2024-2025學年江蘇省徐州市新沂市八年級上學期期中數學檢測試卷（一）一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）生活中我們會看到很多標志，在下列標志中，不是軸對稱圖形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列各組數中，能構成直角三角形的是（）A．4，7，5 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，23．（3分）用直尺和圓規作一個角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC＝∠BOC的依據是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS4．（3分）如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△ABC≌△ABD的條件是（）A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠3＝∠45．（3分）若一個三角形有兩條邊相等，且有一內角為60°，則這個三角形一定是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形6．（3分）在元旦聯歡會上，3名小朋友分別站在△ABC三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先坐到凳子上誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放置的最適當的位置時在△ABC的（）A．三邊中線的交點 B．三條角平分線的交點 C．三邊垂直平分線的交點 D．三邊上高的交點7．（3分）如圖是4×4正方形網格，其中已有3個小正方形涂成了黑色，現在要從其余13個白色小方格中選出一個也涂成黑色的圖形稱為軸對稱圖形，這樣的白色小方格有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個8．（3分）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，在直線AC取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點P共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題（本大題共有10小題，每小題4分，共40分）9．（4分）矩形有條對稱軸．10．（4分）等腰三角形的一個底角為50°，則它的頂角的度數為．11．（4分）若△ABC≌△DEF，△ABC的周長為100，AB＝30，DF＝25，則BC長為．12．（4分）如圖，以△ABC的頂點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交BC邊于點D，連接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，則∠DAC的大小為度．13．（4分）等腰三角形的周長為13，其中一邊長為5，則該等腰三角形的底邊長為．14．（4分）如圖，已知AD＝AE，∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACE，則需要添加的條件是．（寫一個即可）15．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9cm，DE是AB的垂直平分線，分別交AB、AC于D、E兩點．若BC＝5cm，則△BCE的周長是cm．16．（4分）在△ABC中，AC，BC，AB的長分別是6、8、10，點D是AB邊的中點，則CD＝．17．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線交AC于點P，PD⊥AB，垂足為D，若PD＝2，則PC＝．18．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為斜邊AB的中點，CD＝5，BC＝6，連接CD，將△BCD沿CD翻折，使B落在點E處，點F為直角邊AC上一點，連接DF，將△ADF沿DF翻折，使點A與點E重合，則AF＝．三、解答題（本大題共有4小題，每小題8分，共32分）19．（8分）如圖，已知AC平分∠BAD，AB＝AD．求證：△ABC≌△ADC．20．（8分）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是邊AC上的高，求∠DBC的度數．21．（8分）如圖，已知ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分別為D，C，AC＝BD，且AE＝BF．求證：AE∥BF．22．（8分）如圖，在10×10的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1（即三角形的頂點都在格點上）．（1）在圖中作出△ABC關于直線對稱的△A1B1C1；（要求：A與A1，B與B1，C與C1相對應）；（2）用無刻度直尺畫出線段AB的垂直平分線；（3）已知Q是直線l上一個動點，則QB+QC的最小值為．四、解答題（本大題共有2小題，每小題8分，共16分．）23．（8分）如圖，點D、E在△ABC的BC邊上，AD＝AE，AB＝AC，求證：BD＝CE．24．（8分）如圖，每個小方格的邊長都為1．（1）求圖中格點△ABC的面積；（2）判斷△ABC的形狀，并證明你的結論．五、解答題（本大題共有2小題，第25題8分，第26題10分，共18分．）25．（8分）如圖，某社區要在居民區A，B所在的直線上建一圖書室E，并使圖書室E到本社區兩所學校C和D的距離相等．已知CA⊥AB，DB⊥AB，垂足分別為A，B，且AB＝2.5km，CA＝1.5km，BD＝1.0km．（1）請用直尺和圓規在圖中作出點E（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求圖書室E到居民區A的距離．26．（10分）如圖，一塊四邊形的紙板剪去△DEC，得到四邊形ABCE，測得∠BAE＝∠BCE＝90°，BC＝CE，AB＝DE．（1）能否在四邊形紙板上只剪一刀，使剪下的三角形與△DEC全等？請說明理由；（2）求∠D的度數．六、解答題（本題10分）27．（10分）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使AD＝DE，連接BE．請根據小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據是．A．SSSB．ASAC．AASD．SAS（2）由“三角形的三邊關系”可求得AD的取值范圍是．解后反思：題目中出現“中點”“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．【初步運用】（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2AE，求線段BF的長．【靈活運用】（4）如圖3，在△ABC中，∠A＝90°，D為BC中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，試猜想線段BE，CF，EF三者之間的等量關系，并證明你的結論．

