

A.15B.20C.25D.30

【變式訓練】

【變式1］（2022秋?福建廈門?八年級廈門市湖濱中學校考期末）如圖，已知人BCD,ADBC,/A8c=60°,

〃C=24g8,點C關于AD的對稱點為E,連接BE交AD于點「，點G為CD的中點，連接EG、BG,則SAHK

C

A.773B.147516D.32

【變式2］（2022秋?重慶北咯八年級西南大學附中校考階段練習）如圖，平行四邊形A8c。中，4=45。,

BC=1（?Z>C=15,點七為DC中點，點/?為BC上一點，ACE〃沿折登，點。恰好落在8。邊上的

點G處，則工BGF的面積為.

【變式3］（2022秋?吉林長春?八年級氏春市第五十二中學校考期中）在YA8C力中，AB=3cm,AD5cm,

8O=4cm,動點P從點。出發，以4cm/s的速度沿折線￡>€'-。8-/6。運動，連接入〃交8。于點O,設點P

的運動時間為/秒.

（1）當點P在。C邊上運動時，直接寫出。尸、C尸的長；

（2）在（I）的條件下，當△。也是等腰三角形時，求1的值：

（3）當點P在八。的垂直平分線上時，求出此時r的值，

（4）點。與點P同時出發，且點。在A3邊上由點A向點。運動，點。的速度是lcm/s,當直線PQ平分YABC。

的面積忖，直接寫出，的值.

4【經典例題五平行四邊形中的線段最值問題】

【例5】（2022春,福建龍巖?八年級校考階段練習）如圖，在平行四邊形ABC。中，

/8。=30。,8。=4,。。=36.點”是從。邊的中點，點N是A8邊上的一個動點.將二4MN沿MV所在

的克線翻折到△4MN,連接4C.則線段A'C長度的最小值為（）

A.5B.7C.473D.56

【變式訓練】

【變式1】《2022寺.福建福州.八年級校考期末）如圖，在“BC中.BC-2,AC-1,八8-2石，D為

A8邊上?點，將。。平移到AE（點。與點A對應），連接。E,則OE的最小值為（）

A.B,2C.4D.石

【變式2】（2021春?安徽安慶?八年級統考期末）如圖，在RtJBC中，ZfiCA=90°,BC=6,AC=8,E

為斜邊A8邊上的?動點，以陰，EC為邊作平行四邊形E4DC.

（1）酒8的長為.

（2）線段。長度的限小值為

【變式3］（2021春?福建廈門?八年級厘門雙十中學校考階段練習）如圖，在等邊AABC中，點力是射線8c

上一動點（點。在點。的右側），。。=。￡./8。舌=12。\點/是線段/?/?的中點，連接。月CF.

（1）請你判斷線段。尸與人。的數埴關系.并給出證明：

（2）若八8=4,求線段C/長度的最小值.

,41經典例題六平行四邊形中的翻折問題】

【例6】（2022春?浙江杭州?八年級統考期中）如圖，在平行四邊形A4CD中，40=36,七，尸分別為8,

AB上的動點，DE=BF,分別以A￡,C尸所在直線為對稱軸翻折△&BCF,點、D,8的對稱點分別為

G,H.若￡、G、H、F恰好在同一直線上，/GAF=45°,且G，=3,則人尸的長是（）

D.7

t變式訓練】

【變式1］（2022秋?九年級課時練習）如圖，在平行四邊形A8C及中，A3=36，/，。=3,NA=&尸，點

E在八6邊上，將V/1Z5E沿著直線。石翻折得▲47）￡.連結A'C,若點4恰好落在/瓦。的平分線上，則4,

【變式2】（2022春?浙江舟山?八年級校考期口）在平行四邊形八BCO中，8c=3,GX4,點E是C。邊上

的中點，將N8CE沿8E翻折得/8GE,連結AE,4、G、E在同一直線上，則點G到AB的距離為.

【變式3］（2023春?江蘇?八年級專題練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，ZBCD=3O°,BC=6,CD=3&,

（I）平行四邊形A3c。的面積為.

