2025屆小升初奧數講義全套（小學奧數的基本分類）一、工程問題顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關的數學問題。其實，這類題目的內容已不僅僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等許多內容。在分析解答工程問題時，一般常用的數量關系式是：工作總量=工作效率×工作時間，工作時間=工作總量÷工作效率，工作效率=工作總量÷工作時間。【工作總量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數1表示，也可以是部分工作量，常用分數表示。例如工程的一半表示成..............工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量。單位時間的選取，根據題目需要，可以是天，也可以是時、分、秒等。工作效率的單位是一個復合單位，表示成“工作量/天”，或“工作量/時”等。但在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位。】小試牛刀甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別需要20小時，16小時.丙水管單獨開，排一池水要10小時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管，5小時后，再打開排水管丙，問水池注滿還是要多少小時？2．修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完成，乙隊需要30天完成。如果兩隊合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來的五分之四，乙隊工作效率只有原來的十分之九。現在計劃16天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數盡可能少，那么兩隊要合作幾天？3．一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙、丙合做需5小時完成。現在先請甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成。乙單獨做完這件工作要多少小時？一項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好用整數天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，那么完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做這項工程需17天完成，甲單獨做這項工程要多少天完成？5．師徒倆人加工同樣多的零件。當師傅完成了1/2時，徒弟完成了120個。當師傅完成了任務時，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個？7．一個池上裝有3根水管。甲管為進水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完。現在先打開甲管，當水池水剛溢出時，打開乙,丙兩管用了18分鐘放完，當打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水放完？8．某工程隊需要在規定日期內完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要超過規定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，問規定日期為幾天？9．兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2小時，而點完一根細蠟燭要1小時，一天晚上停電，小芳同時點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來點了，小芳將兩支蠟燭同時熄滅，發現粗蠟燭的長是細蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘？二．雞兔同籠問題1、基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來。2、基本思路：①假設，即假設某種現象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）；②假設后，發生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原因；④再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。3、基本公式：①把所有雞假設成兔子：雞數＝（兔腳數×總頭數－總腳數）÷（兔腳數－雞腳數）②把所有兔子假設成雞：兔數＝（總腳數一雞腳數×總頭數）÷（兔腳數一雞腳數）4、關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。5、解“雞兔同籠問題”的常用方法是“替換法”、“轉換法”、“置換法”等。通常把其中一個未知數暫時當作另一個未知數，然后根據已知條件進行假設性的運算，直到求出結果。【概括起來，解“雞兔同籠問題”的基本公式是】：雞數＝（每只兔腳數×雞兔總數－實際腳數）÷（每只兔子腳數－每只雞的腳數）兔數＝雞兔總數－雞數小試牛刀1、有若干只雞和兔子，它們共有88個頭，244只腳，問雞、兔各多少只？