全國新課標卷數學分析與復習建議全國新課標卷數學分析與復習建議全國新課標卷數學分析與復習建議提綱：一、連續五年課標數學卷試題分布及高考數學課標卷特點；二、圓錐曲線、函數與導數兩個重要模塊內容認識與復習建議；三、河北正定中學高三數學復習備考策略；2020/12/182數學全國新課標卷的發展變化2020/12/1832016年高考數學試卷分布情況：2020/12/184理科數學選擇題考查內容

2011-2015年新課標卷各題考點內容分布圖2020/12/1852012—2015理科數學填空題知識點分布圖2020/12/186理科數學解答題考查內容2020/12/1872011—2015新課標Ⅰ數學試卷（理科）主干知識分布2020/12/1881、傳統教材中重點內容重點考察，反復考察,多角度考察；2、對教材新增內容的考查日趨穩定；

課標卷數學試題充分體現新課改的理念，對教材新增內容的考查明確，且難易適度，既體現了基礎知識的與時俱進又有利于中學數學教學，對算法框圖、三視圖、線性規劃、抽樣方法與回歸分析、函數與導數等新增內容的考查成為新課標卷的熱點。其中函數與導數成為高考理科的壓軸題。全國課標卷數學試卷特點3、課標數學卷難度有從易到難的趨勢，試卷創新度、區分度較高；三角函數+數列，立體幾何、解析結合2020/12/1894、課標卷1中文理科試卷差距逐漸加大，體現了對文理科學生不同特點的把握；2013年文理科相同試題：4，7，11，12，13，16、三選一2014年文理科相同試題：5,9,12,14，三選一2015年文理科相同試題：6,8,9,11,19,三選一

立體幾何試題中理科側重位置關系和角、距離的計算，文科側重位置關系和體積的計算

圓錐曲線試題中理科側重橢圓、拋物線位置關系的判斷及最值的研究，文科側重直線與圓的研究；

抽樣統計試題中理科側重概率、期望、方差的計算，文科側重莖葉圖、直方圖、方差的計算。2020/12/18105、課標數學卷側重對學生思維能力的考察，更側重對學生運算能力的考察；

運算能力是數學的根本，運算能力是思維能力與運算技能的結合，它不僅包括數的運算，還包括式的運算，對學生數學運算能力的考查，主要是對算理和邏輯推理的考查，如集合的運算，向量的運算，復數的運算，三角運算，框圖運算，數列計算、距離計算、體積計算等基本的運算題構成了對數學基礎知識的考查模式2020/12/18112012年高考文科試卷對運算能力的考察2020/12/18126、堅持能力立意，堅持對數學思想的考察：2020/12/18132020/12/18142020/12/18152020/12/18162020/12/18172020/12/18182020/12/18192020/12/18202020/12/18212020/12/18222020/12/1823主要內容：1、近三年高考圓錐曲線試題回顧及認識；2、學生存在問題、難點分析；3、圓錐曲線試題突破策略；（1）程序化是解決圓錐曲線試題的基本方法；（2）簡化運算的基本途徑及思路;（3）向量條件的靈活應用；（4）幾類典型試題的解決策略；4、圓錐曲線三輪復習策略；對圓錐曲線模塊的研究2020/12/18242013年理科試題2020/12/18252014年理科試題2020/12/18262015年理科試題2020/12/1827同2013理科同2013理科2013年文科試題2020/12/18282014年文科試題2020/12/18292015年文科2020/12/18301、從連續三年高考看圓錐曲線命題的變化趨勢及認識：（1）圓錐曲線部分“兩小一大”的分布特點在高考中比較穩定；（2）文理科客觀題部分均體現了對圓錐曲線部分知識點及二級結論的考察，體現學生對知識點覆蓋面的掌握程度及有關簡化運算策略的應用；2013年理科2020/12/1831二級結論：2020/12/1832結論：2020/12/1833拋物線焦點弦常用結論：2020/12/1834（3）文理科三個試題中主觀題均未涉及雙曲線部分，理科試卷中主觀題以橢圓與拋物線為主；文科試卷連續五年主觀題部分都與圓有關，文科主觀題難度有所降低；（4）不論客觀題還是主觀題，兩條曲線簡單拼湊的跡象比較明顯,但對學生而言兩條曲線的簡單拼湊對基本量的考察是一個難點；（5）圓錐曲線試題運算量逐漸降低。從我校學生的得分情況看，學生在客觀題部分得分雖然名次靠前，但2015年高考圓錐曲線試題得分有所下降，而主觀題部分學生的得分情況有所上升；2020/12/1835

