微專題09平面直角坐標系與函數考點精講構建知識體系考點梳理1.平面直角坐標系中點的坐標特征(6年3考)各象限內坐標軸上點P(a，b)在坐標軸上，則有：在x軸上?③；在y軸上?④；在原點上?a＝⑤，b＝⑥注：坐標軸上的點不屬于任一象限各象限角平分線上第一、三象限角平分線上的點的橫、縱坐標⑦；第二、四象限角平分線上的點的橫、縱坐標互為⑧平行于坐標軸的直線上平行于x軸的直線上的點的⑨相等；平行于y軸的直線上的點的⑩相等點的對稱變換P(x，y)P1?；P(x，y)P2?；P(x，y)P3?口訣：關于誰對稱，誰不變，另一個變號，關于原點對稱都變號點的平移(m＞0)P(x，y)P?；P(x，y)P(x＋m，y)；P(x，y)P?；P(x，y)P(x，y－m)口訣：左減右加，上加下減2.平面直角坐標系中的距離點到坐標軸及原點的距離點P(x，y)到x軸的距離是?；點P(x，y)到y軸的距離是?；點P(x，y)到原點的距離是?平行于坐標軸的直線上兩點間距離已知點P(x1，y1)，Q(x2，y2)為平面直角坐標系中任意兩點，則：(1)若PQ∥x軸?y1＝y2，PQ＝｜x1－x2｜；(2)若PQ∥y軸?x1＝x2，PQ＝｜y1－y2｜3.函數的概念及表示方法(2022.10)概念(1)函數：一般地，如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有?的值與它對應，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量；(2)函數值：如果當x＝a時，y＝b，那么b叫做當自變量為a時的函數值表示方法列表法、解析式法和圖象法畫函數圖象的步驟列表—描點—連線4.函數自變量的取值范圍函數解析式的形式自變量的取值范圍含有分式使?的實數含有二次根式使?的實數含有分式與二次根式使分母不為0且被開方數大于等于0的實數練考點1.在平面直角坐標系中，已知點P的坐標是(－3，－1)，填空：(1)點P在第象限；(2)點P關于x軸的對稱點P1的坐標為，關于y軸的對稱點P2的坐標為；(3)將點P向上平移2個單位長度得到點P3的坐標為.2.在平面直角坐標系中，已知點A(－3，4)，(1)點A到x軸的距離是，點A到y軸的距離是，點A到原點的距離是；(2)線段AB與x軸平行，且AB＝3，點B的坐標為.3.下列各曲線中表示y是x的函數的是.4.函數y＝2x+3的自變量x的取值范圍為高頻考點考點1平面直角坐標系中點的坐標特征(6年3考)例1在平面直角坐標系中，已知點B的坐標為(a＋1，2a－4).(1)若點B位于第四象限，則a的取值范圍為；(2)若點B在x軸上，則點B的坐標為，若點B在y軸上，則點B的坐標為；(3)若點B在第一、三象限的角平分線上，則點B的坐標為；(4)若點B關于原點的對稱點為點C(－4，－2)，則a的值為；(5)若將點B向上平移3個單位長度得到點D(2，1)，則a的值為；(6)已知點E(－1，3)，且直線BE∥y軸，則線段BE的長為.考點2函數的相關概念及性質(2022.10)例2(2024佛山順德區二模)要使式子x－4有意義，則x的取值范圍是變式1(2024齊齊哈爾改編)在函數y＝3+xx+2中，自變量x例3(人教八下復習題改編)如圖，在等邊△ABC中，AB＝2，點D在邊AB上，過點D作DE⊥BC于點E，連接CD，設△BDE的面積為y，CE＝x，求y與x之間的函數解析式.例3題圖變式2在△ABC中，AC＝5m，BC＝3m，∠ABC＝90°，D是AC邊上一動點，動點P以1m/s的速度從點A出發沿折線A→B→C運動，且PD⊥AC.設點P的運動時間為xs時，點P到AC的距離PD為ym，求y與x的函數關系式并注明自變量x的取值范圍.