1．（2023春?裕華區期中）如圖，三邊的中線，，的公共點為，若，則圖中陰影部分的面積是A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：因為點為三條中線的交點，所以，即．又點為中點，即是的中線，所以．所以．則．又．所以陰影部分的面積為：6．故選：．2．（2022春?泰興市校級月考）如圖，網格中的小正方形邊長均為1，的三個頂點均在網格的格點上，點、分別是、的中點，與交于，連接，則的長度為A． B． C． D．【解答】解：取中點，連接，點、分別是、的中點，與交于，點是的重心，，，，共線，，，故選：．3．（2011?浙江校級自主招生）若是內任意一點，，，的重心分別為，，，則的值為A． B． C． D．【解答】解：分別連接，，并延長交，，于點，，，則，，分別是各邊的中點，的面積是面積的，的面積是的面積的，的值是．故選：．4．（2006?寧波校級自主招生）為的重心，的三邊長滿足，記，，的面積分別為、、，則有A． B． C． D．的大小關系不確定【解答】解：如圖，延長交于點則的面積的面積，的面積的面積同理可證明故選：．5．（2022?賽罕區校級一模）下面三個判斷：①頂角及一個底角的角平分線長對應相等的兩個等腰三角形全等；②有兩邊和第三邊上的高線對應相等的兩個三角形全等；③三角形的重心到頂點的距離等于它到對邊中點距離的2倍．其中正確的判斷有①②③（填序號即可）【解答】解：①如圖，等腰三角形和等腰三角形中，，平分，平分，，，△，故①符合題意；②在和△中，，，，，且，，△，△，，，，△，故②符合題意；③三角形的重心定理：三角形的重心到頂點的距離等于它到對邊中點距離的2倍，故③符合題意；故答案為：①②③．6．（2022?湘潭縣校級模擬）中，、分別為、的中點，與交于點，則1．【解答】解：設的面積為，是的中點，是的中點，是的重心，，的面積為，的面積為，是的中點，的面積為，的面積為，是的中點，的面積為，的面積為，，故答案為：1．7．（2022秋?寶山區校級月考）如圖，中，點，分別在邊，上，，，和重心間的距離為2；當點，分別在，延長線上且時，和重心間的距離不大于6，設此時的值為，那么的取值范圍是．【解答】解：過點交于點，設點是的重心，，，，的重心在上，，和重心間的距離為2，，，，，當點，分別在，延長線上時，當和重心間的距離等于6時，設的重心為，則，，，，，，，和重心間的距離不大于6，，故答案為：．8．（2022?臨海市一模）如圖，在中，點，分別是，的中點，與相交于點．若，則的長是3．【解答】解：點，分別是，的中點，，且，，，，故答案為：3．9．（2021秋?青浦區校級期中）如圖，點在的邊上，已知點、點分別為和的重心，如果，那么兩個三角形重心之間的距離的長等于．【解答】解：如圖，連接并延長交于，連接并延長交于，點、分別是和的重心，，，，，，，，，，，，，故答案為：．10．（2019秋?泰興市校級期末）如圖，在中，點是重心，那么．【解答】解：是的重心，；，即；是的中點，即，；故．故答案為：．11．（2016?白銀二模）如圖，已知，是斜邊的中點，過作于，連接交于；過作于，連接交于；過作于，，如此繼續，可以依次得到點、、、，分別記、、的面積為、、、．則（用含的代數式表示）．【解答】解：易知，△與△同底同高，面積相等，以此類推；根據直角三角形的性質以及相似三角形的性質可知：，，；在中，為其重心，，，，，，，；．故答案為：．12．（2013秋?洛江區期中）如圖，的兩條中線，相交于點，則．【解答】解：連接．，分別是，的中點．即是的中位線．，且．．13．（2012?上海模擬）如圖，為的重心，若過點且，交、于、，則的值為．【解答】解：如圖，連接并延長，交于點．為的重心，，，過點且，，．又，，．故答案為：．14．（2012?廈門模擬）如圖，在中，是中線，點為重心，若，則4．【解答】解：角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．15．（2009秋?南陽期中）在中，點、、分別是邊、、的中點，它們相交于點，，，，那么15．【解答】解：，，，，，，為中點，，．故答案為：15．16．如圖，設是的重心，且，，，則的面積為18．