（2）若M是八。邊的中點，N是八B邊上的一個動點，將AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN,連接AC,

則A'C長度的最小值是

,6【經典例題七平行四邊形中的旋轉問題】

【例7】（2021春?浙江?九年級期末）如圖，在YA8CQ中，N48C=45。，A13=2,將點。繞點A逆時針旋

轉120°得到點E,點E落在線段8。上，在線段BE上取點產，使8"=。￡.連結A￡,CF,則所的氏為

D.36-3

【變式訓練】

【變式1］（2020?湖北?九年級統考階段練習）好圖，等腰△ABC的頂角NA=36。，若格其繞點C順時針旋轉

36°,得到△4/TC,點B'在AB邊匕A'B'交AC于E,連接AA'.有下列結論：①AABC^4A，配C：

②四邊形4A8c是平行四邊形：③圖中所有的三角形都是等腰三角形：其中正確的結論是（）

A.①②B.①③C.②@D.①②③

【變式2］（2022春?江蘇鹽城?八年級校聯考階段練習）如圖，在「鞏5d>中，AB=2.8c=3,ZABC=60°.

對角線AC與8。交于點0,將直線/繞點O按順時針方向旋轉，分別交人Q、8C于點E、F,則四邊形八8FE

周長的最小值是.

【變式3］（2022春?陜西渭南?八年級統考期天）如圖，58C是等邊三角形，點￡在直線3c.匕點”在

克線AB上（點E、尸不與三角形的頂點重合），AF=BE,連接AE,招線段b繞點C順時針旋轉60°

得到線粒CG,連接AG.

（1）如圖1,當點E與點尸分別在線段BC與線段AB上時.

①求證：AE=CF：

②求證：四邊形AECG是平行四邊形：

（2）如圖2,當點E與點,產分別在線段CB與線段BA的延長線上時,請判斷四邊形AECG還是平行四邊形嗎？

并說明理由.

51經典例題八平行四邊形的存在性問題】

【例8】（2022春?浙江溫州?八年級校聯考階段練習）在直角坐標系中，A,B,C,。的坐標依次為。,-1）,

（-2.3），（〃,0），（。力）.若以A,B,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形，則〃+方的值不可能是（）

A.-7B.-IC.1D.7

【變式?川練】

［變式1］（2022春?江蘇南京?八年級校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AD=6cm,fiC=l2cm,

點P從八出發以1cm/s的速度向。運動，點。從C出發以2cm/s的速度向8運動.兩點同時出發，當點產

運動到點D時，點Q也隨之停止運動.若設運動的時間為r秒，以點人、8、C、。、P、Q任意四個點為頂

點的四力形中同時存在兩個平行四邊形，則,的值是（）

A

C.3D.4

【變式2】（2022秋?山東濟寧.八年級校考階段練習）如圖，在等邊“人BC中，BC=5cm,射線

點E從點A出發沿射線AG以lcm/s的速度運動，點尸從點R出發沿射線BC以2cm/s的速度運動.如果點瓜

戶同時出發，設運動時間為r,當，=_______，時，以A、C、E、尸為頂點四邊形是女行四邊形.

【變式3X2022春?河南鄭州?八年級校考期末）如圖1,在四邊形48C。中，ADUC,AD=6cm.BC=8cin,

若動點P從A點出發，以每秒0.5cm的速度沿線段人力向點D運動：點。從C點出發以每秒2cm的速度沿CB

方向運動，當戶點到達。點時，動點尸、。同忖停止運動，回答下列問題：

（I）設點P、。同時出發，并運動了x秒，求當x為多少秒時，四邊形尸。C。變為平行四邊形.

（2）如圖2,若四邊形48co變為平行四邊形ABC。，AD=HC=6cm,動點P從A點出發，以每秒0.5cm的

速度沿線段AD向點。運動：動點。從。點出發以每秒2cm的速度在3C間往返運動，點到達。點時,

動點P、Q同時停止運動，設尸、。兩點同時出發，并運動了，秒，求當，為多少秒時，以尸，D,Q,3四

點組成的四邊形是平行四邊形.請直接寫出答案.

