第8章頻率響應法

基礎練習題

E8.1計算機磁盤磁道密度在持續增大，從而要求計算機磁盤驅動器更加精確地控制磁頭的

K

位置。設磁頭位置控制系統的開環傳遞函數為L（S）=G，（S）G（S）=1不當K=4時,

繪制系統的頻率響應極坐標圖，并在①=0.5,1,2,4和+8時，分別計算頻率特性函數的幅值

和相角。

【解析】開環傳遞函數為則/（網卜￡7,°（0）=-2tan芍，頻

率響應如圖所示。

-180

10*1?！?0°101

Frequency(rad，tec)

。=0.5,1,2,4和+8時，頻率特性函數的幅值和相角如下表所示：

0().512400

1仇訕）|10.940.800.500.2()0

6(deg)0-28.07-53.13-90-126.87-180

E8.2由肌腱驅動的機械手采用了氣動執行機構，執行機構的傳遞函數為

G（s）=卜+7；；2500）繪制G（加）的頻率響應極坐標圖，并驗證：當3=1。和200時,

其對數幅頻特性分別為-17dB和-27.1dB；當。=700時，其相角為一138.7'。

【解析】傳遞函數為G（$）=聲器電頻率響應如圖所示。

io11021O31O4

Frequency(radsec)

11

相角為-tan—-tan-^―3=10,100,700時相角如下

70500

310200700

幽3）|-16.99-27.17-41.66

6(deg)-9.28-92.51-138.75

300(5+100)

E8.3機械臂關節控制系統的開環傳遞函數為L（S）=G,（S）G（S）=

s(s+10)(s+40)

明，當￡（/?）的相角為一180”時，其對應的頻率為。=28.3rad/s。并計算此時心（/。）的幅

值。

【解析】環路傳遞函數為小人瑞搞r相角為

^)=-900-tan-^-tan-'^+tan-^

當0=28.3時。=-90-70.5°-35.3°+15.8°=180°,

300(100)1+3

|￡(?|=r=().75。

2、弓

(0

㈤01+401+—

L(s)也可寫作L(s)當3=28.3時,

201og10|L|=201ogIO(75)+101og101+急-101ogIO1+后

(/yA

—10los,n1+——20logs0=—2.5dB

E8.4某受控對象的傳遞函數具有如下形式G(s)=-——---------7其頻率響應曲

'7(5+a)(52+205+100)

線如圖E8.4所示，試據此確定K和。的取值。

圖E8.4伯德圖

【解析】傳遞函數為6(9=3——-——啰=3時。=()；而

(S+4)(S+1O)-

^=+90°-tan-,--2tan-1—,解得〃=2,K=400。

E8.5某傳遞函數G(s)=卻黑需方;*6)對應的對數幅頻特性漸近線如圖E85

所示，試根據它確定K,。和8的值。

圖E8.5伯德圖

【解析】切＜2時201og—=0dB,3=8,因此當K=8時201og—=0dB。當3=2和

(08

3=4時有零點，由3=4時的零點解得a=0.25。3=8和3=24時有極點，由3=24

8(1+0.5，)。+0.25$)

時解得〃=1/24,因此G(s)=

s(l+08)(1+*24)(1+6/36)

E8.6多項研究報告建議開發一種具有超強機動性的機器人，使之能夠圍繞NASA的空間站

自主行走，并能夠在不同的環境中完成操作。這種機器人的手臂控制采用了單位反饋控制,

_________K_________

相應的開環傳遞函數為L\s)=G(s)G(s)=當K=10時，試繪制手

(s(s/5+l)(s/100+l)

臂控制系統的伯德圖，并求出使201og|L(/?①)|等于OdB時的頻率。

(b)超調量為P。=35%,調節時間為7；kl6sec。

(c)階躍響應如上圖所示。

100(.9-1)