【解答】解：延長交于點，再延長至，使，連接，是的重心，，，（對頂角相等），，，，，，，在中，，，，根據勾股定理可得為直角三角形，，由以上可證得是的重心，．故答案填：18．17．（2023春?陳倉區期末）如圖，的頂點在正方形網格的格點上，請按要求畫圖并回答問題：（1）請畫圖找出的重心點；（2）請在的邊上找一點，使它與點，，中的任意兩點組成的三角形的面積是面積的，說明點滿足的條件并寫出這個三角形．【解答】解：（1）如圖所示，點即為所求；（2）如圖所示，找到，的中點，，連接，交于點，連接，延長交于點，依題意，在的邊上找一點，使它與點，，中的任意兩點組成的三角形的面積是面積的，則，，滿足題意，即點要滿足的條件是：經過三邊的中點，且與一邊平行，這個三角形是．18．（2023春?巴中期末）如圖，為的中線，為的中線，過點作，垂足為點．（1），，求的度數；（2）若的面積為，且，求．【解答】解：（1）因為是的一個外角，則．又，，所以．（2）連接，則．又為的中線，所以．同理．所以，又，．所以．解得．故的長為．19．（2022春?灌南縣期中）如圖，，點、分別在線段、上（不與點重合），是的平分線，的反向延長線與的平分線交于點．（1）若，求和的度數；（2）若，求和的度數．（無法求出準確數值的，可以用含的代數式表示）；（3）若中有一個角是另一個角的3倍，則60或78.75（直接寫出答案）．【解答】解：是的平分線，．是的平分線，．（1），，，．．．，．（2），，，．．．，．（3）由（2）知，恒為．當是的3倍時，．．當時，，．．當或時，的內角和大于，故、不可能等于；故答案為：60或78.75．20．（2021秋?姜堰區期中）如圖1，在梯形中，，，為邊的中點，請僅用無刻度的直尺作圖：（1）作的中點；（2）作的中點；（3）如圖2，的中線、交于點，若的面積為1，則四邊形的面積為2．【解答】解：（1）如圖1，連接交于點，即為所求，理由如下：，為邊的中點，，，，四邊形是平行四邊形，點是的中點．（2）如圖1，連接，連接交于點，連接交于點，連接并延長交于點，即為所求．（3）的中線、交于點，點是的重心，，，，，，，，，，，，故答案為：2．21．（2023?高新區模擬）在中，，，，點是邊的中點，將繞點旋轉得到△（點，的對應點分別為，，點不在直線上，連接．（1）如圖1，連接，，，求證：四邊形是矩形；（2）如圖2，當落在邊上時，與交于點，連接，，求線段的長；（3）在旋轉過程中，點為△的重心，連接，當線段取得最小值時，求出此時△的面積．【解答】（1）證明：繞點順時針旋轉得到△，點是邊的中點，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形；（2）解：四邊形是矩形，，，，，，，，且，，，，，，，，，，即，，；（3）解：如圖，連接并延長，交于點，，為的重心，，，，，，取的中點，連接，，以點為圓心，半徑為1作圓，交于點，則，點在以點為圓心，半徑為1的圓上運動，，當點、、三點共線時，的長最小，如圖，在△中，，為△的中線，，，，，過點作，，在△中，，，即，，，．22．（2010?泉州校級自主招生）已知是的重心，過、的圓與切于，的延長線交圓于，求證：．【解答】證明：延長至，使，連接，，，是的重心，，，，四邊形是平行四邊形，，，，過、的圓與切于，，又，，、、、四點共圓，，即．23．（2007?西城區一模）我們給出如下定義：三角形三條中線的交點稱為三角形的重心．一個三角形有且只有一個重心．可以證明三角形的重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的兩倍．可以根據上述三角形重心的定義及性質知識解答下列問題：如圖，的平分線與邊上的中線互相垂直，并且（1）猜想與的數量關系，并說明理由；（2）求的三邊長．【解答】解：（1）解法（1分）平分，，，，，，，；（2分）解法．平分，，，，，，（2分）（2）解法1：如圖一，延長到，使，則是等腰三角形（4分）是的中線，是的一條中位線，延長交于點，則垂直平分，是的重心，（5分），，，在中，（6分）（7分）在中，，．解法2：如圖二，從點作與的延長線交于（3分），，是的中點，是的中點，也是的中點，設，則，，即，解出（5分）在中，（6分），（7分），，在中