【經典例題九三角形中位線有關的證明】

【例8】（2021春?四川涼山?八年級校考期中）如圖，AA8C中，比＞平分N4AC,且49工4,E為4c的

中點，4D=6cm,fiD=8cm.?C=l6cm,則。石的長為（）.

D

B

A.6B.3C,1.5D.5

【變式訓練】

【變式1](2O23秋?湖北武漢?八年級校考期末)如圖，在ABC中，44=90°,AB=A,AC=3,點。為43

的中點，點M為“4C內一動點且QW=2,點N為OM的中點，當BN+CM最小時，則NACM的度數為

()

【變式2】(2022春?黑龍江哈爾濱?八年級哈公濱市第|四十七中學校考階段練習)如圖，在心AC。中，

NZMC=90。，點8為延長線上一點，且B/?=AC,連接8C,點尸、E分別為8C、,4。的中點，連接從廣、

EF,當EF=2屈,AE=1時，則8c的氏度為.

【變式3](2023秋,山西呂梁,九年級統考期天〉綜合與實踐

【知識呈現】

兩塊等腰直角三角板A8C和..OEC如圖擺放，其中NAC4=NZXE=9(r,F是OE的中點，〃是的中

點，G是8。的中點.

(1)如圖1,若點Q,/?分別在AC,8c的延長線上，通過觀察和測量，猜想切和FG的數量關系為,

位置關系為：

【拓展鞏固】

(2)如困2,若將三角板DKC繞著點C順時針旋轉至46在?條直技上時，其余條任均不變，則(1)中的

猜想是否還成立.？若成立，清證明：若不成立，請說明理由：

【探究況升】

(3)如圖3,將圖1中的繞點C順時針旋轉一個銳角，得到圖3,(1)中的猜想還成立嗎？直接寫出結論,

不用證明.

【經典例題十平行四邊形的性質與判定綜合題型】

【例8】(2022春?陜西咸陽?八年級統考期末)如圖，分別以RI..A3C的直角邊AC,斜邊A8為邊向外作等

邊ACD和等邊二ABE，為AB的中點,連接DF、EF,ZAC8=90。,NA8c=3(T.則以下結論:①AC_LDF；

②四邊形BCDP為平行四邊形：③DA+DF=8E,其中正確的有()

A.0個B.1個C.2個D.3個

【變式訓練】

【變式1](2021春?遼寧丹東?八年級統考期末)如圖，YABCD的對角線人C,8。交于點。，AE平分

交BC于點,E,且NA￡)C=60。，AD=2AB,連接OE,下列結論：①NGV)=30°：②。。=AB：③

S館四迨杉：④蘇動形皿》P:⑤OE=：AD.其中成立的個數是()

2104

C.3個D.4個

【變式2](2023秋?江西撫州,八年級臨川一中校考期末)在“8C中，AB=AC,/8AC=120。，。為

形內一點，以4。為腰作等腰」ME,使NZ”￡=/8人C,連接BECD,若M、N分別是。反8C的中點，

MN=\,則CO的長為.

【變式3](2022春,陜西西安?八年級西安市鐵一中學校考階段練習)在數學中，我們會用“截長補短”的方

法來解決幾條線段之間的和差問題.請看這個例題：如圖I,在四邊形A8CO中，/B人。=/BCD=90",

AB=AD,若AC=5cm,求四邊形ABC。的面積.

解：延W線段6到E.使得RE=CD,連接我們可以訐明笈4￡9DAC,根搟全等二角形的性心得

AE=AC=5,ZEAB=ZCAD,?ijZEAC=ZEAB+ABAC=ZDAC+ABAC=ZBAD=90°,得

右邊和加T>=SAM+SA"=S4隗+SABE~AEC'這樣，四邊形ABCD的面積就轉化為等腰"角三角形tAC面

積.

(I)根據上面的思路，我們可以求得四邊形A8c。的面積為cm2.

(2)如圖2,在中，NAC8=90。，且AC+8C=4,求線段反的最小值.

(3)如圖3,在平行四邊形A8CD中，對角線AC與月。相交于O,且40c=600：AC+BD=\0,則人力是否

為定值？若是，求出定值；若不是，求出4。的最小值及此時平行四邊形A8CQ的面積.

【培優瞼測】

I.（2023秋?河北保定?九年級校考期末）如圖，在中，/8=45。/。=60。,八。_18。于點。，BD=R,

若E，戶分別為從民8c的中點，則E”的長為（）

BD

A.72B.C.,D.Q

2.（2021春?浙江杭州?八年級校考期中）如圖所示，在平行四邊形A3CO中，”是CO的中點，Ali=2BC,

AW=|.AM=2,則CD的長為（）

A.1B.2C.72D.75

3.（2022?江蘇淮安?模擬預測）如圖，在平行四邊形ABC。中，點E、尸、G分別是AD、BC,。。的中點,

BE工EG,A。=2店AB=3,則A下的長是（）

A.2B.3C.4D.5

4.（2022秋,山東煙臺?八年級統考期末）如圖,在平行四邊形A8C。中，E為C7）上一點,HCE=8C,AE=DE,

AV=4，^DAE=60°，則下列結論：①ZAEB=9（產；②平行四邊形/18CD周長是24；③ZABE=NEBC=3（F:

④8爐=48;⑤E為CD中點.正確的結論有（）

A.2個B.3個C4個D.5個

5.（2022春?陜西西安?八年級西安市鐵一中學校考階段練習）如圖，E是YAACQ的邊A3上的點，Q是CE

2

中點，連接8。并延長交CD于點廣，連接版與OE相交于點?，若SA叨=35?,S^.=7cm,則陰影部

分的面積為（）cm2

6.（2023秋?陜西西安?九年級統考期末）如圖，D是SBC內一點,,BDLCD,八￡）=12,30=8,CD=6,

E、F、G、〃分別是A4、AC、CD、3。的中點，則四邊形的周氏是（）

B

C.20D.22

7.(2023春?江蘇?八年級專題練習)如圖，在平行四邊形八AC。中，人/)=2人尸是人。的中點，作CE_L/tB,

垂足E在線段AB上，連接￡凡CF,則下列結論:①4DCI；=；/BCD；②EF=CF；③S8K?<2S的：④/￡)尸￡

=4/AEE其中一定成立的是()

A.①領）④B.①②（⑨C.①（！）D.①鈍

8.(2022春?陜西漢中?八年級統考期木)如圖，分別以RlZ\A6C的斜邊A3、直角邊HC為邊向外作等邊

△AA。和等邊AACE,“為A4的中點，連接。“、EF,與A4相交于點G,若N8AC=30。，下列結

論：①EF■工人C：②四邊形AO在為平行四邊形：③八。=4人G；④其中正確結論有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.(2022秋?山東東營?八年級校考階段練習》如圖，在A4BE中，NR4E=90°,AB=AE,BE=\2cm,過

點A作A/〃8E且點尸在點A的右側.點及從點A出發沿射線AF方向以1cm/秒的速度運動，同時點P

從點E上發沿射線反方向以2cm/秒的速度運動，在線段PE上取點C,使得尸C=2€m.設點力的運動時

間為x杪.當尸秒時，以A,B,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形.

10.（2022秋?黑龍江哈爾濱?九年級校考期中）如圖，已知YA8CO中，質垂直平分DC,且=點

E為AF上一點,連接BE、CE,若/CEF=2^ABE,AE=2,則AD的長為.

11.（2022?江蘇鎮江?統考一模）如圖，在平行四邊形八股笫中，ZADC=3O°,AB=6.AD=3,七為邊A8上

的一動點，那么的最小值等于.

12.（2022?江蘇揚州?校考二模）如圖，平行四邊形ABC。中，點E在AO上，以破為折痕，把一A8E向上

翻折，點4正好落在8邊的點尸處，若VFZ組的周長為6,qFCB的周長為20,那么CF的長為.

13.（2021春?浙江杭州?八年級杭州英特外國語學校校考期中）如圖，在矩形48CQ中,AO=2A/J=4,E是

8C邊上的一個動點，連接AE,過點。作。產于八連接。廣，當為等腰三角形時，則8K的長

是.

14.（2023秋?廣東廣州?九年級廣州大學附屬中學校考階段練習）如圖，在等腰直角三角形A8C中，

ZABC=9（F,AB=6,線段也在斜邊AC上運動，且〃Q=2.連接8/5.BQ.則V8PQ周長的最小值是

B

15.（2C23,全國?八年級專題練習）如圖，在RdABC中，Zfi/lC=90°,E,尸分別是忒的中點，延長C4

到點及,使得AC=2AD,連接OEOEAKEEA戶與OE交于點O.AB=5.BC=13,求四邊形的面

(1)若AB=10,CD=24,ZABD=30°,ZBZ)C=120°,求E尸的長.

(2)若NBDC-4480=90°,求證：AB'+CD2=4EF2.

17.（2022秋?山東濟寧?八年級濟寧市第十三中學校考階段練習）如圖，在梯形A8CQ中，AD//BC,AO=9cm,

BC=24cm,E是〃。的中點.動點尸從點A出發沿八。向終點。運動，動點P平均每秒運動1cm：同時

動點。從點C出發沿C8向終點8運動，動點。平均每秒運動2cm,當動點尸停止運動時，動點。也隨之

停止運動.

⑴當動點尸運動秒時，則尸力=；（用含，的代數式直接表示）

（2）當動點0運動1秒時，

①若0＜，＜6,則EQ=:（用含，的代數式直接表示）

②若6＜，＜9,則EQ=；（用含，的代數式直接表示）

（3）當運動時間，為多少秒時，以點P,Q.D.E為頂點的四邊形是平行四邊形？

18.（2022秋?黑龍江喳爾濱?九年級哈爾濱市第三中學校校考階段練習）在平行四邊形A6C。中，點E

在C￡）也上，點廣在A4邊上，連接AE、CF,DF、BE,ZDAE=ZBCF.

⑴如圖1,求證：DE=BFt

（2）如圖2,設八E交。尸于點G,BE交CF于曼H,連接GH,若E是。邊的中點，在不添加任何輔助線

的情況下，請直接寫出圖中以G為頂點并且與全等的所有三角形.

19.（2023秋?山東淄博?八年級校考期末》如圖①所示，YA8C7）是某公園的平面示意圖，A、8、。、。分

別是該公園的四個入口，兩條主干道AC、8。交于點O,請你梧助公園的管理人員解決以下問題：

DDD

N'N

圖①怪②

(l)^TAB=\km.AC=2.4km,7?D=2km,公園的面積為

（2）在（1）的條件下，如圖②,公園管理人員在參觀了武漢東湖綠道后，為提升游客游覽的體腌感，準備修

建三條綠道AN、MN、CM,其中點M在OB上，點，在。。上，HBM=ON（點M與點0、/?不重合）,

并計劃:生AAON與ACOM兩塊綠地所在區域種植郁金杏，求種植郁金杏區域的面積;

（3）若將公園擴大，此時AB=2km,AC=4km,8。=4km.修建（2）中的綠道每千米費用為10萬元，請

你計算亥公園修建這三條綠道投入資金的最小值.

20.（2022春河北石家莊?八年級校考期末）何題：如圖1,在％8CD中,4B=8,AD=5,ZDAB,ZABC

的平分或8/J分別與直線。。交于點￡,F,則痔=.

（I）把“問題”中的條件“8=8"去掉，其余條件不變：

①如圖2,當點E與點尸重合時，求A3的長：

②當點E與點C重合時，則￡尸=.

（2）把??問題”中的條件“八8=8,八。=5"去掉，其余條件不變，當點C,。，E,F相鄰兩點間的距離相等時,

AF）

請畫出圖形并直接寫出相應圖形下黑的值.