2、蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。現在這三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀，問每種小蟲各多少只？3、每一輛貨車運輸2000只玻璃瓶，運費按到達時完好的瓶子數計算，每只2角，如有破損，破損的不給運費，還要每只賠償1元，結果得到運費379.6元，問這次搬運中玻璃瓶破損了幾只？4、六年級甲班有50個同學向汶川災區捐款共計2010元，其中捐50元的人有30人，其他同學捐20元或者30元，問捐20元和30元的同學各多少人？5、學校組織新年文藝晚會，用作獎品的鉛筆、圓珠筆、鋼筆共232支，共花了300元，其中鉛筆數量是圓珠筆的4倍。已知鉛筆每支0.6元，圓珠筆每支2.7元，鋼筆每支6.3元，問三種筆個多少支？6、從甲到乙全長45千米，有上坡路、平路、下坡路，李強上坡速度是每小時3千米，平路上速度是每小時5千米，下坡速度是每小時6千米。從甲到乙，李強走了10小時，從乙到甲李強走了11小時，問甲到乙上坡、平路、下坡路各有多少千米？7、有堆硬幣，面值為1分、2分和5分三種，其中1分硬幣是2分硬幣的11倍，已知這堆硬幣的幣值總和是1元，問5分有多少枚？8、有50名同學外出游玩，乘電車前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地鐵前往每人6元，這些同學共有車費110元，問其中乘小巴的共有多少人？9、雞與兔共100只,雞的腿數比兔的腿數少28條,問雞與兔各有幾只?三．數字數位問題123456789.....個自然數依次寫下來得到一個多位數123456789.....2005,這個多位數除以9余數是多少?...和B是小于100的兩個非零的不同自然數。求A+B分之A-B的最小值...A.B.CA.B.C都是非0自然數,A/2+B/4+C/16的近似值市6.4,那么它的準確值是多少?4．一個三位數的各位數字之和是17.其中十位數字比個位數字大1.如果把這個三位數的百位數字與個位數字對調,得到一個新的三位數,則新的三位數比原三位數大198,求原數.5．一個兩位數,在它的前面寫上3,所組成的三位數比原兩位數的7倍多24,求原來的兩位數.6．把一個兩位數的個位數字與十位數字交換后得到一個新數,它與原數相加,和恰好是某自然數的平方,這個和是多少?7．一個六位數的末位數字是2,如果把2移到首位,原數就是新數的3倍,求原數.答案為857148．有一個四位數,個位數字與百位數字的和是12,十位數字與千位數字的和是9,如果個位數字與百位數字互換,千位數字與十位數字互換,新數就比原數增加2376,求原數.9．有一個兩位數,如果用它去除以個位數字,商為9余數為6,如果用這個兩位數除以個位數字與十位數字之和,則商為5余數為3,求這個兩位數.10．如果現在是上午的10點21分,那么在經過28799...99(一共有20個9)分鐘之后的時間將是幾點幾分?四．排列組合問題1、排列：一般地，從個不同的元素中取出()個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．【根據排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同．如果兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列．】2、排列的基本問題是計算排列的總個數．從個不同的元素中取出()個元素的所有排列的個數，叫做從個不同的元素的排列中取出個元素的排列數，我們把它記做．根據排列的定義，做一個元素的排列由個步驟完成：步驟：從個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有種方法；步驟：從剩下的()個元素中任取一個元素排在第二位，有()種方法；……步驟：從剩下的個元素中任取一個元素排在第個位置，有(種)方法；3、【由乘法原理，從個不同元素中取出個元素的排列數是，即，這里，，且等號右邊從開始，后面每個因數比前一個因數小，共有個因數相乘。】4、組合：一般地，從個不同元素中取出個()元素組成一組不計較組內各元素的次序，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．【從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關，而組合與順序無關．如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合．】5、從個不同元素中取出個元素()的所有組合的個數，叫做從個不同元素中取出個不同元素的組合數．記作。6、一般地，求從個不同元素中取出的個元素的排列數可分成以下兩步：第一步：從個不同元素中取出個元素組成一組，共有種方法；第二步：將每一個組合中的個元素進行全排列，共有種排法．根據乘法原理，得到．因此，組合數．這個公式就是組合數公式．★小試牛刀1．有五對夫婦圍成一圈，使每一對夫婦的夫妻二人動相鄰的排法有（）A768種B32種C24種D2的10次方中2若把英語單詞hello的字母寫錯了,則可能出現的錯誤共有()A119種B36種C59種D48種3、小新、阿呆等七個同學照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（1）七個人排成一排；（2）七個人排成一排，小新必須站在中間.（3）七個人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.