E8.8某反饋系統的開環傳遞函數為L(s)=G,(s)G(s)=

524-255+100

(a)確定伯德圖上的轉折頻率；

(b)確定低頻段和高頻段漸近線的斜率；

(c)繪制伯德圖。

【解析】(a)轉折頻率為助=1rad/sec,<w2=5rad/sec,d)3=20rad/sec0

(b)低頻段漸近線的斜率為OdB/decade,高頻段漸近線的斜率為-20dB/decade。

(c)伯德圖如圖所示。

Bgutagram

20

10**10°10*10*10*

Frequency(rad'seci

E8.9某系統的伯德圖如圖E8.9所示，試確定其傳遞函數G(s)。

圖E8.9伯德圖

【解析】G(s)的伯德圖如下：

隹.N斷出r/、5/5+15/20+1

傳遞函數為例加卜+1)(燧0+1)。

E8.10圖E8.10(a)所示的動態分析儀可以分析給定系統的頻率響應。圖中還給出了利用信

號分析儀檢測汽車駕駛室機械振動的情況。圖E8.10(b)給出了某系統的實際頻率響應，試

估算該系統的極點和零點，注意，第一個標記對應于X=1.37kHz,兩個標記之間的頻率差

為AX=1.257kHZo

圖E8.10(a)分析汽車駕駛室機械振動情況的35670A信號分析儀；(b)頻率響應

【解析】頻率響應有兩個峰值，第一個為1.8,第二個為/b3.1。

1

G（網=

（師+1）1+3

務=0.15,4=24（1.8x10）0=0/5,縹=2萬（3.1X103）。

央其中中r=-2-萬-(-0-.-2-)

E8.ll考慮圖E8.ll所示的反饋控制系統。繪制G(s)的伯德圖，并確定系統的OdB線穿越

頻率，即201ogMG(*y)|=0dB時的頻率。

圖E8.ll單位反饋控制系統

【解析】伯德圖如圖所示，由201ogMG_G(m)|=0得口=9.9rad/sec。

E8.12考慮如下用狀態變量模型表示的系統：

y=[\-l]x+[O]w

(a)確定系統的傳遞函數；

(b)繪制系統的伯德圖。

【解析】⑶傳遞函數為G(s)=C(sI—A尸B+D=

(b)伯德圖如圖所示。

BodeDiagram

10

￡

3

e

p

n

l-10

c

f?20

E

)270

e

￡s

d180

90

10110'100io'10?

Frequency(rad/sec)

E8.13試確定圖E8.13所示反饋控制系統的帶寬。

【解析】閉環傳遞函數為r(s)=:+]1J：；。*]QT(s)的伯德圖如圖所示，其中

coB=4.9rad/seCo

BodeDiagram

50

S

考

三

6

殳

(

B

G

P

Q

E

d

E8.14考慮圖E8.14所示的非單位反饋系統，其中控制器的增益選為K=2。試繪制開環傳

遞函數所對應的伯德圖，并確定使開環幅頻特性201og，（,〃y）|=0dB的相角。注意，開環

傳遞函數為L（s）=6（s）G（s）H（s）。

R⑹Y(s)

圖E8.14控制器增益為K的非單位反饋系統

20

【解析】開環傳遞函數為L（s）=,L（s）的伯德圖如圖所示，當

(?+1.45+1)(5+10)

20log](，到=0時3=1.32rad/seco

BodeOagram

50

W*10w'io2io3

Frequency(rad-sec)

⑺其中

E8.15考慮如下模型描述的單輸入■單輸出系統

01

A=C=[53]當K=l,2和10時，確定系統的帶寬。當K增

-6-K-1

加時，帶寬是增大還是減小？

3s+5

【解析】閉環傳遞函數為?。?77T’帶寬如圖所示‘當長=?時”7-。,物皿

當K=2時例=7.9rad/sec0當K=10時例=14.7rad/sec。隨著K增加帶寬增大。

一般習題

P8.1繪制下列傳遞函數的頻率響應極坐標圖。

5(?+1.45+1)

(a)G(5)G($)=7-------r7-----r

八'''(1+0.255-)(1+35)(b)G,(s)G(s)=',J

「I

20(5+8)

（c）G，（〈G（S）=2：\區(d)G,(S)G(S)=

S十。S十？5s(s+2)(s+4)

_________1_________

【解析】（a）傳遞函數為G,（s）G（s）=

(l+O.255)(l+3s)

G」m）G（加卜百忌J+J3.256y

頻率響應極坐標圖如圖所示。

①=0,0.5,1,2,5,8時的幅值和相位角如下表所示。

NyquutO&gram

08

06

o4

So

X2

4

A

eJ

om0

ue

-J

2

-O

-04

-°-1-08-06-04-02002040608

RealAxis

300.512500

|G心)G(M|(dB)1.000.550.31().15().0-10

(deg)0-63.4-85.6-107.1-137.51-180

5(52+1.4,y+1)5((1-療)+1.4曲

(b)傳遞函數為G,(s)G(s)=4例G(網=汝

(v-1)2

頻率響應極坐標圖如圖所示?？?0,0.25,0.51,2,8,16,8時的幅值和相位角如下表所示。

Nyq皿Diagfam

-156

RealAxi$

0；00.250.51281G00

|G/3)G(松)|(dB)5.004.714.103.504.104.924.985.00

。(deg)048.59G.1180.0-96.2-21.3?12.20

s—8

(c)傳遞函數為G(S)G(S)=T<--,頻率響應極坐標圖如圖所示。

s+6s+o

。二0」,2,3,4,5,6,8時的幅值和相位角如下表所示。

30123l56

|GeO)GO)|(dB)1.000.870.650.170.350.270.220.0()

