專題05解析幾何解答題鞏固練習三1．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，A，B分別是C的右、上頂點，且，D是C上一點，周長的最大值為8.(1)求C的方程；(2)C的弦過，直線，分別交直線于M，N兩點，P是線段的中點，證明：以為直徑的圓過定點.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】1）依題意，，周長，當且僅當三點共線時等號成立，故，

所以，所以的方程；（2）設，直線，代入，整理得，，，易知，令，得，同得，從而中點，以為直徑的圓為，由對稱性可知，定點必在軸上，令得，，，所以，即，因為，所以，即，解得，所以圓過定點.

2．（2023·廣東梅州·統考三模）已知雙曲線的右焦點，右頂點分別為，，，，點在線段上，且滿足，直線的斜率為1，為坐標原點.(1)求雙曲線的方程.(2)過點的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，在軸上是否存在與不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在，【解析】（1）設，所以，，，因為點在線段上，且滿足，所以點，因為直線的斜率為1，所以，所以，因為，所以，解得，，.所以雙曲線的方程為.（2）假設在軸上存在與不同的定點，使得恒成立，

當直線l的斜率不存在時，E在x軸上任意位置，都有；當直線l的斜率存在且不為0時，設，直線l的方程為，直線與雙曲線的右支相交于，兩點，則且，設，，由，得，，，所以，，因為，即，所以平分，，有，即，得，所以，由，解得.綜上所述，存在與不同的定點，使得恒成立，且.3.（2023·廣東佛山·統考模擬預測）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，，，為線段上異于的一動點，點滿足.(1)求點的軌跡的方程；(2)點是曲線上兩點，且在軸上方，滿足，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)；(2)【解析】（1），，，，點軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，設橢圓方程為，則，，，點的軌跡的方程為：.（2）連接，延長交橢圓于點，連接，

由橢圓對稱性可知：，又，四邊形為平行四邊形，，，且三點共線四邊形的面積，設直線，，由得：，，，，又，點到直線的距離即為點到直線的距離，點到直線的距離，，設，則，，，又，當，即時，四邊形面積取得最大值，最大值為.4．（2023·四川·成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考三模）設橢圓過點，且左焦點為．(1)求橢圓的方程；(2)內接于橢圓，過點和點的直線與橢圓的另一個交點為點，與交于點，滿足，證明：面積為定值，并求出該定值．【答案】(1)(2)證明見解析，定值為【解析】（1）由題意得，解得，所以橢圓C的方程為．（2）設點的坐標分別為，，．由題設知，，，均不為零，記，則且，又四點共線，從而，于是，，，從而①，②，又點在橢圓上，即③，④，①＋②×2并結合③、④得，即點總在定直線上．∴所在直線為上．由消去y得，，設，則，于是，又到的距離，∴∴面積定值為．

5．（2023·重慶巴南·統考一模）在平面直角坐標系中，已知點、，的內切圓與直線相切于點，記點M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)設點T在直線上，過T的兩條直線分別交C于A、B兩點和P，Q兩點，連接.若直線的斜率與直線的斜率之和為0，試比較與的大小.【答案】(1)(2)【解析】（1）因為點、，的內切圓與直線相切于點，所以，因此根據雙曲線的定義可知，點的軌跡為以，為焦點的雙曲線的右支，設點的軌跡C的方程為，焦距為，所以，，所以，，，所以點的軌跡方程C為（2）由題意，直線的斜率互為相反數，記，則，，，，，設，則直線，.聯立直線和雙曲線方程，整理