（4）七個人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.（5）七個人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.（6）七個人戰成兩排，前排三人，后排四人.（7）七個人戰成兩排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。4、用1、2、3、4、5、6可以組成多少個沒有重復數字的個位是5的三位數？用1、2、3、4、5這五個數字可組成多少個比大且百位數字不是的無重復數字的五位數？6、用0到9十個數字組成沒有重復數字的四位數；若將這些四位數按從小到大的順序排列，則5687是第幾個數？用、、、、這五個數字，不許重復，位數不限，能寫出多少個3的倍數？用1、2、3、4、5、6六張數字卡片，每次取三張卡片組成三位數，一共可以組成多少個不同的偶數？某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數字，只記得是由四個非數碼組成，且四個數碼之和是，那么確保打開保險柜至少要試幾次？10、兩對三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個人都不與自己的同胞兄妹相鄰，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少種不同的坐法？已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對乙說：“你當然不會是最差的．”從這個回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？12、名男生，名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法：[1]甲不在中間也不在兩端；[2]甲、乙兩人必須排在兩端；[3]男、女生分別排在一起；[4]男女相間一臺晚會上有個演唱節目和個舞蹈節目．求：[1]當個舞蹈節目要排在一起時，有多少不同的安排節目的順序？[2]當要求每個舞蹈節目之間至少安排個演唱節目時，一共有多少不同的安排節目的順序？13、[1]從1，2，…，8中任取3個數組成無重復數字的三位數，共有多少個？（只要求列式）[2]從8位候選人中任選三位分別任團支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？[3]3位同學坐8個座位，每個座位坐1人，共有幾種坐法？[4]8個人坐3個座位，每個座位坐1人，共有多少種坐法？[5]一火車站有8股車道，停放3列火車，有多少種不同的停放方法？[6]8種不同的菜籽，任選3種種在不同土質的三塊土地上，有多少種不同的種法？某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個階段進行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進行單循環賽；第二階段：將8個小組產生的前2名共16人再分成個小組，每組人，分別進行單循環賽；第三階段：由4個小組產生的個第名進行場半決賽和場決賽，確定至名的名次．問：整個賽程一共需要進行多少場比賽？由數字1，2，3組成五位數，要求這五位數中1，2，3至少各出現一次，那么這樣的五位數共有________個。(2007年“迎春杯”高年級組決賽)個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？18、8個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法?某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個成人和個兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他們人乘坐這三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽．在下列條件下，分別有多少種選法？

[1]恰有名女生入選；[2]至少有兩名女生入選；[3]某兩名女生，某兩名男生必須入選；

[4]某兩名女生，某兩名男生不能同時入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人。在6名內科醫生和4名外科醫生中，內科主任和外科主任各一名，現要組成5人醫療小組送醫下鄉，按照下列條件各有多少種選派方法？

[1]有3名內科醫生和2名外科醫生；

[2]既有內科醫生，又有外科醫生；

[3]至少有一名主任參加；

[4]既有主任，又有外科醫生.在10名學生中，有5人會裝電腦，有3人會安裝音響設備，其余2人既會安裝電腦，又會安裝音響設備，今選派由人組成的安裝小組，組內安裝電腦要人，安裝音響設備要人，共有多少種不同的選人方案？有11名外語翻譯人員，其中名是英語翻譯員，名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通．從中找出人，使他們組成兩個翻譯小組，其中人翻譯英文，另人翻譯日文，這兩個小組能同時工作．問這樣的分配名單共可以開出多少張？★五．容斥原理問題★跟知識握握手容斥原理的概念：在計數時，為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數的方法稱為容斥原理。有關容斥原理的公式：公式1.如果被計數的事物有A、B兩類，那么，A類或B類元素個數=A類元素個數+B類元素個數—既是A類又是B類的元素個數。