答案與試題解析一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）生活中我們會看到很多標志，在下列標志中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】直接根據軸對稱圖形的定義判斷即可．解：A．沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，故是軸對稱圖形，不符合題意；B．沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，故不是軸對稱圖形，符合題意；C．沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，故是軸對稱圖形，不符合題意；D．沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，故是軸對稱圖形，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形的知識，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形的概念，是解題的關鍵．2．（3分）下列各組數中，能構成直角三角形的是（）A．4，7，5 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，2【分析】根據三角形的三邊關系定理和勾股定理的逆定理逐個判斷即可．解：A、∵42+52≠72，∴以4，7，5為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；B、∵32+42＝52，∴以3，4，5為邊能組成直角三角形，故本選項符合題意；C、∵22+32≠42，∴以2，3，4為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；D、∵12+22≠22，∴以1，2，2為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理等知識點，能熟記勾股定理的逆定理的內容是解此題的關鍵．3．（3分）用直尺和圓規作一個角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC＝∠BOC的依據是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【分析】連接NC，MC，根據SSS證△ONC≌△OMC，即可推出答案．解：連接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，培養學生運用性質進行推理的能力，題型較好，難度適中．4．（3分）如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△ABC≌△ABD的條件是（）A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠3＝∠4【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS對各個選項逐一分析即可得出答案．解：A、∵∠1＝∠2，AB為公共邊，若AC＝AD，則△ABC≌△ABD（SAS），故本選項錯誤；B、∵∠1＝∠2，AB為公共邊，若BC＝BD，則不一定能使△ABC≌△ABD，故本選項正確；C、∵∠1＝∠2，AB為公共邊，若∠C＝∠D，則△ABC≌△ABD（AAS），故本選項錯誤；D、∵∠1＝∠2，AB為公共邊，若∠3＝∠4，則△ABC≌△ABD（ASA），故本選項錯誤；故選：B．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．5．（3分）若一個三角形有兩條邊相等，且有一內角為60°，則這個三角形一定是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【分析】根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，即可得到答案．解：∵一個三角形有兩條邊相等，∴這個三角形是等腰三角形，又∵這個三角形有一個內角為60°，∴這個三角形一定為等邊三角形．故選：A．【點評】本題考查了等邊三角形的判定，解答本題的關鍵是熟練掌握等邊三角形的判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形；判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．6．（3分）在元旦聯歡會上，3名小朋友分別站在△ABC三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先坐到凳子上誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放置的最適當的位置時在△ABC的（）A．三邊中線的交點 B．三條角平分線的交點 C．三邊垂直平分線的交點 D．三邊上高的交點【分析】根據線段的垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等解得即可．解：∵△ABC的垂直平分線的交點到△ABC三個頂點的距離相等，∴凳子應放置的最適當的位置時在△ABC的三邊垂直平分線的交點，故選：C．【點評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．7．（3分）如圖是4×4正方形網格，其中已有3個小正方形涂成了黑色，現在要從其余13個白色小方格中選出一個也涂成黑色的圖形稱為軸對稱圖形，這樣的白色小方格有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據軸對稱圖形的概念求解．解：如圖所示，有4個位置使之成為軸對稱圖形．故選：C．【點評】此題考查的是利用軸對稱設計圖案，解答此題關鍵是找對稱軸，按對稱軸的不同位置，可以有4種畫法．8．（3分）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，在直線AC取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點P共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據題意，畫出圖形，即可得到答案．解：分三種情況①AP＝AB，②BA＝BP，③PA＝PB：如圖，①以點A為圓心，AB長為半徑交直線AC于點P1和P2，②以點B為圓心，BA長為半徑交直線AC于點A和P3，③線段AB垂直平分線與直線AC的交點記為點P4，∴符合條件的點P共有4個，故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關鍵是掌握相關知識，正確畫出圖形．二、填空題（本大題共有10小題，每小題4分，共40分）9．（4分）矩形有2條對稱軸．【分析】根據矩形的對稱性解答即可．解：如圖，矩形有2條對稱軸，故2．【點評】本題考查了軸對稱的相關知識，解題的關鍵是確定軸對稱圖形的對稱軸條數．10．（4分）等腰三角形的一個底角為50°，則它的頂角的度數為80°．