第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)（1）運(yùn)用模型思想，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，并能分析和解決問(wèn)題.（2）在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律.我們知道，函數(shù)是描述客觀(guān)世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà).面臨一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，該如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)刻畫(huà)它呢？就是弄清楚要解決什么問(wèn)題，完成什么任務(wù)就是弄清楚這個(gè)問(wèn)題有哪些因素，誰(shuí)是核心因素，通常設(shè)核心因素為自變量就是把問(wèn)題已知條件用所設(shè)變量表示出來(lái)，可以是方程、函數(shù)、不等式等就是指自變量所應(yīng)滿(mǎn)足的限制條件，在實(shí)際問(wèn)題中，除了要使函數(shù)式有意義外，還要考慮變量的實(shí)際含義。指數(shù)型函數(shù)模型:指數(shù)類(lèi)型的函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用比較廣泛，主要有以下兩類(lèi)：(1)儲(chǔ)蓄中的復(fù)利問(wèn)題：若本金為a元，每期利率為r，存期為x，則_____________________________.(2)平均增長(zhǎng)率問(wèn)題：若初始產(chǎn)值為N，平均增長(zhǎng)率為P，時(shí)間為x，產(chǎn)值y與x的關(guān)系可以用公式__________________表示.例、人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù).早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：，其中t表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，y0表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率.y=y0ert（1）根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)，我國(guó)1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬(wàn)和67207萬(wàn)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在1950--1959年期間的具體人口增長(zhǎng)模型.（2）利用（1）中的模型計(jì)算1951--1958年各年末的人口總數(shù).查閱國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的我國(guó)在1951--1958年間各年末的實(shí)際人口總數(shù)，檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符.

（3）以（1）中的模型作預(yù)測(cè)，大約在什么時(shí)候我國(guó)人口總數(shù)達(dá)到13億?

觀(guān)察實(shí)際情境發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題收集數(shù)據(jù)選擇函數(shù)模型求解函數(shù)模型檢驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題的解問(wèn)題1：根據(jù)材料2，我國(guó)1950年末，1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬(wàn)和67207萬(wàn)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在1950-1959年期間的具體人口增長(zhǎng)模型.解：由題意知y0=55196,設(shè)1950～1959年期間我國(guó)人口的年平均增長(zhǎng)率為r，根據(jù)馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型，有67207=55196e9r由計(jì)算工具得r≈0.021876因此我國(guó)在1950～1959年期間的人口增長(zhǎng)模型為y=55196e0.021876t,t∈[0,9].觀(guān)察實(shí)際情境發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題收集數(shù)據(jù)選擇函數(shù)模型求解函數(shù)模型檢驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題的解問(wèn)題2：通過(guò)該模型計(jì)算出的1951-1959年各年末的人口總數(shù)是否一定符合實(shí)際情況呢？如何檢驗(yàn)?zāi)Ｐ湍兀?.用該模型計(jì)算出1951-1959年各年末的人口總數(shù)，再與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)；2.將1951-1959年各年末的人口總數(shù)的實(shí)際數(shù)據(jù)畫(huà)成散點(diǎn)圖，并畫(huà)出y=55196e0.021876t的圖象，觀(guān)察兩個(gè)圖象的契合程度.分別取t=1,2,….,8,由y=55196e0.021876t,可得我國(guó)在1951~1958年間的各年末人口總數(shù)；查閱國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站，得到我國(guó)1951~1958年各年末的實(shí)際人口總數(shù)，如下表所示：

年份19511952195319541955195619571958計(jì)算所得人口數(shù)/萬(wàn)5641757665589406024361576629386433065753實(shí)際人口總數(shù)/萬(wàn)5630057482587966026661465628286456365994根據(jù)1950--1959年我國(guó)人口總數(shù)的實(shí)際數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，并畫(huà)出函數(shù)y=55196e0.021876t,t∈[0,9]的圖象.由表和圖可以看出，所得模型與1950--1959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合.

