立體幾何與空間向量第七章

第6講立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直課標要求考情概覽1.理解直線的方向向量及平面的法向量.2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關系.3.能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理考向預測：從近三年高考情況來看，本講主要考查空間直角坐標系的建立及空間向量坐標的運算能力及應用能力，有時也以探索論證的形式出現.試題以解答題的形式呈現，難度中等.學科素養：主要考查直觀想象和邏輯推理的素養欄目導航01基礎整合

自測糾偏02重難突破

能力提升03配套訓練基礎整合自測糾偏11.直線的方向向量與平面的法向量

直線的方向向量如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l______________，則稱此向量a為直線l的方向向量

平面的法向量直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量

平行或共線

2.空間位置關系的向量表示

位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝km(k∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝km(k∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝0【特別提醒】

方向向量和法向量均不為零且不唯一.1.(2023年海安一模)設向量a＝(3，5，2)，b＝(－2，1，3)，當數m與n滿足下列哪種關系時，向量ma＋nb與x軸垂直(

)A.3m＝2n B.3m＝nC.m＝2n D.m＝nA2.(2023年徐州銅山區期中)已知直線l的方向向量為a＝(1，1，2)，平面α的法向量為n＝(2，2，4)，則(

)A.l∥α

B.l⊥αC.l?α

D.l與α相交3.(2023年寧德期中)已知平面α的一個法向量為(2，－1，7)，平面β的一個法向量為(1，9，1)，則平面α和平面β的位置關系是(

)A.平行

B.垂直C.相交但不垂直 D.重合BB

ABC5.設μ，v分別是兩個不同平面α，β的法向量，μ＝(－2，2，5)，當v＝(3，－2，2)時，α與β的位置關系為

；當v＝(4，－4，－10)時，α與β的位置關系為

.

α⊥βα∥β

重難突破能力提升2利用空間向量證明平行問題

例1如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分別是線段PA，PD，CD的中點.求證：(1)PB∥平面EFG；(2)平面EFG∥平面PBC.

【解題技巧】用向量證明平行的方法：(1)線線平行：證明兩直線的方向向量共線.(2)線面平行：①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內某直線的方向向量共線.(3)面面平行：①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉化為線面平行、線線平行問題.【變式精練】1.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點.求證：PQ∥RS.

利用空間向量證明垂直問題

示通法用空間向量證明垂直問題時，在建立恰當的空間直角坐標系的基礎上，利用空間坐標、空間向量表示點、線，把立體幾何的垂直問題轉化為向量的數量積問題.考向1證線面垂直例2-1如圖，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點.求證：AB1⊥平面A1BD.

考向2證面面垂直例2-1如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)求證：AP⊥BC；(2)若M是線段AP上一點，且AM＝3，試證明平面AMC⊥平面BMC.

【解題技巧】用向量證明垂直問題的方法：(1)利用已知的線面垂直關系構建空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算.其中靈活建立空間直角坐標系是解題的關鍵.(2)證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內不共線的兩個向量垂直即可，當然，也可證直線的方向向量與平面法向量平行；證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可.【變式精練】2.如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC