10.1.1復數(shù)的概念

最新課程標準：1.了解數(shù)系的擴充過程.2.理解復數(shù)相等的基本概念及復數(shù)相等的充要

條件.(重點)3.掌握復數(shù)的代數(shù)形式，分類等有關(guān)概念.(難點、易混點)

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知識點一復數(shù)的有關(guān)概念

1.復數(shù)

(1)定義：設(shè)a,b都是實數(shù)，形如a+bi的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做，滿足/=

，a叫做復數(shù)的,b叫做復數(shù)的.

(2)表示方法：復數(shù)通常用表示，即2=2+楊伯，b￡R),這一表示形式叫做復數(shù)

的代數(shù)形式.

2.復數(shù)集

(1)定義：所構(gòu)成的集合叫做復數(shù)集.

(2)表示：通常用大寫字母C表示.

3.復數(shù)相等的充要條件

設(shè)a,b,c,d都是實數(shù)，則a+bi=c+dio,a+bi=0o.

知識點二復數(shù)的分類

1.復數(shù)z=a+歷(a,b?R)

________(6=0),

<J純虛數(shù)(____________),

.(6*。)j非純虛數(shù)()

2.復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系：

［基礎(chǔ)自測］

1.判斷(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)若a,b為實數(shù),則2=。+歷為虛數(shù).()

(2)若aCR,則(a+l)i是純虛數(shù).()

(3)兩個虛數(shù)不能比較大小.()

2.若復數(shù)2一歷(6GR)的實部與虛部互為相反數(shù)，則b的值為()

2

A.—2B.,

2

C.l.2

3.復數(shù)（2—空|i的虛部為（）

A.2B.一坐

y[3

C.2-^-D.0

4.已知（2加一5〃）+3i=3〃一（m+5）i,m,則機+〃=.

川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川h圖?明國?薪養(yǎng)據(jù)升I川川川川川川川I川川川川川川川川川川川川川川川川川川h

題型一復數(shù)的有關(guān)概念

例1（1）下列命題中，真命題的個數(shù)是（）

①若x,y￡C,則x+yi=l+i的充要條件是x=y=l；

②若a,Z?￡R且〃>b,貝U〃+i>Z?+i；

③若12+y2=0,則x=y=O.

A.0B.1

C.2D.3

（2）給出下列三個命題：

①若z￡C,則z220；

②2i-1虛部是2i；

③2i的實部是0.

其中真命題的個數(shù)為（）

A.OB.1

C.2D.3

狀元隨筆首先將所給的復數(shù)化簡為復數(shù)的代數(shù)形式，然后根據(jù)實部與虛部的概念確定

實部、虛部.

方法歸他

正確理解復數(shù)的有關(guān)概念是解答復數(shù)概念題的關(guān)鍵，另外在判斷命題的正確性時，需通

過邏輯推理加以證明，但否定一個命題的正確性時，只需舉一個反例即可，所以在解答這類

題型時，可按照“先特殊，后一般"、“先否定，后肯定”的方法進行解答.

跟蹤訓練1復數(shù)〃+砥〃，R）為純虛數(shù)是a=0的條件.

題型二復數(shù)的分類

例2已知復數(shù)z=T^+（〃―5a—6）i（aGR）,試求實數(shù)a分別取什么值時，z分

別為：（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).

狀元隨筆根據(jù)復數(shù)Z為實數(shù)、虛數(shù)及純虛數(shù)的充要條件列方程（不等式）組求解.

—5a—6—0,

【解析】（1）當Z為實數(shù)時，則

次一1#0,

4=1或4=6,

qW±l,

當a=6時，z為實數(shù).

（2）當z為虛數(shù)時,

層一5a—6W0,

則

—1W0,

。W1且aW6,

qW±l,

當aW±l且aW6時，z為虛數(shù).

（3）當z為純虛數(shù)時，

—5a—6W0,

則4—1W0,

d-7。+6=0,

4#1且,

〃W±1,

、。^6或〃=1,

???不存在實數(shù)〃使Z為純虛數(shù).

方法歸林

利用復數(shù)的代數(shù)形式對復數(shù)分類時，關(guān)鍵是根據(jù)分類標準列出實部、虛部應滿足的關(guān)系

式（等式或不等式（組））求解參數(shù)時，注意考慮問題要全面.

m（加+2）

跟蹤訓練2已知旌R,復數(shù)2=1丁+（源+2-3）L當“為何值時:

（l）z￡R；（2）z是虛數(shù)；（3）z是純虛數(shù)；（4）z—2—4i.

題型三復數(shù)相等的條件

例3已知2x—l+(y+l)i=x—y+(—x—y)i,求實數(shù)x,y的值.