_______6(deg)_______180.0132.394.466.345.028.515.3-90.0

20(s+8)

(d)傳遞函數為G,G)G(S)頻率響應極坐標圖如圖所示。

s(s+2)(s+4)

1,0.1,0.8』.6,3212.8,8時的幅值和相位角如下表所示。

NyquistDiagram

201-----------------------------------------￡---------------------

15\

RealAxo

U)0().1「、1.63.212.8oc

|GCW)|(dB)00199.7022.879.242.790.140.00

0(deg)0-93.6-117.1-139.1-1G1.8174.3180.0

P8.2繪制習題P8.1中所有傳遞函數的伯德圖。

【解析】（a）伯德圖如圖所示，勿=0.25,（）.5,1,2,4,8,16時的幅值和相位角如下表所示

30.250.51.02.04.0H.O16.0

IGGMGGMI(dB)-1.95-5.19-10.26-16.65-24.62?34.60-45.93

。(deg)-10.5-63.4-85.6-107.1-130.2-151.()-1GI.8

51~+1.4s+1)

（b）傳遞函數為G（5）G（5）=伯德圖如圖所示，

C(if

①=0.25,0.5,1,2,4,8,16時的幅值和相位角如下表所示

30.25().51.()2.04.08.016.0

|GcO)GO)|(dB)13.4612.2G10.8812.2613.4613.8413.95

。（deg）1、，96.2180.0-96.2-48.5-24.342.2

c-8

（c）傳遞函數為G，（s）G（s）二十7~^伯德圖如圖所示，G=（）.6,1,2,3,4,5,6,8時

5-4-65+8

的幅值和相位角如下表所示

Bode0,01所

m

)p

s

皆

3)

a

x

a

10010110210a

Frequency(radsec)

s0.612345G00

|Gc(j3)G(j3)|(dB)-0.45-1.17-3.72-6.49-9.03-11.26-13.18-120.00

「(deg)150.5132.394.466.345.028.515.3-90.0

（d）伯德圖如圖所示，"=0.2,0.8,3.2,6.412.&25.6,51.2時的幅值和相位角如下表所示

BodeDiagram

m

)p

a

np

5-

S

10’

Frequency(fadsee)

30.2OR3.2I12.825.651.2

|G心)G3)|(dB)39.9527.198.90-3.98-17.35-30.0355-42.28

。（deg）-97.1-117.4-164.8178.0174.2176.0177.8

P8.3一種不常用的T型電橋網絡如圖P8.3所示，它可以用來替代例8.4中的雙T網絡。T型

電橋網絡的傳遞函數為G（s）=飛——r（你能證明嗎？）。其中，。；=2/LC,

s,-+2J（4/*Q）s+s；

Q=0〃4，&的值可以調整為（@￡）746。

(a)確定其零-極點分布圖，并用s平面向量法，估算系統的頻率響應。

(b)當Q=10時，比較雙T型網絡和T型電橋網絡的頻率響應。

時頻率響應如圖所示。

?

10

2■0

30

?

10?10,

w/wn

IS

w/wn

(b)對于雙T型網絡0=1.1?！?則|G上2.1x七Xl.1=0.05,類似地，對于TQ橋網

絡同=2」得)

x0.14=0.707,T型電橋網絡比雙T型網絡窄。

P8.4控制密閉艙內壓力的控制系統如圖P8.4所示，其測量環節的傳遞函數為

“($)=，?)一、調節閥的傳遞函數為G(S)=R-控制器的傳遞函

、75-+155+15()7(0.15+1)(5/20+1)

數為G,.(s)=2s+L試繪制系統開環傳遞函數G.(s)a(s)”(s)-[l/s]的頻率響應伯德圖。

Qo(s)

控制器閥門

Gc（s）Gi(s)

測量

HG)

圖P8.4框圖模型

30000(2$+1)

【解析】傳遞函數為G（S）=G，（S）G（$）H（S）[1/S]

s(s+10)($+20)(52+155+150),

伯德圖如下，幅值和相位角如下表。

BodeDiagram

B

p

)