【分析】本題給出了一個底角為50°，利用等腰三角形的性質得另一底角的大小，然后利用三角形內角和可求頂角的大小．解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2＝80°，∴頂角為80°．故填80°．【點評】本題考查等腰三角形的性質，即等邊對等角．找出角之間的關系利用三角形內角和求角度是解答本題的關鍵．11．（4分）若△ABC≌△DEF，△ABC的周長為100，AB＝30，DF＝25，則BC長為45．【分析】根據全等三角形對應邊相等可得AC＝DF，再根據三角形的周長公式列式計算即可得解．解：∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF＝25，∵△ABC的周長為100，∴BC＝100﹣30﹣25＝45．故45．【點評】本題考查了全等三角形的性質，根據對應頂點的字母寫在對應位置上準確確定出對應邊是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．12．（4分）如圖，以△ABC的頂點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交BC邊于點D，連接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，則∠DAC的大小為34度．【分析】根據三角形的內角和得出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°，根據等腰三角形兩底角相等得出∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，進而根據角的和差得出∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°．解：∵∠B＝40°，∠C＝36°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°∵AB＝BD∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°故34．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，掌握等邊對等角是解題的關鍵．13．（4分）等腰三角形的周長為13，其中一邊長為5，則該等腰三角形的底邊長為5或3．【分析】此題分為兩種情況：5是等腰三角形的底邊或5是等腰三角形的腰．然后進一步根據三角形的三邊關系進行分析能否構成三角形．解：當5是等腰三角形的底邊時，則其腰長是（13﹣5）÷2＝4，能夠組成三角形；當5是等腰三角形的腰時，則其底邊是13﹣5×2＝3，能夠組成三角形．所以該等腰三角形的底邊為5或3，故5或3．【點評】此題考查了等腰三角形的兩腰相等的性質，同時注意三角形的三邊關系．14．（4分）如圖，已知AD＝AE，∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACE，則需要添加的條件是AB＝AC或∠B＝∠C或∠ADB＝∠E（寫一個即可）．（寫一個即可）【分析】由∠1＝∠2，可得∠BAD＝∠CAE，再根據題干中的條件，可添加角相等或邊相等即可．解：添加AB＝AC，∵∠1＝∠2，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），添加∠B＝∠C，∵∠1＝∠2，∴∠BAD＝∠CAE，又∵∠B＝∠C，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（AAS），添加∠ADB＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠BAD＝∠CAE，又∵∠ADB＝∠E，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（ASA），故AB＝AC或∠B＝∠C或∠ADB＝∠E（寫一個即可）．【點評】本題考查全等三角形的判定，熟知判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解題的關鍵．15．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9cm，DE是AB的垂直平分線，分別交AB、AC于D、E兩點．若BC＝5cm，則△BCE的周長是14cm．【分析】證明EA＝EB，EB+EC＝AC，即可解決問題．解：如圖，∵DE⊥AB，且平分AB，∴EA＝EB，EB+EC＝AC；∴△BCE的周長＝AC+BC＝9+5＝14（cm）；故14．【點評】該題主要考查了線段垂直平分線的性質及其應用問題；應牢固掌握等腰三角形、線段垂直平分線等幾何知識點的內容，并能靈活運用．16．（4分）在△ABC中，AC，BC，AB的長分別是6、8、10，點D是AB邊的中點，則CD＝5．【分析】先利用勾股定理的逆定理判斷△ABC為直角三角形，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求得CD．解：∵在△ABC中，AC，BC，AB的長分別是6、8、10，∴AB2＝102＝100，AC2+BC2＝62+82＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC為直角三角形，∵點D是斜邊AB的中點，∴，故5．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，掌握直角三角形斜邊上的中線性質是解題的關鍵．17．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線交AC于點P，PD⊥AB，垂足為D，若PD＝2，則PC＝2．【分析】依據角平分線的性質，即可得到PD＝PC，進而得出PC的長．解：∵∠C＝90°，∠ABC的平分線交AC于點P，PD⊥AB，∴PD＝PC，又∵PD＝2，∴PC＝2，故2．【點評】本題主要考查了角平分線的性質，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．18．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為斜邊AB的中點，CD＝5，BC＝6，連接CD，將△BCD沿CD翻折，使B落在點E處，點F為直角邊AC上一點，連接DF，將△ADF沿DF翻折，使點A與點E重合，則AF＝．【分析】先求出AB，AC，再由翻折可得∠B＝∠DEC，∠A＝∠DEF，CE＝BC＝6，AF＝EF，從而可證∠FEC＝90°，設AF＝EF＝x，則CF＝AC﹣AF＝8﹣x，用勾股定理即可得答案．解：∵∠ACB＝90°，點D為斜邊AB的中點，CD＝5，∴AB＝10，∵BC＝6，∴AC＝＝8，由翻折可知：∠B＝∠DEC，∠A＝∠DEF，CE＝BC＝6，AF＝EF，∵∠A+∠B＝90°，∴∠DEF+∠DEC＝90°，即∠FEC＝90°，∴EF2+CE2＝CF2，設AF＝EF＝x，則CF＝AC﹣AF＝8﹣x，∴x2+62＝（8﹣x）2，解得x＝，∴AF＝，故．【點評】本題考查直角三角形中的翻折問題，勾股定理，解題的關鍵是掌握翻折的性質，證明∠FEC＝90°，從而用勾股定理解決問題．三、解答題（本大題共有4小題，每小題8分，共32分）19．（8分）如圖，已知AC平分∠BAD，AB＝AD．求證：△ABC≌△ADC．