專題08平行四邊形的性質與判定重難點題型專訓

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題型一利用平行四邊形的判定定理證明

題型二利用平行四邊形的性質求角度

題型三利用平行四邊形的性質求長度

題型四利用平行四邊形的性質求面積

題型五平行四邊形中的線段最值問題

題型六平行四邊形中的翻折問題

題型七平行四邊形中的旋轉問題

題型八平行四邊形的存在性問題

題型九三角形中位線有關的證明

題型十平行四邊形的性質與判定綜合題型

4【經典例題一利用平行四邊形的判定定理證明】

【知識歸納】

1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

特別說明：這些判定方法是學習本章的基礎，必須牢固掌握，當幾種方法都能判定

同一個平行四邊形時，應選擇較簡單的方法.

（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據，也可作為“畫平行四邊

形”的依據.

【例1】（2022春?福建泉州?八年級統考期末》如圖，四邊形4"?。中，A。BC,8c=3,

AB=5,八。=6.若點M是線段8。的中點，則CM的長為（）

【答案】C

【分析】延長CM交八。于M先由AAS證得△BCA/g△ONM,得出NM=CM=yCN,DN

=BC=3.求出AN=8C得出四邊形在灰加是平行四邊形，即可得出結果.

【詳解】解：延長GW交A。于N,如圖所示:

?.?點M是線段8。的中點，

,:AD&BC,

/./CBM=4NDM,ZUCM=NDNM,

在A8CM和△ONM中，

/CBM=ZNDM

ZBCM=ZDNM.

BM=DM

.,.△BCMg△ONM(A4S),

/.NM=GW=!CN,DN=BC=3,

：.AN=AD-DN=6-3=3,

：.AN=BC,

'.'AD!/RC.

，四邊形A8CN是平行四邊形，

：.CN=AB=5,

：.CM=-,

2

故選：C.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、平行線的性質、平行四邊形的判定與性質等

知識，添加輔助線證明^是解題的關鍵.

【變式訓練】

【變式1](2022存浙江杭州八年級校號?期中)如圖，在平行四邊形八8CD中，對角線人C,

8。交于點O,BD=2AD,E,F,G分另?,是OC,OD,A8的中點.下列結論正確的是()

①￡GJ_A8；②EF=EG；③四邊形8￡FG為平行四邊形；④AC垂直平分線段FG.

AD

L-----------------C

A.①②<§)B.①②?C.②@④D.①②?④

【答案】C

【分析】先根據平行四邊形的性質證明出人力=OD=OB=BC,根據三線合一定理得到

4即9伊,再由直角三角形斜邊上的中線等丁斜邊的半即可判斷②：根扼三知形中位線

定理證明EF=BG,￡￥，'〃8G,即可判斷③;設FG與AC交于點M,證明FGLAC,|*HhEG=FE,

即可證明AC垂直平分FG,即可判斷Q：根據現有條件無法證明①：

【詳解】???平行四邊形A8CD,

J.AI3//CD,AD=CB,AB=DC,BD=20D,

,：E,F.G分別是OCOD,AB的中點，

:.EF是408c的中位線，

：.EF=^CD=^AB,EF//CD,

,：BD=2AD,

：.AD=OD=OB=BC,

：.BELOC,

：./人砧=90°,

TEG是A/IEB的中線，

：.AG=EG=^AB=BG.

：,EF=EG,故②正確：

:.EF=BG,EF//BG,

...四邊形BEFG是平行四邊形，故③正確：

設尸G與人。交于點M,

A,D

&

?.?四邊形BEFG是平行四邊形，

：.FG//BE,

'：BEA.AC,

：.FGLAC,

?：EG=FE,

垂直平分"G,故④正確：

根據現有條件無法證明EG1AB

.?.正確結論的序號為②③④.