變式2題圖考點3函數圖象的分析與判斷例4(2024武漢)如圖，一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實心圓柱體，向水槽勻速注水.下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時間t的函數關系的是()例5(2024珠海香洲區三模)如圖①，E為矩形ABCD的邊AD上一點，動點P，Q同時從點B出發，點P沿折線BE－ED－DC運動到點C時停止，點Q沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/s，設P，Q同時出發ts時，△BPQ的面積為ycm2，已知y與t的函數關系如圖②所示(曲線OM為拋物線的一部分)，則下列結論錯誤的是()例5題圖A.AE＝3cmB.當5＜t＜7時，△BPQ的面積是10cm2C.當0＜t≤5時，y＝35tD.當t＝152時，PQBQ方法解讀分析判斷函數圖象的解題方法：(1)弄清楚橫軸與縱軸所表示的函數變量；(2)結合題干中所給自變量及因變量的取值范圍，在圖象中找相對應的點；(3)拐點：圖象上的拐點既是前一段函數圖象的終點，又是后一段函數圖象的起點，反映函數圖象在這一時刻開始發生變化；(4)水平線：函數值隨自變量的變化而保持不變；(5)交點：表示兩個函數的自變量與函數值分別對應相等，這個交點是函數值大小關系的“分界點”.真題及變式命題點1平面直角坐標系中點的坐標特征(6年3考) 1.(2020廣東3題3分)在平面直角坐標系中，點(3，2)關于x軸對稱的點的坐標為()A.(－3，2) B.(－2，3) C.(2，－3) D.(3，－2)2.(2022廣東6題3分)在平面直角坐標系中，將點(1，1)向右平移2個單位后，得到的點的坐標是()A.(3，1) B.(－1，1) C.(1，3) D.(1，－1)命題點2函數的概念(2022.10) 3.(2022廣東10題3分·源于人教八下習題)水中漣漪(圓形水波)不斷擴大，記它的半徑為r，則圓周長C與r的關系式為C＝2πr.下列判斷正確的是()A.2是變量 B.π是變量 C.r是變量 D.C是常量新考法4.[真實問題情境](2024貴州)為培養青少年的科學態度和科學思維，某校創建了“科技創新”社團.小紅將“科”“技”“創”“新”寫在如圖所示的方格紙中，若建立平面直角坐標系，使“創”“新”的坐標分別為(－2，0)，(0，0)，則“技”所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限第4題圖5.[新定義概念](2024河北)在平面直角坐標系中，我們把一個點的縱坐標與橫坐標的比值稱為該點的“特征值”.如圖，矩形ABCD位于第一象限，其四條邊分別與坐標軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值”最小的是()第5題圖A.點A B.點B C.點C D.點D6.[代數推理](2024綏化)如圖，已知A1(1，－3)，A2(3，－3)，A3(4，0)，A4(6，0)，A5(7，3)，A6(9，3)，A7(10，0)，A8(11，－3)，…，依此規律，則點A2024的坐標為.第6題圖