【分析】根據角平分線的定義得到∠BAC＝∠DAC，利用SAS定理判斷即可．證明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）．【點評】本題考查的是全等三角形的判定、角平分線的定義，掌握三角形全等的SAS定理是解題的關鍵．20．（8分）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是邊AC上的高，求∠DBC的度數．【分析】根據已知可求得兩底角的度數，再根據三角形內角和定理不難求得∠DBC的度數．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝36°，∠C＝0.5×（180°﹣36°）＝72°，∵BD是邊AC上的高，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質，解答本題的關鍵是會綜合運用等腰三角形的性質和三角形的內角和定理進行答題，此題難度一般．21．（8分）如圖，已知ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分別為D，C，AC＝BD，且AE＝BF．求證：AE∥BF．【分析】證明Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），得∠A＝∠B，再由平行線的判定即可得出結論．證明：∵ED⊥AB，FC⊥AB，∴∠ADE＝∠BCF＝90°，∵AC＝BD，∴AC+CD＝BD+CD，即AD＝BC．在Rt△ADE與Rt△BCF中，，∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），∴∠A＝∠B，∴AE∥BF．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質以及平行線的判定等知識，熟練掌握平行線的判定，證明三角形全等是解題的關鍵．22．（8分）如圖，在10×10的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1（即三角形的頂點都在格點上）．（1）在圖中作出△ABC關于直線對稱的△A1B1C1；（要求：A與A1，B與B1，C與C1相對應）；（2）用無刻度直尺畫出線段AB的垂直平分線；（3）已知Q是直線l上一個動點，則QB+QC的最小值為5．【分析】（1）根據軸對稱的性質，找出點A、B、C關于直線l的對稱點A1、B1、C1，順次連接即可；（2）尋找相應的格點E、F，連接EF即可；（3）根據軸對稱的性質可得：QC1＝QC，再根據三角形三邊關系可得，當Q、B、C1三點共線時，QC+QB最小．解：（1）如圖1，△A1B1C1即為所求；（2）如圖2，直線EF即為所求作的垂直平分線；（3）連接BC1交直線l于點Q，連接CQ，如圖3，由軸對稱的性質可得：QC1＝QC，∴QC+QB＝QB+QC1，∵兩點之間線段最短，∴此時QC1+QB最小，即QC+QB最小，且最小值為線段BC1的長，∴QC+QB的最小值為．【點評】此題考查了軸對稱的性質，垂直平分線的性質以及勾股定理，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質，屬于中考常考題型．四、解答題（本大題共有2小題，每小題8分，共16分．）23．（8分）如圖，點D、E在△ABC的BC邊上，AD＝AE，AB＝AC，求證：BD＝CE．【分析】過點A作AP⊥BC于P，根據等腰三角形三線合一，即可得到答案．證明：如圖，過點A作AP⊥BC于P，∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝PC；∵AD＝AE，AP⊥BC，∴DP＝PE，∴BP﹣DP＝PC﹣PE，∴BD＝CE．【點評】本題考查等腰三角形性質：三線合一，解題的關鍵是作輔助線．24．（8分）如圖，每個小方格的邊長都為1．（1）求圖中格點△ABC的面積；（2）判斷△ABC的形狀，并證明你的結論．【分析】（1）△ABC的面積等于邊長為4的正方形面積減去三個直角三角形面積；（2）利用勾股定理求得AC2，BC2，AB2，再利用勾股定理的逆定理進行判斷即可．解：（1）．（2）△ABC是直角三角形．證明如下：由圖可知AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，AB2＝12+22＝5，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．【點評】熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．五、解答題（本大題共有2小題，第25題8分，第26題10分，共18分．）25．（8分）如圖，某社區要在居民區A，B所在的直線上建一圖書室E，并使圖書室E到本社區兩所學校C和D的距離相等．已知CA⊥AB，DB⊥AB，垂足分別為A，B，且AB＝2.5km，CA＝1.5km，BD＝1.0km．（1）請用直尺和圓規在圖中作出點E（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求圖書室E到居民區A的距離．【分析】（1）連接CD，作CD的垂直平分線交AB于點E，根據垂直平分線上的點到兩端的距離相等，點E即為所求作；（2）設圖書室E到居民區A的距為xkm，利用勾股定理建立方程求解即可．解：（1）如圖，點E即為所求作．（2）設圖書室E到居民區A的距為xkm，即AE＝xkm，EB＝（2.5﹣x）km，∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴∠CAE＝∠DBE＝90°，∵CE＝DE，∴由勾股定理得，AC2+AE2＝DB2+EB2，即1.52+x2＝（2.5﹣x）2+12，解得：x＝1，∴圖書室E到居民區A的距離為1km．【點評】本題考查了作圖﹣垂直平分線，勾股定理的應用，解答本題的關鍵首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結合對應幾何圖形的性質和基本作圖的方法作圖．26．（10分）如圖，一塊四邊形的紙板剪去△DEC，得到四邊形ABCE，測得∠BAE＝∠BCE＝90°，BC＝CE，AB＝DE．（1）能否在四邊形紙板上只剪一刀，使剪下的三角形與△DEC全等？請說明理由；（2）求∠D的度數．【分析】（1）證明△ABC≌△DEC（SAS）即可；（2）由全等三角形的性質得出AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，得出∠ACD＝∠BCE＝90°，證出△ACD是等腰直角三角形，即可得出答案．解：（1）能，沿AC剪下一刀，△ABC≌△DEC；理由如下：連接AC，如圖所示：∵∠BAE＝∠BCE＝90°，∴∠ABC+∠AEC＝180°，∵∠AEC+∠DEC＝180°，∴∠DEC＝∠B，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS）．（2）∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠D＝∠DAC＝45°．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質等知識；正確掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵．六、解答題（本題10分）27．（10分）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使AD＝DE，連接BE．請根據小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據是D．A．SSSB．ASAC．AASD．SAS（2）由“三角形的三邊關系”可求得AD的取值范圍是2＜AD＜10．解后反思：題目中出現“中點”“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．【初步運用】（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2AE，求線段BF的長．【靈活運用】（4）如圖3，在△ABC中，∠A＝90°，D為BC中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，試猜想線段BE，CF，EF三者之間的等量關系，并證明你的結論．【分析】（1）根據全等三角形的判定方法證明即可△ADC≌△EDB（SAS）解答；（2）根據全等三角形的性質結合三角形的三邊關系計算即可；（3）延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，證明△ADC≌△MDB，根據全等三角形的性質解答；（4）延長ED到點G，使DG＝ED，連結GF，GC，證明△DBE≌△DCG，得到BE＝CG，根據勾股定理解答．解：（1）在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故D；（2）∵△ADC≌△EDB，∴EB＝AC＝8，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴AB﹣BE＜2AD＜AB+BE∴2＜AD＜10，故2＜AD＜10；（3）延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，如圖2，∵AE＝EF，EF＝3，EC＝2AE，∴AC＝9，∵AD是△ABC中線，∴CD＝BD，在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB，∴FN＝CB＝12，BM＝AC＝9，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即BF＝9；（4）線段BE、CF、EF之間的等量關系為：BE2+CF2＝EF2．證明：如圖3，延長ED到點G，使DG＝ED，連結GF，GC，∵ED⊥DF，∴EF＝GF，∵D是BC的中點，∴BD＝CD，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（SAS），∴BE＝CG，∵∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∵△BDE≌△CDG，EF＝GF，∴BE＝CG，∠B＝∠GCD，∴∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°，∴Rt△CFG中，CF2+GC2＝GF2，∴BE2+CF2＝EF2．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質、三角形三邊關系以及勾股定理的應用，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．2024-2025學年江蘇省徐州市新沂市八年級上學期期中數學檢測試卷（二）一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請將正確選項前的字母填在答題卡相應位置上．1．（2分）2023亞運會在中國杭州舉行，下列圖形中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．3．（2分）下列四個數中，無理數是（）A．0. B． C． D．04．（2分）“一座姑蘇城，半卷江南詩．”2023年蘇州市文旅行業勢頭強勁，經綜合測算，國慶長假期間，我市累計接待游客1781.5萬人次，按可比口徑較2019年增長43.3%．近似數1781.5萬精確到（）A．十分位 B．百位 C．千位 D．千分位5．（2分）等腰三角形的周長是11，其中一邊長為3，則該三角形的底為（）A．3或4 B．5 C．3或5 D．36．（2分）一技術人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm7．（2分）實數a，b在數軸上的位置如圖所示，化簡+﹣的結果是（）A．0 B．﹣2 C．﹣2a D．2b8．（2分）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．△ABC的面積為70，AB＝16，BC＝12．求DE的長為（）A．4 B．5 C．10 D．289．（2分）如圖，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，則△BCD的面積為（）A．8 B．12 C．14 D．1610．（2分）如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖2的新的圖案．如果圖1中的直角三角形的長直角邊為9，短直角邊為4，圖2中的陰影部分的面積為S，那么S的值為（）A．56 B．60 C．65 D．75二、填空題：本大題共8小題，每小題2分，共16分．把答案直接填在答題卡相應位置上．11．（2分）若二次根式有意義，則x的取值范圍是．12．（2分）△ABC中，AB＝BC，且∠A＝80°，則∠B大小為°．13．（2分）比較大小：﹣13．（填“＞”“＜”或“＝”號）14．（2分）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線與AC，BC分別交于點E，D，CE＝4，△ABC的周長是25，則△ABD的周長為．15．（2分）“江南水鄉琉璃瓦，白墻墨瓦凌霄開．”凌霄在蘇州園林綠化中隨處可見．如圖，凌霄枝蔓繞著附近的樹干沿最短路線盤旋而上，如果把樹干看成圓柱體，它的底面周長是24cm，當一段枝蔓繞樹干盤旋1圈升高18cm時，這段枝蔓的長是cm．16．（2分）如圖，網格中的每個小正方形的邊長為1，A，B是格點（各小正方形的頂點是格點），則以A，B，C為等腰三角形頂點的所有格點C的位置有個．17．（2分）把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為EF．若AB＝2cm，BC＝4cm．則重疊部分△DEF的面積為cm2．18．（2分）動態幾何的問題背景往往是特殊圖形，分析過程中要把握好一般與特殊的關系，抓住變化中的不變，做到動中有靜，動靜結合．如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝6，點D是邊AC上的動點，連接DB，以DB為邊在DB的左下方作等邊△DBE，連接CE，則點D在運動過程中，線段CE長度的最小值是．三、解答題：本大題共8小題，共64分．請將解答過程寫在答題卡相應位置上，解答時應寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說明．