故選C.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，三角形中位線定理，等腰三角形的性質

與判定，線段垂直平分線的判定，熟知平行四邊形的性質與判定，三角形中位線定理是解題

的關電

【變式2］（2022秋?重慶蔡江?九年級及考階段練習）如圖，在中，。是8c邊上的中

點，連結AO,把△AB。沿AO翻折，得到連接C￡,若8O=6=2,A￡>=3,則

▲A8C的面積為

［分析］過點八什人〃1BT,交BC延長線「點H,過。作。G1B'C「點G,則DG//AH.

先證得△"C￡>是等邊?:角形，可得NCZ）9=NDC&=60。，從而得到NADC=/&CD,進

而得到四邊形4X汨是平行四邊形，可得到AH=ZX7.從而得到5皿,=5皿，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點八作A，_L9C,交川。延長線」點〃，過。作ZX7J.SC「點G,

則DG〃/V/,

?.?。是8c邊上的中點，

/.BD=CD,

?.?把△ABD沿AD翻折,得到-A&D，

二BD=&D.ZADB=AADB',

:.BD=CD=HD.

;BD=CB=2,

：.BD=CD=HD=CE=2,

...△口CD是等邊H角形,

/.ZCW=ZDC7?'=60°,

ZBDB'=\mr-NCD3'=120°,

ZADB+ZADff=24QP,

/.Z40B=40*=I20°,

ZADC=-Z.CDK=OCT,

JZADC=4BCD,

JAD//ffC.

四邊形A/)G，是平行四邊形，

AH=DG,

：.O/rUcOi)=-2DGxB'C,SAiLyc=2-AHXH-C.

??S材g=SAB'C9

???△夕8是等邊..角形，DG1BC,

.?.CG=Uc=】，

2

,DG=>!ciy-CG-=V22-I2=>/3-

=S6CO=JXGX2=G.

,"S.ABC

故答案為：75

【點睹】本題主要考查了圖形的折疊，等邊三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質,

勾股定理，根據題意得到S"g=S.C是解題的關鍵.

【變式3](2022春.寧夏銀川?八年級校考期末)如圖，在YA8C。中，對角&AC,4。相

交于點。，點E,尸在八C上，點G,，在8。上，且AF=C/，BG=DH.

⑴若AC="),ZGlD=7(r,試求/ABC的度數.

(2)求證：四邊形EGFH是平行四邊形.

【答案】(1)55。

(2)證明見解析

【分析】(I)由四邊形A8C。是平行四邊形，可知NA8C=NAQC,求出一從乂'即可：

(2)只要證明。也=OF,OG=O〃即可解決問題：

【詳解】(1)解："：CA=AD,ZC4￡；=70o,

AZ4DC=Z4CD=^(180°-70°)=55°,

?.?四邊形人BC。是平行四邊形，

ZABC=ZADC=550.

(2)?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD,

VAE=CF,BG=DH.

：.OE=OF,OG=OH,

...四邊形￡〃*G是平行四邊形.

【點睛】本題考行平行四邊形的性質與判定、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活

運用所學知識解決問題，屈于中考常考題型.

4【經典例題二利用平行四邊形的性質求角度】

【知識歸納】

1.邊的性質：平行四邊形兩組對邊平行且相等；

2.角的性質：平行四邊形鄰角互補，對角相等；

3.對角線性質：平行四邊形的對角線互相平分；

4.平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心；

特別說明：G)平行四邊形的性質中邊的性質可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質

可以證明兩角相等或兩角互補；對角線的性質可以證明線段的相等關系

或倍半關系.

(2)由于平行四邊形的性質內容較多，在使用時根據需要進吁選擇.

(3)利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時應

聯系三角形三邊的不等關系來解決.

【例2】(2021春?江蘇南京,八年級校考期中)如圖，以平行四邊形A8C。的邊C。為斜邊向

內作等腰直角aCDE,使AD=Z)E=CE,〃EC=9(F,d點E在平行四邊形內部，連接AE、

BE，則ZAE8的度數是().

A.130°B.135。C.150°D.125°

【答案】B

【分析】先證明人。=OE=慮=,得出ZDAE=ZAED,ZCBE=NCER.

