河南省駐馬店市青桐鳴20242025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知隨機(jī)變量X，Y的組樣本觀測(cè)值都落在經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)上，則隨機(jī)變量X，Y的樣本相關(guān)系數(shù)為（

）A． B． C．1 D．2．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（

）A． B．C． D．3．已知是等比數(shù)列，若，則的公比（

）A．4 B．2 C． D．4．已知矩形的邊所在直線(xiàn)的方程為，頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．現(xiàn)有4個(gè)紅色教育基地和2個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐基地，甲、乙兩人分別從這6個(gè)基地中各選取1個(gè)基地研學(xué)（每個(gè)基地均可重復(fù)選?。瑒t在甲、乙兩人中至少一人選擇紅色教育基地研學(xué)的條件下，甲、乙兩人中一人選擇紅色教育基地研學(xué)、另一人選擇勞動(dòng)實(shí)踐基地研學(xué)的概率為（

）A． B． C． D．6．若存在，使得直線(xiàn)與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．在正四棱柱中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上底面的中心，則直線(xiàn)與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知除以13所得余數(shù)為m，除以14所得余數(shù)為n，則（

）A．1 B． C．13 D．14二、多選題9．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．D．?dāng)?shù)列中有且僅有一個(gè)最小項(xiàng)10．已知隨機(jī)變量，，且，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．11．已知點(diǎn)在曲線(xiàn)上，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B．C．的最小值為D．曲線(xiàn)與軸的非負(fù)半軸、直線(xiàn)所圍成區(qū)域的面積大于三、填空題12．已知，向量，若，則.13．已知圓與圓的相交弦所在直線(xiàn)為，若與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，則.14．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，則的前項(xiàng)和為（用含的式子表示）.四、解答題15．為了解學(xué)生性別與掌握消防安全知識(shí)情況的關(guān)系，某校組織了消防安全知識(shí)測(cè)試，在高二年級(jí)中隨機(jī)抽取600名學(xué)生統(tǒng)計(jì)其測(cè)試成績(jī)，如下表（單位：人）：測(cè)試成績(jī)性別良好不夠良好總計(jì)男生150300女生100總計(jì)350600(1)將上表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整；(2)從該校高二年級(jí)的學(xué)生中有放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1名學(xué)生，以頻率作為概率，估計(jì)這2次抽取的學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?nèi)剂己玫母怕剩?3)試問(wèn)是否有99.9%的把握判斷消防安全知識(shí)測(cè)試成績(jī)與性別有關(guān)？附：，．0.1000.0100.0012.7066.63510.82816．如圖，四棱錐的底面為菱形，，且側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接.