觀(guān)察實(shí)際情境發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題收集數(shù)據(jù)選擇函數(shù)模型求解函數(shù)模型檢驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題的解問(wèn)題3：用y=55196e0.021876t預(yù)測(cè)，大約在什么時(shí)候我國(guó)人口總數(shù)達(dá)到13億？解：將y=130000代入y=55196e0.021876t,由計(jì)算工具得t≈39.15所以，如果人口按照（1）中的模型增長(zhǎng)，那么大約在1950年后的第40年（即1990年），我國(guó)的人口就已達(dá)到13億.

形如

的函數(shù)為指數(shù)型函數(shù)，生產(chǎn)生活中有很多以此函數(shù)建構(gòu)模型的實(shí)例.觀(guān)察實(shí)際情境發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題收集數(shù)據(jù)選擇函數(shù)模型求解函數(shù)模型檢驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題的解事實(shí)上，根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，1993年我國(guó)人口11.86億，直到2005年才突破13億，對(duì)由函數(shù)模型所得到結(jié)果與實(shí)際情況不符，你有何看法？1.1959-1961經(jīng)歷了三年困難時(shí)期，造成人口數(shù)不增反降；2.20世紀(jì)70年代逐步實(shí)數(shù)計(jì)劃生育政策，人口增長(zhǎng)速率明顯下降.結(jié)論：在沒(méi)有自然災(zāi)害和人為調(diào)控的情況下，這個(gè)模型是可以預(yù)測(cè)我國(guó)人口自然增長(zhǎng)趨勢(shì)的.觀(guān)察實(shí)際情境發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題收集數(shù)據(jù)選擇函數(shù)模型求解函數(shù)模型檢驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題的解事實(shí)上，根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，1993年我國(guó)人口11.86億，直到2005年才突破13億，對(duì)由函數(shù)模型所得到結(jié)果與實(shí)際情況不符，你有何看法？在用已知的函數(shù)模型刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意模型的適用條件.

例3、假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天回報(bào)比前一天翻一番.

請(qǐng)問(wèn)你會(huì)選擇哪種投資方案?分析：先建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過(guò)比較它們的增長(zhǎng)情況，為選擇投資方案提供依據(jù).解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)y=40（x∈N*）進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)y=10x（x∈N*）進(jìn)行描述；方案三可以用函數(shù)進(jìn)行描述。三個(gè)模型中，第一個(gè)是常函數(shù)，后兩個(gè)都是增函數(shù)。三種方案所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況分析.

對(duì)數(shù)型函數(shù)模型能應(yīng)用對(duì)數(shù)型函數(shù)____________________________________________表達(dá)的函數(shù)模型叫做對(duì)數(shù)型函數(shù)模型，若，則其增長(zhǎng)的特點(diǎn)是開(kāi)始階段增長(zhǎng)得較快，但隨著自變量的逐漸增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢，常稱(chēng)之為“蝸牛式增長(zhǎng)”.二、用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程如下：這一過(guò)程包括分析和理解實(shí)際問(wèn)題的增長(zhǎng)情況（是“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線(xiàn)上升”還是“指數(shù)爆炸”）；根據(jù)增長(zhǎng)情況選擇函數(shù)類(lèi)型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題劃歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題；通過(guò)運(yùn)算、推理求解函數(shù)模型；用得到的函數(shù)模型描述實(shí)際問(wèn)題的變化規(guī)律，解決有關(guān)問(wèn)題.在這一過(guò)程中，往往需要利用信息技術(shù)幫忙畫(huà)圖、運(yùn)算等.實(shí)際問(wèn)題函數(shù)模型實(shí)際問(wèn)題的解函數(shù)模型的解劃歸解釋說(shuō)明運(yùn)算推理練一練例1.某公司在甲、乙兩地銷(xiāo)售一種品牌車(chē)，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為

和

，其中x為銷(xiāo)售量(單位：輛).若該公司在這兩地共銷(xiāo)售15輛車(chē)，則能獲得的最大利潤(rùn)為()A.45.606 B.45.6 C.45.56 D.45.51

解：設(shè)甲地銷(xiāo)售x輛，則乙地銷(xiāo)售

輛，從而總利潤(rùn)為顯然，當(dāng)

時(shí)，S