2020/12/1836二、學生在圓錐曲線試題方面存在的主要問題：1、條件的使用亂而無序；不能從前往后一個一個的使用條件，不能將每句話轉化為數學符號；2、條件的本質不能抓住：條件的內涵沒有挖掘出來，人為的制造復雜；3、化簡變形沒有方向；4、典型試題方法不全；知識點（包括二級結論）不夠扎實全面、范圍問題、最值問題、定點定值問題、切線問題方法單一甚至沒有方法；5、運算能力非常欠缺；運算出錯根源分析：求快心理+著急心理+草稿紙上亂寫6、解題信心嚴重不足；7、書寫混亂看不清楚；2020/12/1837（1）設橢圓方程：利用焦點或準線方程形式確定橢圓焦點所在的軸從，利用待定系數法進而求出1、直線和圓錐曲線問題的程序化策略

或

而設出橢圓標準方程從而得到橢圓的方程；當不知道橢圓焦點所在的軸時，可以設橢圓的方程為；當然，如果條件中給出了橢圓方程這一步驟就可以省略；（2）設直線的方程；當直線過定點可設為，若條，但不管那種形式都需要考件不具體，則直線往往設成慮直線斜率不存在的情況；三、圓錐曲線試題突破策略：2020/12/1838（3）若條件中涉及到兩個交點，可設交點坐標同時將直線和橢圓的方程聯立得：消去，得到關于的一元二次方程

注意：對于直線和雙曲線問題要重視對二次項系數的討論.（4）兩個交點

注意：對直線和雙曲線相交問題要注意兩個交點在同一支上還是在不同支上，從而建立不同的不等式.2020/12/1839（將用表示，進一步用方程中的系數表示）（5）韋達定理的應用；可以用一元二次方程中的系數表示.兩點在直線上，則

同時注意：（6）若涉及到了AB的中點M，設M，則利用中點坐標公式得：，；（7）若條件中涉及到了弦長，則弦長公式為；；（8）其他條件坐標化：例OA⊥OB；2020/12/18402、簡化運算的途徑及思路：（1）利用定義判斷動點的軌跡方程；（2）利用定義構造焦點三角形建立基本量之間的等量關系；（3）利用定義進行距離之間的轉化求最值；1、利用圓錐曲線的定義簡化運算：2、利用平面圖形的幾何性質簡化運算；（1）利用圓的幾何性質簡化運算；（2）利用三角形內角平分線、中位線等性質簡化運算；（3）利用線線平行線段成比例等性質簡化運算；2020/12/18413、利用直線或曲線方程的設法簡化運算；2020/12/18422020/12/1843（2）多條直線問題中設出關鍵直線方程達到簡化運算的目的；2020/12/18444、利用向量簡化運算；2020/12/18452020/12/18462020/12/18474、靈活應用向量條件，把握向量本質，力求減少運算量；

向量與圓錐曲線的共同屬性——位置關系和數量關系的研究決定了向量與圓錐曲線知識的綜合，具體而言，就是在圓錐曲線試題中,往往部分關于位置和數量的條件用向量符號或向量語言來敘述，解題過程中，我們在講究向量條件坐標化的同時有時會增加運算量或復雜程度，如何應用向量條件，向量條件的本質是什么是向量條件使用的關鍵，向量條件的使用可以分為以下幾個層次：（1）簡單的向量條件坐標化：