狀元隨筆根據(jù)復數(shù)相等的充要條件列方程組求解.

方法歸病

應用復數(shù)相等的充要條件時，要注意：

(1)必須是復數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實部與實部的相等，虛部與虛部相等列方程組.

(2)利用這一結(jié)論，可以把“復數(shù)相等”這一條件轉(zhuǎn)化為兩個實數(shù)等式，為應用方程思想

提供了條件，同時這也是復數(shù)問題實數(shù)化思想的體現(xiàn)，這一思想在解決復數(shù)問題中非常重要.

跟蹤訓練3若(2x2—3x—2)+(x2—5x+6)i=0,求實數(shù)尤的值.

題型四復數(shù)的不相等關(guān)系

狀元隨筆1.4+2i>3+z?正確嗎？

［提示］不正確，如果兩個復數(shù)不全是實數(shù)，那么它們就不能比較大小.

2.若(a—2)+bi>0,則實數(shù)a,b滿足什么條件？

［提示］b=0,a>2.

例4已知復數(shù)x2—l+b+l)i大于復數(shù)2X+3+&2—l)i,試求實數(shù)x,y的取值范圍.

狀元隨筆兩復數(shù)若能比較大小，則兩復數(shù)的虛部都為零.只需滿足一復數(shù)的實部大于

另一復數(shù)的實部.

方法帕林

實數(shù)屬于復數(shù)，但復數(shù)不一定是實數(shù)，因此實數(shù)的有些性質(zhì)不適用于復數(shù)，如實數(shù)能比

較大小，而復數(shù)中只有等與不等的關(guān)系，不能比較大小.只有當兩個復數(shù)都是實數(shù)時才能比

較大小.換言之，若兩個復數(shù)能比較大小，則它們必為實數(shù)，即若a+bi>c+di(a9c,d￡R),

a>c,

則

b=d=0.

跟蹤訓練4已知復數(shù)z=yj3x-1—x+(x2—4x+3)i>0,求實數(shù)x的值.

10.1.1復數(shù)的概念

新知初探咱主學習

知識點一

1.(1)虛數(shù)單位一1實部虛部(2)小寫字母Z

2.(1)全體復數(shù)

3.a=cJLb=da=0且6=0

知識點二

1.實數(shù)虛數(shù)a=0,bWOaWO,bWQ

［基礎(chǔ)自測］

1.解析：(1)錯誤.若。=0,則z=a+歷為實數(shù).

(2)錯誤.當a=-1時，(a+l)i不是純虛數(shù).

(3)正確.

答案：⑴義(2)X(3)V

2.解析：2—歷的實部為2,虛部為一6,由題意知2=一(—6)，所以6=2.

答案：D

3.解析：由復數(shù)定義知C正確.

答案：C

2m—5n=3n,m=-8,

4.解析:由復數(shù)相等的條件，得解得

.3——(m+5),n--2,

/.m+n——10.

答案：一10

課堂探究?素養(yǎng)提升

例1【解析】⑴①由于X,yec,所以x+yi不一定是復數(shù)的代數(shù)形式，不符合復數(shù)

相等的充要條件，所以①是假命題.

②由于兩個虛數(shù)不能比較大小，所以②是假命題.

③當x=l,y=i時，/+丫2=。成立，所以③是假命題.

(2)對于①，當zGR時，z2與0成立，否則不成立，如z=i,z2=—1<0,所以①為假命題；

對于②，2i-l=-l+2i,其虛部為2,不是2i,所以②為假命題；

對于③，2i=0+2i,其實部是0,所以③為真命題.

【答案】(1)A(2)B

跟蹤訓練1解析：若歷為純虛數(shù)，則必有“=0,故為充分條件；但若。=0且6=

0時，a+bi=0為實數(shù),故不是必要條件.

答案：充分不必要

跟蹤訓練2解析：(l)；zdR,

.(m?+2m—3=0,即jm=1.或m=—3,

Im-10,?m1.

.,.當m=-3時，zGR.

(2)；z是虛數(shù)，

...(m2+2m—340,即,mKl且mq—3,

lm-lHO,ImHl.

當fnWl且m#—3時，z是虛數(shù).

(3),「z是純虛數(shù)，

.m2+2m一3W0,日(mW1且m?！?,

***)m(m+2)即j4

---m---l-=0,Im=0m=—2,

.??當m=0或加=一2時，z是純虛數(shù).

(4)Vz=|-4i,

m(m+2)_1(]

m-l-2*即[m=_]或一&，

1m2+2m-3=-4,[m=-1.

-l時，Z---41.

2

例3【解析】???x,y為實數(shù)，

/.2x—1,y+1,x—j,—x—y均為實數(shù).