B

p-50

m

c-130

6

2-150

5

{

6①-90

p

】

-130

<sD

￡

d-270

360

10210

10101010

Frequency(rad/seci

31358101524

\G(jcv\<1B6.955.785.083.381.59-5.01-17.56

0(deg)-40.89°-52.39°-77.28°-118.41°-145.99°-203.52°-258.57°

P8.5美國的機器人工業每年以30馳的速度增長。典型的工業機器人有6個關節（或稱6個自

由度）。配有力敏感功能的關節采用了單位反饋位置控制系統，其開環傳遞函數為

K

O（S）G（S）=具中，K=10。試繪制該系統的開環伯

(I+5/4)(1+5')(1+5/20)(1+5/80)

德圖。

10

【解析】傳遞函數為G,（s）G（s）=，伯德圖如下。

(l+s/4)(l+s)(l+s/20)(l+s/80)

BodeOagram

>360

10110*10°101l(f10aio4

Frequency(rad*,$?C)

P8.6圖P8.6給出了兩個傳遞函數的對數幅頻漸近線。假設這兩個系統都有最小相位傳遞函

數，試繪制相應的相頻特性漸近線，并確定每個系統的傳遞函數0

201og]Lj(dB)201皿Bd)

圖P8.6對數幅頻漸近線

3.98(1+5/1)

【解析】(a)傳遞函數為G"(s)=,啰二1時有一個零點，刃=10.0時有兩

s(l+s/10『

個極點，低頻近似值為3=1附有2()log=12dB,因此K=3.98。相位氐如圖

所示。

⑹傳遞函數為G"(s)=E六兩斜率為±20dB/dec。低頻值近似為Kj

則2OlogK0=O。。=1時K=l。相位圖如圖所示。

Ibi

100

P8.7無人小車廣泛應用于倉庫、機場和很多其他場合。如圖P8.7(a)所示，這種小車能夠

沿著嵌在地面上的線路自動調節前輪，從而保持小車行駛的方向。安裝在前輪上的感應線圈

可以檢測到小車的方向偏差，并據此來調節行駛方向。小車車輪控制系統的框圖如圖P8.7

K

(b)所示，其開環傳遞函數為L(s)=并要求其閉環系統帶寬大于

+S（5/\T+1）2

2〃rad/So

(a)當K「二2乃時，繪制對應的伯德圖；

(b)利用伯德圖，繪制相應的對數幅相圖。

參考輸入預期方向

感應線圈

圖P8.7無人小車車輪控制系統

【解析】開環傳遞函數為“$)=’&、2

(a)令(,=2%，伯德圖如圖所示。

B

P

U

3

(b)對數幅相圖如圖所示。

40

-10--

11III1I

V170-160>150-140-130?120-110-100-90

Phasedeg

P8.8某反饋控制系統如圖P8.8所示。若要求閉環系統階躍響應的超調量小于5%,

(a)確定閉環傳遞函數丫(/&)〃？0④)=7(/@)的頻域諧振峰值加網…

(b)確定諧振頻率0,0

(a)當PQ=15%時由IS^lOOe-M/G7解得[=0.517,故2G9,二10,即3”=9.67,

因此K=o：=93.53,產(2卻―$)1=]

(b)對于二階系統有”=—2G2=6.59,當6=0.517時q=9.67。

(c)估算帶寬〃與*(—=1L94rad/s。

P8.9考慮習題P8.1給出的(a)和(b)兩個傳遞函數，繪制它們的對數幅相圖。

【解析】對數幅相圖如下，

(a)(b)

P8.10在圖P8.10所示的系統中，采用線性執行機構來控制質量塊M的位置。該機構用一個

滑動電阻來測量質量塊的實際位置，并且有〃(s)=1.0<>選擇放大器增益可以使系統的穩

態誤差小于位置參考信號R(s)幅值的現。執行機構中的感應線圈的電阻為=0.1。，電

感為Lf=0.2H,此外,負載質量塊為0.1kg,摩擦系數為0.2N?s/m,彈性系數為0.4N/mo

在上述條件下，

(a)確定增益K的取值，使系統對階躍輸入的穩態誤差小于1%,即位置誤差常數

->99;

(b)繪制開環傳遞函數L(s)=G(s)”(s)的伯德圖；

(c)繪制〃加)的對數幅相圖“

(d)繪制閉環傳遞函數丫0&)/冗(1&)的伯德圖，并確定A/小，0和帶寬3-

H(s)

圖P8,10采用線性執行機構的控制系統

【解析】運動的控制方程為/(s)=KJ/,〃(s)=J；,。令K/=1.0,有

K￡+LfS

/(s)=(Md+加+K)y(s),因此傳遞函數為

/\KKf50K

GH5=7--------h=--------r=-------「--------r,這是一個。型系統，因此

7

(均+7Vs)(〃/+加+K)(5+0.5)(?+25+4)

