1.2.1矩形及其性質第一章四邊形北師大版數學九年級上冊授課教師：********班級：********時間：********教學目標知識與技能理解四邊形的定義、分類及基本性質。掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質與判定方法，能進行相關計算和證明。了解梯形的概念及等腰梯形的性質。過程與方法通過觀察、操作、猜想、證明等活動，經歷特殊四邊形的探究過程，培養幾何直觀與邏輯推理能力。體會類比、轉化等數學思想（如將四邊形問題轉化為三角形問題）。情感態度與價值觀感受四邊形在生活中的廣泛應用，增強數學應用意識。培養嚴謹的幾何證明習慣和合作交流能力。二、教學重難點重點：平行四邊形的性質與判定，特殊四邊形的關系及性質。難點：各種四邊形判定條件的靈活運用，幾何證明的邏輯嚴密性。三、教學過程1.情境導入（8分鐘）活動1：生活中的四邊形展示圖片（如地磚、衣架、金字塔側面），提問：“這些物體中包含哪些四邊形？它們的形狀有何特點？”活動2：四邊形分類游戲提供若干幾何圖形卡片（平行四邊形、矩形、梯形等），學生分類并說明依據。引出課題：四邊形的奧秘。2.探究新知（30分鐘）活動1：四邊形的基本概念定義：由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形。內角和：通過分割成三角形，推導四邊形內角和為360°

。外角和：無論邊數多少，外角和恒為360°

（類比三角形）。活動2：平行四邊形的性質與判定探究發現：用木條制作平行四邊形，觀察對邊、對角關系。猜想并證明：平行四邊形對邊相等、對角相等、對角線互相平分。判定方法：兩組對邊分別平行/相等/對角相等/對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。例題演示：已知平行四邊形ABCD中，AB=5cm，BC=3cm，求周長?；顒?：特殊四邊形的關系對比學習：圖形

特殊性質

判定條件矩形

四個角為直角，對角線相等

有一個角是直角的平行四邊形菱形

四邊相等，對角線互相垂直

一組鄰邊相等的平行四邊形正方形

兼具矩形和菱形的所有性質

既是矩形又是菱形的四邊形動態演示：用幾何畫板展示四邊形的變形過程，理解“矩形、菱形是特殊的平行四邊形”?；顒?：梯形與等腰梯形定義：只有一組對邊平行的四邊形叫梯形，兩腰相等的梯形叫等腰梯形。性質探究：等腰梯形同一底上的角相等，對角線相等。3.例題解析（10分鐘）例題1：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，已知AC=10cm，BD=6cm，求AO和BO的長度。分析：平行四邊形對角線互相平分，AO=5cm，BO=3cm。例題2：已知菱形ABCD的對角線AC=8cm，BD=6cm，求菱形的面積和周長。步驟：面積=對角線乘積的一半=24cm2

；邊長=5cm，周長=20cm。例題3：判斷正誤：對角線相等的四邊形是矩形。（×，需“平行四邊形”前提）對角線互相垂直的四邊形是菱形。（×，需“平行四邊形”前提）4.鞏固練習（15分鐘）基礎題：教材習題（四邊形內角和計算、平行四邊形性質應用）。拓展題：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，AD=4cm，BC=8cm，求腰長AB。小組合作：設計“四邊形關系圖”，用箭頭表示各種四邊形的包含關系。5.課堂小結（7分鐘）學生總結：四邊形的分類及性質。平行四邊形與特殊四邊形的判定方法。教師強調：證明四邊形時，優先考慮定義法或判定定理。注意“對角線”在判定中的關鍵作用?；ツ婷}、互逆定理教案一、教學目標知識與技能目標理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。過程與方法目標通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。情感態度與價值觀目標培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。二、教學重難點重點互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。能正確寫出一個命題的逆命題。難點判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。用邏輯推理的方法證明命題的真假。三、教學方法講授法、討論法、練習法相結合四、教學過程（一）導入新課（5分鐘）展示一些簡單的命題，如“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”，“如果a=b，那么a2=b2”。引導學生分析這些命題的題設和結論。提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題——互逆命題、互逆定理。（二）講授新課（25分鐘）互逆命題給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。舉例說明：如原命題“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”。讓學生進一步理解互逆命題的概念。組織學生進行小組討論，每個小組寫出3-5個命題，并交換寫出它們的逆命題。命題真假的判斷引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”是真命題，而它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流?；ツ娑ɡ斫o出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。舉例說明：如“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。（三）例題講解（15分鐘）例1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的對應角相等。（3）等腰三角形的兩個底角相等。分析：（1）逆命題為“如果ab=0，那么a=0”，這是假命題，因為當b=0時，ab=0，a不一定為0。（2）逆命題為“對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命題為“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。例2：證明命題“如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”是真命題。分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC。證明：作∠BAC的平分線AD，交BC于點D。因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共邊），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）課堂練習（10分鐘）寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）如果x=2，那么x2=4。（2）直角三角形的兩個銳角互余。（3）對頂角相等。判斷下列說法是否正確：（1）每個命題都有逆命題。（2）每個定理都有逆定理。（3）真命題的逆命題一定是真命題。（4）假命題的逆命題一定是假命題。（五）課堂小結（5分鐘）與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。（六）布置作業（5分鐘）課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。五、教學反思在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解1、通過自主探究掌握矩形的概念和矩形的性質定理，會用矩形的性質定理進行推導證明，發展學生的分析能力.2.了解矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，經歷探索矩形的概念和性質的過程，發展學生合情推理的意識.3.在觀察、測量、猜想、歸納、推理的過程中，體驗數學活動充滿探索性和創造性，感受證明的必要性，培養嚴謹的推理能力，體會邏輯推理的思維價值..舊知回顧1.菱形的性質有哪些？2.菱形的判定方法有哪些？（菱形具有平行四邊形的所有性質；菱形的四邊都相等；菱形的對角線互相垂直平分，且每條對角線平分一組對角；菱形是軸對稱圖形，對稱軸有兩條，即兩條對角線所在直線；菱形是中心對稱圖形）（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；四條邊相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直平分的四邊形是菱形）幾何圖形在我們生活中無處不在，請同學們從下面這些圖片中尋找我們最熟悉的幾何圖形？四個學生正在做投圈游戲,他們分別站在一個矩形的四個頂點處，目標物放在對角線的交點處,這樣的隊形對每個人公平嗎?為什么？利用幾何畫板的平行四邊形進行演示，使平行四邊形的一個內角變化，請同學們注意觀察.矩形