作圖時用2B鉛筆或黑色墨水簽字筆．19．（8分）計算：（1）；（2）．20．（8分）解方程：（1）4x2﹣9＝0；（2）64（x+1）3＝﹣125．21．（6分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算術平方根是4，c是的整數部分，求3a﹣b+c的平方根．22．（8分）如圖，BE、CF是△ABC的兩條高，P是BC邊的中點，連接PE、PF、EF．（1）求證：PE＝PF；（2）若∠A＝70°，求∠EPF的度數．23．（6分）如圖，已知四邊形ABCD．請用無刻度直尺和圓規，完成下列作圖（不要求寫作法，保留作圖痕跡）：（1）在線段AC上找一點M，使得BM＝CM，請在圖①中作出點M；（2）若AB與CD不平行，且AB＝CD，請在線段AC上找一點N，使得△ABN和△CDN的面積相等，請在圖②中作出點N．24．（8分）“兒童散學歸來早，忙趁東風放紙鳶”．又到了放風箏的最佳時節．某校八年級（1）班的小明和小亮學習了“勾股定理”之后，為了測得風箏的垂直高度CE（如圖），他們進行了如下操作：①測得水平距離BD的長為8米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長為17米；③牽線放風箏的小明的身高為1.5米．（1）求風箏的垂直高度CE；（2）如果小明想風箏沿CD方向下降9米，則他應該往回收線多少米？25．（10分）我們新定義一種三角形：若一個三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個三角形為勾股高三角形，兩邊交點為勾股頂點．●特例感知①等腰直角三角形勾股高三角形（請填寫“是”或者“不是”）；②如圖1，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點，CD是AB邊上的高．若BD＝2AD＝2，試求線段CD的長度．●深入探究如圖2，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點且CA＞CB，CD是AB邊上的高．試探究線段AD與CB的數量關系，并給予證明；●推廣應用如圖3，等腰△ABC為勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD為AB邊上的高，過點D向BC邊引平行線與AC邊交于點E．若CE＝a，試求線段DE的長度．26．（10分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，過點A作射線l∥BC，若點P從點A出發，以每秒2cm的速度沿射線l運動，設運動時間為t秒（t＞0），作∠PCB的平分線交射線l于點D，記點D關于射線CP的對稱點是點E，連接AE、PE、BP．（1）求證：PC＝PD；（2）當△PBC是等腰三角形時，求t的值；（3）是否存在點P，使得△PAE是直角三角形，如果存在，請直接寫出t的值，如果不存在，請說明理由．

答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請將正確選項前的字母填在答題卡相應位置上．1．（2分）2023亞運會在中國杭州舉行，下列圖形中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的概念解答即可．解：A、圖形是軸對稱圖形，符合題意；B、圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；C、圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；D、圖形不是軸對稱圖形，不符合題意．故選：A．【點評】本題考查的是軸對稱圖形，熟知如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱是解題的關鍵．2．（2分）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據最簡二次根式的定義逐個判斷即可．解：A．的被開方數中的因數不是整數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；B．不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；C．是最簡二次根式，故本選項符合題意；D．的被開方數中含有能開方的因數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關鍵，滿足下列兩個條件的二次根式叫最簡二次根式：①被開方數中的因數是整數，因式是整式，②被開方數中不含有能開得盡方的因數和因式．3．（2分）下列四個數中，無理數是（）A．0. B． C． D．0【分析】無理數就是無限不循環小數．理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱．即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數．由此即可判定選擇項．解：A．0.是循環小數，屬于有理數，故本選項不合題意；B．是分數，屬于有理數，是故本選項不符合題意；C．無理數，故本選項合題意；D．0是整數，屬于有理數，故本選項不合題意；故選：C．【點評】本題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：π，2π等；開方開不盡的數；以及像0.1010010001…，等有這樣規律的數．4．（2分）“一座姑蘇城，半卷江南詩．”2023年蘇州市文旅行業勢頭強勁，經綜合測算，國慶長假期間，我市累計接待游客1781.5萬人次，按可比口徑較2019年增長43.3%．近似數1781.5萬精確到（）A．十分位 B．百位 C．千位 D．千分位【分析】根據近似數和有效數字的方法進行解題即可．解：近似數1781.5萬精確到千位．故選：C．【點評】本題考查近似數和有效數字，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．5．（2分）等腰三角形的周長是11，其中一邊長為3，則該三角形的底為（）A．3或4 B．5 C．3或5 D．3【分析】由于已知的長為3的邊，沒有說明是底還是腰，所以要分類討論，最后要根據三角形三邊關系定理來驗證所求的結果是否合理．解：當腰長為3時，底長為：11﹣3×2＝5；3+3＞5，能構成三角形；當底長為3時，腰長為：（11﹣3）÷2＝4；3+4＞4，能構成三角形．故底邊長是5或3．故選：C．【點評】本題考查等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論．6．（2分）一技術人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【分析】根據圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計算出CD的長．解：由圖可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），點D為線段AB的中點，∴CD＝AB＝3cm，故選：B．【點評】本題考查直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．7．（2分）實數a，b在數軸上的位置如圖所示，化簡+﹣的結果是（）A．