對定比分點坐標公式的考察，坐標化的同時建立等量關系求解。2020/12/1848

（2005年高考試題）已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設M為橢圓上任意一點，且，證明為定值.與共線.提煉：條件中涉及到直線與曲線（尤其是橢圓和雙曲線）的兩個交點，且另一點在直線上或曲線上，向量條件涉及的位置關系或數量關系不太明確，在聯立方程的基礎上通過向量條件坐標化得到未知量所在的等量關系（坐標之間的關系、斜率或截距的關系、曲線中基本量之間的關系），從而求解2020/12/1849（2）通過化簡復雜的向量條件，明確向量條件隱含的位置關系或數量關系2020/12/18502020/12/18512020/12/18522020/12/18532020/12/18542020/12/18552020/12/18562020/12/1857提煉：具有相同起點的任意兩個向量的和（系數相等）都可以用兩個向量構成的三角形的中線向量表示，從而將復雜向量的運算轉化為明確的位置關系或數量關系；同時直線與圓錐曲線相交弦的中點問題讓我們聯想到了中線向量。（3）利用向量條件表達的位置關系和數量關系，結合平面圖形的幾何性質求解分析：

既表達了三點F、P、Q的位置關系，也表達了兩個向量之間的數量關系，故可用代數和幾何兩種思路求解2020/12/18582020/12/1859（4）利用向量知識解決圓錐曲線中的角的問題；2020/12/18601、圓錐曲線的切線問題：（1）圓的切線問題五、幾類典型試題方法探究：2020/12/1861(2)橢圓的切線問題：(3)雙曲線的切線問題：2020/12/1862(4)拋物線的切線問題：2020/12/1863拋物線的切線典型試題2020/12/18642020/12/18655、最值和范圍問題基本思路：2020/12/1866三、利用基本不等式建立不等式求范圍：四、利用平面圖形幾何性質建立不等式求范圍或最值（三角形兩邊之和大于第三邊等）1、圓錐曲線試題中分式無理函數最值問題突破策略：2020/12/1867（4）利用導數求最值；換元的過程中一定要注意新變量的取值范圍2020/12/1868觀察函數的結構特征，能否直接利用均值不等式？？2020/12/1869

分析函數中分子與分母的結構特征直接利用均值不等式放縮求出最值，簡單明了！2020/12/18702020/12/1871六、樹立細節意識，追求滿分

圓錐曲線試題學生能夠得分，但在解題過程中部分細節注意不到導致得不了滿分，歸納圓錐曲線解題過程中的部分細節，與大家共享。細節1：重視非標準方程向標準方程的轉化，避免非標準方程下基本量的求解出錯；細節2：文科0班26位學生15人出錯，關鍵是沒有注意到雙曲線的焦點在Y軸上2020/12/1872細節3：細節4：求動點的軌跡方程后沒有注意軌跡方程中變量的范圍；細節5：直線方程與雙曲線方程或拋物線方程聯立后沒有考慮二次項系數是否為0；細節6：求最值的過程中進行換元沒有注意到新變量的取值范圍；2020/12/1873七、圓錐曲線三輪復習策略：1、一輪復習定位：知識、方法全面、基本技能養成突破策略：以學生為本，以教師批閱、點撥為輔，真正實現學生自身能力的提升；積累簡化運算途徑，樹立簡化運算意識。學案設計以高考試題為主、由易到難，講究學生做對為止的原則。2、二輪復習定位：專題訓練、提升能力、簡化運算突破策略：不追求試題數量，客觀題強調知識點回顧整理，主觀題明確基本方法，力求做過的題全部做對，讓學生在一輪復習有完完整整做對主觀題的經歷；3、三輪復習定位：每日一練，追求速度與質量突破策略：做模擬題的過程中針對圓錐曲線模塊每日一題，限時完成，提高速度，追求完成質量2020/12/1874函數與導數主觀題考察特點及突破策略

以證明不等式或不等式恒成立時求參數范圍的形式考察學生對函數與導數知識的綜合應用能力2020/12/18752020/12/1876二、函數與導數對學生能力的考察要求：