Kp=25K°

(a)若允許1%的誤差，則@=|R|/(l+K/,)=0.01|R|,Kp=25K=99,選擇K=40

(b)伯德圖如圖所示。

20

0

Frequency(rad/sec)

6

pd

so

d2

10-113

Frequency(rad/sec)

(c)對數幅值相位圖如圖所示。

(d)閉環傳遞函數的伯德圖如圖所示，M=1.6,cor=4.4,coB—6.80

Frequency(rad/$ecj

101

Frequency(ra4/M<)

P8.ll航船的自動駕駛系統是反饋控制理論的典型應用。在交通擁擠的海域，保持航船的正

確航向是至關重要的。和人工駕駛需要頻繁修正航向相比較，自動駕駛系統產生的偏差較小。

在航船以小的偏差勻速運行時，可以得到自動駕駛系統的數學模型。以大型油輪為例，其傳

遞函數為G(s)=需二竿端瑞其中，E⑸是油輪偏航角的拉普拉

斯變換，S(s)是舵機糾偏角的拉普拉斯變換。試驗證，該系統的頻率響應

如圖P8.ll所示。

圖P8.ll油輪航向控制系統的頻率響應

【解析】伯德圖如圖所示，

1

8oo

P、

C

3

6

33

P

100

Frequency(rad/sec)

P8.12某反饋控制系統的程圖如圖P8.12(a)所示，其傳遞函數的頻域響應曲線如圖P8.12

(b)所示。假設系統具有最小相位傳遞函數，

(a)當G,斷開時，計算系統的阻尼比

(b)當閉合時，計算系統的阻尼比

(a)

Im

極坐標圖

G)(jw)

10

dB

tni)

對數幅相圖

遞增

G3(j(o)

(0=1(>------------9.54

-360°-270°-180°

圖P8.12反饋控制系統

【解析】3個傳遞函數為G"s)=l(),G2(S)=JG(s)=3s

S(5/().0+1I

10

(a)當G,斷開時,特征方程為1+G0(s)=1=0,即/+0.65+6=0,

s(s/0.6+l)

貝|JG=O磯2旬=0.12。

(b)當Ga閉合時，特征方程為l+GQ?(5)+6263(5)=1+—^―6+J'：=0,

s($+0.6)5(5-1-O.6)

即52+2.4s+6=0,則；=2."(26)=0.49°

P8.13如圖P8.13所示，某位置控制系統由交流電機和交流元器件構成。其中，同步發生器

和控制變壓器都可以看成帶有轉動繞組的變換器，同步位置檢測器的轉子隨著負載轉動，轉

動角為％。同步電機由U5V的60Hz交流參考電壓驅動，而輸入信號R(s)=Q,(s)則用

于驅動控制變壓器的轉子轉動。交流兩相電機起著放大偏差信號的作用。采用交流控制系統

的優點在于：(1)避免了直流漂移的影響；(2)元器件組成簡單。為了測量系統的開環頻率

響應，我們只需要分別將x-y和斷開，而在丫-丫'上施加正弦激勵信號，然后測

量x-x'間的響應［在施加激勵信號之前，必須使偏差(〃-舟)為零］。假設系統是最小相

位系統，實際測量的開環傳遞函數=的頻率響應如圖P8.13

(b)所示，試確定傳遞函數乙03)。

圖P8.13(a)交流電機控制；(b)頻率響應

【解析】通過檢查頻率響應，可以確定

“s)=G,(s)G(s)"(s)=當3=10時20logK//=40,故

(V100+l)(5/1000+l)2'

K=1000,

P8.14圖P8.14所給的電路是一種帶通放大器。當用=叫=次。，G=100pF,C2=1//F,

109s

K=100時，試驗證電路的傳遞函數為G(s)=并完成下列任務：

(5+10(X))(.y+107)

(a)繪制G(/0)的伯德圖.

(b)計算系統在中頻帶的增益(以dB為單位)。

(c)在高頻帶和低頻帶，找出增益為-3dB的頻率。

【解析】R=R、=mC,=100pF,=\/LIF,控制方程為黑?=

故處):KRgs=10G

KG)KR2

=取乂(s)一(6Gs+1)(&$+1)-(s+107)(s+100())

(a)伯德圖如圖所示。

,5

某。當2

為.

設位點00

。相極7=

).2［

s終復1

(最個=算

G兩估

二

數0有。)

函9°

0明

1-0

0遞