怎樣由平行四邊形得到矩形？1.請同學們閱讀課本11-14頁.2.請同學們拿出一張矩形紙片出來，我們來動手試試看.用矩形紙片

折一折，回答下列問題：①矩形是軸對稱圖形嗎?如果是，它有幾條對稱軸?

對稱軸之間有什么位置關系?自主探究

（10min）矩形是軸對稱圖形；有兩條對稱軸；對稱軸是兩條對邊的垂直平分線，兩條對稱軸互相垂直)②請同學們從邊、角、對角線方面觀察或度量，

猜想矩形的性質.自主探究

（10min）(邊：對邊平行且相等(與平行四邊形相同),鄰邊互相垂直；角：四個角是直角；對角線：相等且互相平分)如圖，一張矩形紙片ABCD，畫出兩條對角線，且交于點O，沿著對角線AC剪去一半.問題：在Rt△ABC中，BO的長度與斜邊AC有什么關系？小組討論（4min）（學生觀察、思考后發現：BO=AC.由此歸納出直角三角形的一個性質定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)

小組展示我提問我回答我補充我質疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越優秀教師講評【知識點1】矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.注意：矩形定義的兩個要素是①是平行四邊形；②有一個角是直角.即矩形首先是一個平行四邊形，然后增加一個角是直角這個特殊條件.重點教師講評【知識點2】矩形的性質矩形的性質包括四個方面：①矩形具有平行四邊形的所有性質；②矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸；③矩形的四個角都是直角；④矩形的對角線相等.難點教師講評注意：(1)矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過對稱中心

的任意直線可將矩形分成全等的兩部分.

(2)矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸(通過對邊中點的直線).對

稱軸的交點就是對角線的交點(即對稱中心).

(3)矩形具有平行四邊形的所有性質.矩形的性質可以從三個方面看：

從邊看，矩形對邊平行且相等；從角看，矩形四個角都是直角；

從對角線看，矩形的對角線互相平分且相等.教師講評【知識點3】直角三角形斜邊上的中線的性質直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.注意：(1)直角三角形斜邊上的中線的性質是矩形性質的推論.運用該性質的前提是在直角三角形中，對一般三角形不可使用.(2)已學過的直角三角形性質有①直角三角形兩個銳角互余；②直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；③在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.(3)直角三角形斜邊上的中線性質可以用來解決有關線段倍分的問題.難點D返回1．[2023朔州期末]兩個矩形的位置如圖所示，若∠1＝115°，則∠2＝(

) A．50°B．55°C．60°

D．65° 返回B2．一技術人員用刻度尺(單位：cm)測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A，B對應的刻度為1，7，則CD＝(

) A．3.5cmB．3cmC．4.5cmD．6cm D返回3．[2023上海黃浦區期中]如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點M在邊BC上，若MA平分∠DMB，則CM的長是(

) 4．返回數學家吳文俊院士非常重視古代數學家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等(如圖所示)”這一推論，他從這一推論出發，利用“出入相補”原理復原了《海島算經》九題古證，根據圖形可知他得出的這個推論指(

) A．S矩形ABMN＝S矩形MNDC