(1)證明：平面；(2)證明：為直角三角形；(3)若，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.17．已知正項(xiàng)數(shù)列中，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)，證明：.18．已知橢圓的下焦點(diǎn)為，其離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)（直線(xiàn)與坐標(biāo)軸不垂直），過(guò)作軸的垂線(xiàn)，垂足分別為，若直線(xiàn)與交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值.19．某平臺(tái)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)一家新能源汽車(chē)銷(xiāo)售店2024年8月至2024年12月份每月的汽車(chē)銷(xiāo)售量Y（單位：萬(wàn)輛），得到如下數(shù)據(jù)：月份8月9月10月11月12月月份代碼X12345銷(xiāo)售量Y11.61.82.63(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，Y與X具有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，求Y關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．(2)該銷(xiāo)售店為了提高銷(xiāo)售量，2025年1月開(kāi)展優(yōu)惠活動(dòng)月．該店設(shè)置了一個(gè)抽獎(jiǎng)箱，箱內(nèi)放有分別標(biāo)有字母A，B，C，D的4個(gè)小球，且小球的質(zhì)地、大小均相同．店家準(zhǔn)備了兩種摸球方案，每位客戶(hù)自主選擇一個(gè)方案抽獎(jiǎng)：方案一：客戶(hù)從抽獎(jiǎng)箱內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)小球，若小球標(biāo)有字母A，則獲得購(gòu)車(chē)優(yōu)惠，抽獎(jiǎng)結(jié)束；否則，不能獲得優(yōu)惠，并將抽出的小球放回抽獎(jiǎng)箱內(nèi)，搖勻后繼續(xù)隨機(jī)抽取1個(gè)小球，且每位客戶(hù)至多抽取3次．方案二：客戶(hù)從抽獎(jiǎng)箱內(nèi)有放回地抽取k（，）次，每次抽取1個(gè)小球，放回?fù)u勻后再進(jìn)行下一次抽取，若至少出現(xiàn)兩次小球標(biāo)有字母A或B，則獲得購(gòu)車(chē)優(yōu)惠；否則，不能獲得優(yōu)惠．（?。┮阎蛻?hù)甲選擇方案一抽獎(jiǎng)，設(shè)表示甲抽取小球的次數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）若客戶(hù)選擇方案二獲得購(gòu)車(chē)優(yōu)惠的概率比方案一獲得購(gòu)車(chē)優(yōu)惠的概率大，求k的最小值．附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，．參考答案1．D【詳解】因?yàn)闃颖居^測(cè)值都在直線(xiàn)上，則線(xiàn)性相關(guān)性最強(qiáng)，可知，且，可知隨機(jī)變量X，Y滿(mǎn)足負(fù)相關(guān)，所以樣本相關(guān)系數(shù)為．故選：D．2．B【詳解】由雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：B.3．B【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，所以，又，所以，則.故選：B.4．A【詳解】因?yàn)椋吽谥本€(xiàn)的方程為，設(shè)所在直線(xiàn)方程為，因?yàn)檫^(guò)，所以，所以所在直線(xiàn)方程為，由解得，即頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.5．C【詳解】由題意可知：甲、乙兩人從6個(gè)基地中各選一個(gè)進(jìn)行研學(xué)有（種）情況，至少一人選擇紅色教育基地研學(xué)有（種）情況，設(shè)“甲、乙兩人中至少一人選擇紅色教育基地研學(xué)”，則，甲、乙兩人中一人選擇紅色教育基地研學(xué)、另一人選擇勞動(dòng)實(shí)踐基地研學(xué)，有（種）情況，設(shè)“甲、乙兩人中一人選擇紅色教育基地研學(xué)、另一人選擇勞動(dòng)實(shí)踐基地研學(xué)”，則，所以．故選：C．6．D【詳解】由圓可得，圓心，半徑，由題意得，，則，解得或.故選：D.7．A【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，于是，故直線(xiàn)與夾角的余弦值為.故選：A.8．C【詳解】因?yàn)?，所以除?3所得余數(shù)為1，則；因?yàn)?，所以除?4所得余數(shù)為13，則，因此．故選：C9．BC【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可知，解得錯(cuò)誤；由上得正確；由得，，C正確；，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)或時(shí)，和的值均最小，D錯(cuò)誤.故選：BC.10．ACD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由得，，，則，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，得，，由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可知，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由得，，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由于X與Y均服從正態(tài)分布，且，，所以X的正態(tài)曲線(xiàn)較“矮胖”，隨機(jī)變量分布比較分散，Y的正態(tài)曲線(xiàn)較“高瘦”，隨機(jī)變量分布比較集中，因此，D正確．故選：ACD．11．ABD【詳解】將方程中的分別換為，方程仍成立，則曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，A正確；方程化為，所以，解得，B正確；在方程中，令，解得，或，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，C錯(cuò)誤；曲線(xiàn)在第一象限上的最高點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，又，故時(shí)，，所以曲線(xiàn)與軸的非負(fù)半軸，直線(xiàn)所圍成區(qū)域的面積，D正確.故選：ABD12．【詳解】由得，，解得，所以.故答案為：.13．5【詳解】由圓與圓的方程相減得，相交弦所在直線(xiàn)的方程為，又知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則直線(xiàn)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，設(shè)，由，得，所以，由拋物線(xiàn)定義可知，.故答案為：5.14．【詳解】因?yàn)?，所以，①則，②由①②得，，故.故答案為：15．(1)填表見(jiàn)解析(2)(3)有99.9%的把握判斷消防安全知識(shí)測(cè)試成績(jī)與性別有關(guān)【詳解】（1）測(cè)試成績(jī)性別良好不夠良好總計(jì)男生150150300女生200100300總計(jì)350250600（2）該校高二年級(jí)600名學(xué)生中測(cè)試成績(jī)良好的頻率為，，故估計(jì)這2次抽取的學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?nèi)剂己玫母怕蕿椋?）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算．因?yàn)椋杂?9.9%的把握判斷消防安全知識(shí)測(cè)試成績(jī)與性別有關(guān)．16．(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【詳解】（1）證明：因?yàn)閭?cè)面是等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，所以，又，平面，平面，所以平?（2）證明：因?yàn)椋矫妫云矫妫制矫妫?，故為直角三角?（3）因?yàn)槠矫?，故由?）可知，平面平面，易求，又，所以為等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)闉槠矫媾c平面的交線(xiàn)，平面，所以平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于的直線(xiàn)為軸，直線(xiàn)分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，則，，，設(shè)平面的法向量為，由取，得.設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則，故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由得，，則，因?yàn)?，所以，又，故?shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，，故.（3）由（2）得，，當(dāng)時(shí)，，不等式成立；當(dāng)時(shí)，，不等式成立；當(dāng)時(shí)，，所以，綜上可知，.18．(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意可知，，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，，則，由，得，且，則，易知直線(xiàn)與的斜率均存在，則直線(xiàn)的方程為①，直線(xiàn)的方程為②，聯(lián)立①②消去得，，故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值.19．(1)(2)（?。┓植剂幸?jiàn)解析；期望為；（ⅱ）4【詳