思維分析能力運算求解能力邏輯推理能力函數與導數部分對學生能力考察的載體：恒成立問題（或證明不等式）；三、對函數與導數復習的核心問題：（1）根據學生認知層次和認知水平做好定位：放棄還是突破？（2）如果選擇突破，我們的突破手段有哪些？化簡變形能力2020/12/1877四、教師在函數與導數方面的角色定位：（2）加大自身對函數與導數問題的研究角度與研究程度；（3）成立研究團隊，聚全校名師力量進行突破；（1）明確掌握所教學生的層次水平；五、對函數與導數復習的突破手段：反思一輪復習：（1）一輪復習將函數與導數內容進行整合統一復習；（2）強調知識點的全面性和方法的理解、熟練程度，在此基礎上加深對知識和方法的深入理解與掌握；（3）通過一輪復習資料提高學生的思維能力與運算能力（正確求導的能力）；（4）通過小專題實現學生能力的螺旋式上升；2020/12/1878四、以函數與導數歷屆高考試題為例說明學科意識在解題中的應用1、定義域意識：（1）求函數的單調區間時要考慮函數定義域；（2）研究函數的極值點時要考慮在定義域內進行研究學生的丟分點

教室黑板上張貼“定義域”2020/12/18792、分類討論意識：分類討論的基本原則：分類原因：為什么要分類；分類時機:何時開始分類；分類標準：以誰為標準分類討論；不重不漏：分類是否全面；2020/12/18803、分離參數法研究恒成立問題時需要對參數對應的系數進行分類討論；4、分式不等式轉化為整式不等式時需要考慮分母與0的大小關系需要分類討論；5、函數的原始單調區間端點和函數定義域或給定區間端點大小關系不定時需要分類討論：高考函數與導數試題的五個分類點2020/12/1881

即恒成立的不等式為分式不等式，分式不等式在求導或研究最值方面都不如整式不等式方便，結合第一問，解決本題的關鍵是將分式不等式轉化為整式不等式，但需要考慮分母與0的大小關系.解類似一元一次不等式分類討論2020/12/1882

函數原始單調區間端點與定義域端點大小不定時需要分類討論解類似一元一次不等式分類2020/12/18832020/12/1884思路2：令只需要：解析：令

函數原始單調區間端點與定義域端點大小不定時需要分類討論構造函數2020/12/18852020/12/1886思路2：

兩根大小不定分類討論2020/12/1887備注5：2020/12/1888認識：（1）分類討論是化整為零、化總體為局部的處理方式，分類討論的關鍵是是否有分類討論的意識，解題過程是否嚴密。（4）構造好函數、把握函數的結構特征避開分類討論或減少分類討論次數是簡化解題過程的核心。（2）分類討論是分步得分的主要手段，但分類時學生往往漏掉的是最簡單的一種情況，要樹立特殊到一般的思想；（3）分類討論的最大弊端是書寫較多，解題時間較長；2020/12/18893、特殊自變量對應的函數值意識；（2）0,1等特殊自變量對應的函數值或導函數值；（3）定義域或區間端點對應的函數值意識；（1）研究函數主要研究兩個變量在運動變化中的相互關系，但在變化的過程中往往蘊含著一些不變的東西，如某些特殊自變量對應的函數值為定值，利用這些信息往往能夠簡化求解過程，明確求解方向；2020/12/1890（1）通過特殊自變量對應的函數值明確求解方向：2020/12/18912020/12/18922020/12/18932020/12/18942020/12/1895

然后在K的范圍基礎上就導函數對應的兩根大小進行分類討論，避開了對K<1的研究，減少了分類討論的次數。思路1：思路2：

通過兩個特殊自變量對應的函數值與0的大小關系不僅能夠得到答案，在此范圍下進行求解進一步減少了分類討論的次數2020/12/18962020/12/18972020/12/1898（Ⅱ）思路1：構造函數法2020/12/18992020/12/181004、構造好函數的思想

函數與導數試題核心是對函數性質的研究，但前提是提供一個什么樣的函數，在解題過程中如何構造一個好函數進行研究構造好函數的基本要求：（1）分式函數向整式函數轉化；（2）常用對數函數系數為x或1的轉化；（3）解決恒成立問題分離參數法中構造不含參數的函數;2020/12/18101思路1：