考點精講①(－，＋)②(＋，－)③b＝0④a＝0⑤0⑥0⑦相等⑧相反數⑨縱坐標⑩橫坐標?(x，－y)?(－x，y)?(－x，－y)?(x－m，y)?(x，y＋m)?｜y｜?｜x｜?x2＋y2?唯一確定?被開方數大于等于0練考點1.(1)三；(2)(－3，1)，(3，－1)；(3)(－3，1)2.(1)4，3，5；(2)(－6，4)或(0，4)3.③4.x≠－3高頻考點例1(1)－1＜a＜2【解析】∵點B位于第四象限，∴a+1>02a－(2)(3，0)，(0，－6)【解析】∵點B在x軸上，∴2a－4＝0，解得a＝2，∴a＋1＝3，∴點B的坐標為(3，0)；∵點B在y軸上，∴a＋1＝0，解得a＝－1，∴2a－4＝－6，∴點B的坐標為(0，－6).(3)(6，6)【解析】∵點B在第一、三象限的角平分線上，∴a＋1＝2a－4，解得a＝5，∴點B的坐標為(6，6).(4)3【解析】∵點B關于原點的對稱點為點C(－4，－2)，∴點B的坐標為(4，2)，即a＋1＝4，解得a＝3(或2a－4＝2，解得a＝3).(5)1【解析】∵將點B向上平移3個單位長度得到點D(2，1)，∴點B，D的橫坐標相同，∴a＋1＝2，解得a＝1(或2a－4＋3＝1，解得a＝1).(6)11【解析】∵E(－1，3)，直線BE∥y軸，∴a＋1＝－1，解得a＝－2.∴2a－4＝－8，∴點B的坐標為(－1，－8)，∴BE＝3－(－8)＝11.例2x≥4【解析】∵式子x－4有意義，∴x－4≥0，∴變式1x≥－3且x≠－2【解析】由題意可得，3+x≥0x+2≠0，解得例3解：∵△ABC是等邊三角形，DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，BC＝AB＝2，∠B＝60°，∵CE＝x，∴BE＝2－x，在Rt△BDE中，∵DE＝BE·tanB，∴DE＝3(2－x)，∴y＝S△BDE＝12BE·DE＝32(2－x)變式2解：當點P在AB邊上運動時，∵AC＝5，BC＝3，∠ABC＝90°，∴AB＝4，∵PD⊥AC，∴sinA＝BCAC＝PDAP＝35，即y∴y＝35x，0≤x當點P在BC邊上運動時，則AB＋BP＝x，PC＝AB＋BC－x＝7－x，∵sinC＝ABAC＝PDPC＝即y7－x∴y＝－45x＋285，4＜∴y與x的函數關系式為y＝35例4D【解析】下層圓柱底面半徑大，水面上升塊，上層圓柱底面半徑稍小，水面上升稍慢，再往上則水面上升更慢，所以對應圖象是第一段比較陡，第二段比第一段緩，第三段比第二段緩.例5C【解析】當t＝5時，點Q到達點C，點P到達點E，當5＜t＜7時，點P在ED上運動，y＝10cm2，當t＝7時，點P到達點D，故選項B正確；BE＝BC＝1×5＝5cm，當5＜t＜7時，S△PBQ＝12BQ·AB＝12×5AB＝10cm2，解得AB＝4cm，∴AE＝BE2－AB2＝52－42＝3cm，故選項A正確；當0＜t≤5時，點P在線段BE上，則BP＝BQ＝tcm，如解圖①，過點P作PH⊥BC于點H，易得△PBH∽△BEA，∴PHBA＝PBBE，∴PH＝4t5.∴y＝12BQ·PH＝12×t×45t＝25t2，故選項C錯誤；∵BE＋ED＝7cm，∴當t＝152時，點P在線段CD上，如解圖②，BQ＝例5題解圖真題及變式1.D2.A【解析】將點(1，1)向右平移2個單位后，得到的點的坐標是(1＋2，1)，即(3，1).3.C【解析】在C＝2πr中，r為變量，2和π為常數，C為r的一次函數，C隨r的變化而變化.4.A【解析】根據題意，“新”的坐標為(0，0)，其位置是坐標原點，“創”的坐標為(－2，0)，其位置在x軸負半軸上，∴以“新”為原點，向右為x軸正方向，向上為y軸正方向建立平面直角坐標系，由解圖得“技”字坐標是(1，1)，∴“技”在第一象限.第4題解圖5.B【解析】設A(a，b)，AB＝m，AD＝n，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝n，AB＝CD＝m，∴D(a，b＋n)，B(a＋m，b)，C(a＋m，b＋n)，∵ba＋m＜ba＜b＋na6.(2891，－3)【解析】由題知，點A1的坐標為(1，－3)，點A2的坐標為(3，－3)，點A3的坐標為(4，0)，點A4的坐標為(6