/EDC=Z.ECD=45。，設^DAE=ZAED=x,NCBE=/CEB=y,求出ZADC=225°-2JC.

/38=225。一2九由平行四邊形的對角相等得出方程，求出x+y=135。，即可得出結果.

【詳解】解：???四邊形ABCD是平行四邊形,

/.AD=BC,/BAD=/BCD,N8AO+ZADC=180°,

,/AD=DE=CE.

：.AD=DE=CE=BC.

：.ZDAE=ZAED,/CBE=NCEB、

'：ZDEC=9（r,

ZEDC=ZECD=45°.

設QAE=ZAED=x,ZCBE=ACER=y,

AZADE=mr-2x,ZZJCE=180°-2y,

/.Z4DC=180°-2A+450=2250-2X.ZfiCD=225°-2y,

ZSA￡>=180°-（225O-2A）=2X-45°,

/.2x-45°=225°-2y,

x+>?=135°,

ZAEB=360°—135°—90°=135°：

故選：B.

【點暗】本題考查了平行四邊形的性質（對邊平行且相等，對角相等），等腰三用形的性質（兩

底角相等），解題的關鍵是找到NA切和/CEB之間的關系.

【變式訓練】

【變式1］（2021春?全國?八年級專題練習）在.A8G,中，RC=2AB,C。！/小于點。，點

E為Ar的中點，若乙40￡=盼，則的度數是（）

A.50°B.60°C.70°D.80。

【答案】D

【分析】連結CE,并延氏CE,交8A的延長線于點M根據已知條件和平行四邊形的性質

可證明△NAEgZXCFE,所以NE=CENA=CF,再由已知條件CO_LA8于。./人。￡=

50°,即可求出的度數.

【詳解】解：連結CE,并延長CE,交B/I的延長線于點N,

：.AB//CF,AB=CF,

工/NAE=/F,

?.?點E是的AF中點，

：.AE=FE,

在△NAE和中，

ZNAE=NF

?AE=FE,

NAEN=NFEC

:.ANAE公ACFE(ASA),

：.NE=CE,NA=CF,

'：AB=CF,

:.NA=AB,即BN=2AB,

\'BC=2AB,

:.BC=BN,ZN=ZNCB,

?.?C0_LA8于。，即/NOC=90°旦NE=CE,

：.DE=^NC=NE.

NN=NNOE=50°=NNCB、

.,?/B=80°.

故選：D.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，綜合性較強，難度較大，解答本題佗關鍵是正確作

出輔助線，構造全等三角形，在利用等腰三角形的性質解答.

【變式2](2022春?陜西西安?八年級西安市鐵-?中學校考階段練習)如圖,平行四邊形八BCD

中，八EJ.8CJ：點E,G為線段AE上一點且滿足EG=8C,AG=CE,連“；并延長交A8

于點尸，則N8”■的度數為.

【答案】45°

【分析】連接DG,根衣產行四邊形的性質證明，入ZX7MECG(SAS),可得DG=CG,

ZADG=ZECG,然后證明一。GC.是等腰白角二角形，進而可以解決問題.

【詳解】解:如圖,連接DG,

在平行四邊形A8CO中，AB//CD,AD//BC.AD=BC.

AE1BC.

J.AE1.AD-

.-.^DAG=ZGEC=9QP,

EG=BC.

:.EG=AD.

《△ADG和一成6中，

AD=EG

NDAG=NGEC=90°,

AG=EC

Q/WGg/'CG(SAS),

:.DG=CG，ZADG=ZECG,

,NADG+NAG￡)=9(F,

.?.ZEGC+ZAGD=90°,

..ZDGC=90P.

.「DGC是等腰百.角：角形，

:.^DCG=45°,

AB//CD.

;.NBFC=NDCG=45。.

故答案為：45°.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直光三角形的判定

與性質，解決本題的關鍵是得到一人/X；0二ECG.

【變式3](2021春?福建福州?八年級校考期中)如圖，在平行四邊形ABC。中，ACLCD,

E為3c中點，點M在線段上，連接AM,AE,在8