變分式不等式或分式函數為整式能夠起到簡化運算的目的2020/12/18102思路2：

2020/12/18103思路3：

2020/12/18104

在恒成立問題或證明不等式的問題中，構造不含參數的函數目的是為了避開分類討論，在研究最值問題時可以和洛泌達法則相結合，下面通過2013年高考課標卷1第21題說明在恒成立問題中構造好不含參數的函數的對比應用；規律整合：（1）對不等式適當變形后通過構造函數證明不等式；（2）分式函數求導后對導函數對應的分子構造函數判斷與0的大小關系；（3）不同的構造方法過程繁簡程度不同，有些函數不能夠解決問題，好函數不僅能夠解決問題而且能夠簡化運算；（4）構造好函數證明的過程給人一種“碰巧”的感覺，但這恰恰說明了構造好函數的重要性；2020/12/181052020/12/181062020/12/18107分式函數求導后分母往往大于0的基礎上將分子構造為一個函數是構造函數的常用手段2020/12/18108

構造不含參數的函數求最值雖然進行分類討論（分離參數時的分類），但是由于所構造的函數不含參數，雖然構造的函數往往是分式函數，但通過多次求導容易對最值進行研究，有效的避開了分類討論；2020/12/181092020/12/18110多變量問題中構造函數的問題：2009年全國卷第22題開啟了高中教師對多變量函數問題的研究，各種教輔資料中多變量函數問題逐漸增多，一些地市的大型考試也出現了多變量函數問題，解決多變量函數問題的核心是如何利用多個變量之間的等量關系構造關于某一個變量（或式子）的函數問題，下面以兩個典型例題為例說明如何構造好函數的問題。2020/12/181112020/12/181122020/12/181132020/12/181142020/12/181152020/12/181162020/12/181175、把握函數結構特征的意識：

函數與導數試題是歷年高考的壓軸題，是增加考生之間數學成績區分度的重要載體，函數與導數試題中往往是條件在給定一個函數的基礎上在問題的第二問通過等式或不等式來研究新的函數性質，在研究函數性質的基礎上把握函數的結構特征能夠取到簡化解題過程得到結果的目的。

把握函數的結構特征體現了對函數解析式的研究，體現了化簡變形過程中從整體到局部的研究，體現了化簡變形的方向性，體現了從解析式到函數性質的研究與把握.

構造好函數、特殊自變量對應的函數值等都是對函數結構特征的本質研究.2020/12/181182020/12/181192020/12/181202020/12/181217、洛必達法則的應用意識；（大學《數學分析》）1、洛泌達法則用來研究極限問題，在函數與導數試題中主要用來考慮不等式恒成立問題中分離參數法研究函數的最值問題；2、洛泌達法則是高等數學《數學分析》重要內容，高考閱卷題長或閱卷教師對學生使用洛泌達法則解題給滿分，高中教師不必糾結超綱不超綱的問題；備注：2020/12/18122洛泌達法則的使用范圍：

在不等式恒成立問題中，采用分離參數法構造不含參數的函數后求最值時往往由于最值不存在需要考慮使用洛泌達法則.思路分析：只需求g(x)的最小值即可2020/12/181232020/12/181242020/12/181252020/12/181262020/12/18127分離參數法利用洛泌達法則求解2020/12/181282020/12/181292020/12/18130函數與導數中學科思想匯總：1、定義域思想；2、分類討論思想；3、特殊自變量對應的函數值或導函數值思想4、構造一個好函數的思想；5、把握函數結構特征的思想；6、洛泌達法則思想；2020/12/18131衍生放縮不等式：2020/12/181322020/12/18133四、二輪復習的具體實施：1、結合薛金星主編的《2014年全國及各省市高考試題全集》、二輪復習小專題開展復習、解答題編寫二輪復習學案；2、限時訓練全部為2014、2013年高考試題中的客觀題，通過限時訓練繼續提升學生對知識點和方法的突破練習；3、結合學生認知水平通過專題講座提升能力；

第一階段：編寫