0 B．﹣2 C．﹣2a D．2b【分析】利用已知條件確定出a+1，b﹣1，a﹣b的符號，再利用二次根式的性質和絕對值的意義化簡運算即可．解：由題意得：a＜﹣1，b＞1，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+b﹣1﹣（b﹣a）＝﹣a﹣1+b﹣1﹣b+a＝﹣2．故選：B．【點評】本題主要考查了二次根式的性質，絕對值的意義，正確利用上述法則與性質解答是解題的關鍵．8．（2分）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．△ABC的面積為70，AB＝16，BC＝12．求DE的長為（）A．4 B．5 C．10 D．28【分析】過點D作DF⊥BC于F，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE＝DF，再利用△ABC的面積列出方程求解即可．解：如圖，過點D作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DE＝DF，，所以，14DE＝70，解得DE＝5．故選：B．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，熟記性質并利用三角形的面積列出方程是解題的關鍵．9．（2分）如圖，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，則△BCD的面積為（）A．8 B．12 C．14 D．16【分析】由等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，即可求解．解：作AE⊥BC于E，DF⊥CB交CB延長線于F，∵AB＝AC，∴BE＝CE＝4，∵∠EAB+∠ABE＝∠DBF+∠ABE＝90°，∴∠EAB＝∠DBF，∵∠AEB＝∠BFD＝90°，AB＝DB，∴△AEB≌△BFD（AAS），∴DF＝BE＝4，∴S△DCB＝CB?DF，∴S△DCB＝×8×4＝16，故選：D．【點評】本題考查等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，關鍵是作輔助線構造全等三角形．10．（2分）如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖2的新的圖案．如果圖1中的直角三角形的長直角邊為9，短直角邊為4，圖2中的陰影部分的面積為S，那么S的值為（）A．56 B．60 C．65 D．75【分析】如解答圖，易得BD＝5，則圖中陰影部分是由中間的小正方形和四個全等三角形組成的，利用三角形和正方形的面積公式計算即可．解：如圖，由題意可知，AB＝CD＝4，BC＝9，∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5，則中間小正方形的面積為5×5＝25，小正方形的外陰影部分的4S△ABD＝4×＝40，∴陰影部分的面積為25+40＝65．故選：C．【點評】本題主要考查勾股定理中的趙爽弦圖模型、三角形和正方形面積公式，將圖中陰影部分的面積分割成一個正方形的面積加上四個全等三角形的面積是解題關鍵．二、填空題：本大題共8小題，每小題2分，共16分．把答案直接填在答題卡相應位置上．11．（2分）若二次根式有意義，則x的取值范圍是x≥．【分析】根據被開方數是非負數列不等式求解即可．解：根據題意得，2x﹣3≥0，解得x≥．故x≥．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，利用被開方數是非負數列不等式是解題的關鍵．12．（2分）△ABC中，AB＝BC，且∠A＝80°，則∠B大小為20°．【分析】先根據等邊對等角得出∠C＝∠A＝80°，再利用三角形內角和定理即可求出∠B的度數．解：∵在△ABC中，AB＝BC，∠A＝80°，∴∠C＝∠A＝80°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣2×80°＝20°．故20．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的兩個底角相等，三角形內角和等于180°是解決問題的關鍵．13．（2分）比較大小：﹣1＞3．（填“＞”“＜”或“＝”號）【分析】估算出的大小，即可判斷出所求．解：∵＜＜，∴4＜＜5，∴3＜﹣1＜4，∴﹣1＞3，故＞．【點評】本題考查了實數的大小比較，弄清無理數大小估算方法是解題的關鍵．14．（2分）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線與AC，BC分別交于點E，D，CE＝4，△ABC的周長是25，則△ABD的周長為17．【分析】由線段垂直平分線的性質得到DA＝DC，AC＝2CE＝8，由△ABC的周長＝25，得到AB+BC＝17，即可得到△ABD的周長＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝17．解：∵DE垂直平分線AC，∴DA＝DC，AC＝2CE，∵CE＝4，∴AC＝8∵△ABC的周長＝AB+BC+AC＝25，∴AB+BC＝17，∴△ABD的周長＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝17．故17．【點評】本題考查線段垂直平分的性質，關鍵是由垂直平分的性質推出AB+BC＝17．15．（2分）“江南水鄉琉璃瓦，白墻墨瓦凌霄開．”凌霄在蘇州園林綠化中隨處可見．如圖，凌霄枝蔓繞著附近的樹干沿最短路線盤旋而上，如果把樹干看成圓柱體，它的底面周長是24cm，當一段枝蔓繞樹干盤旋1圈升高18cm時，這段枝蔓的長是30cm．【分析】根據題意畫出圖形，利用圓柱側面展開圖，結合勾股定理求出即可．解：由題意可得，展開圖中AB＝24cm，BC＝18cm，在Rt△ABC中，AC＝＝＝30（cm）．∴這段枝蔓的長是30cm．故30．【點評】此題主要考查了平面展開﹣最短路徑問題，利用勾股定理得出是解題關鍵．16．（2分）如圖，網格中的每個小正方形的邊長為1，A，B是格點（各小正方形的頂點是格點），則以A，B，C為等腰三角形頂點的所有格點C的位置有4個．【分析】由勾股定理求出AB＝＝，分三種情況討論：①當A為頂角頂點時；②當B為頂角頂點時；③當C為頂角頂點時；即可得出結果．解：由勾股定理得：AB＝＝，分三種情況：如圖所示：①當A為頂角頂點時，符合△ABC為等腰三角形的C點有1個；②當B為頂角頂點時，符合△ABC為等腰三角形的C點有2個；③當C為頂角頂點時，符合△ABC為等腰三角形的C點有1個；綜上所述：以A，B，C為等腰三角形頂點的所有格點C的位置有1+2+1＝4（個）；故4．【點評】本題考查了等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性質；熟練掌握等腰三角形的判定，分情況討論是解決問題的關鍵．17．（2分）把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為EF．若AB＝2cm，BC＝4cm．則重疊部分△DEF的面積為cm2．【分析】由矩形的性質得AD＝BC＝4cm，CD＝AB＝2cm，∠A＝90°，再由折疊的性質得MD＝AB＝2cm，∠M＝∠A＝90°，EM＝AE，設AE＝xcm，則ME＝xcm，DE＝（4﹣x）cm，然后在Rt△MDE中，由勾股定理得出方程，解方程，進而得出DE的長，即可解決問題．解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝2cm，BC＝4cm，∴AD＝BC＝4cm，CD＝AB＝2cm，∠A＝90°，由折疊的性質得：MD＝AB＝2cm，∠M＝∠A＝90°，EM＝AE，設AE＝xcm，則ME＝xcm，DE＝（4﹣x）cm，在Rt△MDE中，由勾股定理得：ME2+MD2＝ED2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴AE＝（cm），∴DE＝AD﹣AE＝4﹣＝（cm），∴△DEF的面積＝DE?CD＝××2＝（cm2），故．【點評】此題考查了翻折變換的性質、矩形的性質、勾股定理以及三角形面積等知識，熟練掌握翻折變換的性質和矩形的性質，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．18．（2分）動態幾何的問題背景往往是特殊圖形，分析過程中要把握好一般與特殊的關系，抓住變化中的不變，做到動中有靜，動靜結合．如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝6，點D是邊AC上的動點，連接DB，以DB為邊在DB的左下方作等邊△DBE，連接CE，則點D在運動過程中，線段CE長度的最小值是3．【分析】取AB的中點Q，連接CQ，DQ．由“SAS”可證△EBC≌△DBQ，推出EC＝DQ，推出當QD⊥AC時，EC的值最小．解：如圖，取AB的中點Q，連接CQ，DQ．則BQ＝AQ＝6，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠CBQ＝60°，∵BQ＝AQ＝6，∴CQ＝BQ＝AQ＝6，∴△BCQ是等邊三角形，∴BC＝BQ，∵∠DBQ＝∠CBQ＝60°，∴∠EBC＝∠DBQ，在△EBC和△DBQ中，，∴△EBC≌△DBQ（SAS），∴EC＝DQ，∴當QD⊥AC時，EC的值最小，在Rt△AQD中，AQ＝6，∠A＝30°，∴DQ＝AQ＝3，∴CE的最小值為3，故3．【點評】本題考查旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題．三、解答題：本大題共8小題，共64分．請將解答過程寫在答題卡相應位置上，解答時應寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說明．作圖時用2B鉛筆或黑色墨水簽字筆．19．（8分）計算：（1）；（2）．【分析】（1）先計算二次根式、絕對值和立方根，再計算加減；（2）先運用乘法分配律進行運算，再合并同類二次根式．解：（1）＝3+﹣1﹣3＝﹣1；（2）＝﹣＝6﹣＝5．【點評】此題考查了實數的混合運算能力，關鍵是能準確確定運算順序和方法．20．（8分）解方程：（1）4x2﹣9＝0；（2）64（x+1）3＝﹣125．【分析】（1）利用平方根的定義解方程即可；（2）利用立方根的定義解方程即可；解：（1）原方程整理得：x2＝，則x＝±；（2）原方程整理得：（x+1）3＝﹣，則x+1＝﹣，解得：x＝﹣．【點評】本題考查利用平方根及立方根解方程，熟練掌握相關定義是解題的關鍵．21．（6分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算術平方根是4，c是的整數部分，求3a﹣b+c的平方根．【分析】利用立方根的意義、算術平方根的意義、無理數的估算方法，求出a、b、c的值，代入代數式求出值后，進一步求得平方根即可．解：∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算術平方根是4，∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2，∵c是的整數部分，∴c＝3，∴3a﹣b+c＝16，3a﹣b+c的平方根是±4．【點評】此題考查立方根的意義、算術平方根的意義、無理數的估算方法、平方根的意義、代數式求值等知識點，讀懂題意，掌握解答順序，正確計算即可．22．（8分）如圖，BE、CF是△ABC的兩條高，P是BC邊的中點，連接PE、PF、EF．（1）求證：PE＝PF；（2）若∠A＝70°，求∠EPF的度數．【分析】（1）根據垂直定義可得∠BFC＝∠BEC＝90°，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質可得BP＝FP＝BC，CP＝EP＝BC，從而利用等式性質可得PE＝PF；（2）根據三角形內角和定理可得∠ABC+∠ACB＝110°，再利用（1）的結論可得FP＝BP，EP＝CP，然后利用等腰三角形的性質可得∠ABC＝∠BFP，∠ACB＝∠CEP，從而可得∠BFP+∠CEP＝110°，進而利用三角形內角和定理可得∠FPB+∠EPC＝140°，最后利用平角定義進行計算即可解答．（1）證明：∵BE、CF是△ABC的兩條高，∴∠BFC＝∠BEC＝90°，∵P是BC邊的中點，∴BP＝FP＝BC，CP＝EP＝BC，∴PE＝PF；（2）解：∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，由（1）得：PE＝PF，EP＝CP，∴∠ABC＝∠BFP，∠ACB＝∠CEP，∴∠BFP+∠CEP＝∠ABC+∠ACB＝110°，∴∠FPB+∠EPC＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BFP+∠CEP）＝140°，∴∠EPF＝180°﹣（∠FPB+∠EPC）＝40°，∴∠EPF的度數為40°．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質，以及等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵．23．（6分）如圖，已知四邊形ABCD．請用無刻度直尺和圓規，完成下列作圖（不要求寫作法，保留作圖痕跡）：（1）在線段AC上找一點M，使得BM＝CM，請在圖①中作出點M；（2）若AB與CD不平行，且AB＝CD，請在線段AC上找一點N，使得△ABN和△CDN的面積相等，請在圖②中作出點N．【分析】（1）作出BC的垂直平分線，交AC于點M，點M即為所求；（2）延長BA，CD相交于點G，作∠BGC的角平分線，交AC于點N，點N即為所求．解：（1）如圖①，以點B和點C為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧相交于點E和點F，連接EF，交AC于點M，點M即為所求；（2）如圖②，延長BA，CD相交于點G，作∠BGC的角平分線，交AC于點N，點N即為所求；過點N作NH⊥AB于點H，NI⊥CD于點I，∵CN平分∠BGC，NH⊥AB，NI⊥CD，∴NH＝NI，∵AB＝CD，∴△ABN和△CDN的面積相等．∴點N即為所求．【點評】此題考查了作圖﹣復雜作圖，平行線之間的距離等知識點，正確理解線段垂直平分線的性質及角平分線的性質是解題的關鍵．24．（8分）“兒童散學歸來早，忙趁東風放紙鳶”．又到了放風箏的最佳時節．某校八年級（1）班的小明和小亮學習了“勾股定理”之后，為了測得風箏的垂直高度CE（如圖），他們進行了如下操作：①測得水平距離BD的長為8米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長為1