公式2.如果被計數的事物有A、B、C三類，那么，A類或B類或C類元素個數=A類元素個數+B類元素個數+C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數—既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數+既是A類又是B類而且是C類的元素個數。★小試牛刀1．有100種赤貧.其中含鈣的有68種,含鐵的有43種,那么,同時含鈣和鐵的食品種類的最大值和最小值分別是()A43,25B32,25C32,15D43,112．在多元智能大賽的決賽中只有三道題.已知:(1)某校25名學生參加競賽,每個學生至少解出一道題;(2)在所有沒有解出第一題的學生中,解出第二題的人數是解出第三題的人數的2倍:(3)只解出第一題的學生比余下的學生中解出第一題的人數多1人;(4)只解出一道題的學生中,有一半沒有解出第一題,那么只解出第二題的學生人數是()A，5B，6C，7D，83．一次考試共有5道試題。做對第1、2、3、、4、5題的分別占參加考試人數的95%、80%、79%、74%、85%。如果做對三道或三道以上為合格，那么這次考試的合格率至少是多少？某大樓里有125盞燈，按1,2，3，…,125編號，每盞燈有一個拉線開關，拉一次燈亮，再拉一次燈熄。工程師做實驗，他先把所有號碼是4的倍數的燈的開關拉1次，再把所有號碼是6的倍數的燈的開關拉1次，同時再拉1次號碼是4的倍數、但不是6的倍數的燈開關，問：現在有多少盞燈是亮的？A、B、C三位質檢員對流水線上的書包進行檢查，A每3個書包抽查1個，B每5個書包抽查1個，C每7個書包抽查1個，一共有250個書包通過流水線，假定A、B、C首個抽查到的書包分別是第三個、第五個和第七個，試求：沒被抽查到的書包數。在A或B抽查到的書包中，沒被C抽查到的書包數。校舉行趣味運動會，班里的同學有20人報名。參加障礙過河比賽的有10人，參加自行車慢騎的有13人，參加“袋鼠跳”比賽的有15人，障礙過河、“袋鼠跳”都參加的有9人，障礙過河、自行車慢騎都參加的有6人，自行車慢騎、“袋鼠跳”都參加的有8人，你能畫出參加比賽的人數文氏圖嗎？某體育學校的運動員中，會游泳的有15人，會跳高的有12人，會跳遠的有9人，以上三個項目只會其中兩種的有13人，會三種的有5人，則只會其中兩種的人分別有多少可能？在一所中學的實驗班里，60個學生參加過競賽。其中參加過數學競賽的有30人，參加過英語競賽的有25人，參加過作文比賽的有17人，參加過數學競賽和英語競賽的有12人，參加過英語競賽和作文比賽的有10人，參加過數學競賽和作文比賽的有7人，則三種競賽都參加過的學生有()人。請寫出過程：六．抽屜原理、奇偶性問題1、第一抽屜原理：原理1：把多于n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西不少于兩件；【證明】（反證法）：如果每個抽屜至多只能放進一個物體，那么物體的總數至多是n，而不是題設的n+k(k≥1),這不可能。原理2：把多于mn(m乘以n)個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有不少于m+1的物體。【證明】（反證法）：若每個抽屜至多放進m個物體,那么n個抽屜至多放進mn個物體,與題設不符，故不可能原理3：把無窮多件物體放入n個抽屜，則至少有一個抽屜里有無窮個物體。【證明】.根據原理1、2即可證明【原理123都是第一抽屜原理的表述】2、第二抽屜原理：把（mn－1）個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有（m—1）個物體。【證明】（反證法）：若每個抽屜都有不少于m個物體，則總共至少有mn個物體，與題設矛盾，故不可能3、抽屜原理的一般表述：“把多于kn+1個東西任意分放進n個空抽屜（k是正整數），那么一定有一個抽屜中放進了至少k+1個東西。”★奇數和偶數：整數可以分成奇數和偶數兩大類.能被2整除的數叫做偶數，不能被2整除的數叫做奇數。【偶數通常可以用2k（k為整數）表示，奇數則可以用2k+1（k為整數）表示。特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數。】5、奇數與偶數的運算性質：性質1：偶數±偶數=偶數，奇數±奇數=偶數。性質2：偶數±奇數=奇數。性質3：偶數個奇數相加得偶數。性質4：奇數個奇數相加得奇數。性質5：偶數×奇數=偶數，奇數×奇數=奇數。★經典例題【表述】：在第二抽屜原理中，抽屜中的元素個數隨著元素總數的增加而增加，當元素總數達到抽屜數的若干倍后，可用抽屜數除元素總數，寫成下面的等式：元素總數=商×抽屜數+余數【如果余數不是0，則最小數=商+1；如果余數正好是0，則最小數=商。】例題1：幼兒園里有120個小朋友，各種玩具有364件。把這些玩具分給小朋友，是否有人會得到4件或4件以上的玩具？把120個小朋友看做是120個抽屜，把玩具件數看做是元素。則364=120×3+4，4＜120。根據抽屜原理的第（2）條規則：如果把m×x×k（x＞k≥1）個元素放到x個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有m+1個或更多個元素。可知至少有一個抽屜里有3+1=4個元素，即有人會得到4件或4件以上的玩具。練習1：一個幼兒園大班有40個小朋友，班里有各種玩具125件。把這些玩具分給小朋友，是否有人會得到4件或4件以上的玩具？把16枝鉛筆放入三個筆盒里，至少有一個筆盒里的筆不少于6枝。這是為什么？3、把25個球最多放在幾個盒子里，才能至少有一個盒子里有7個球？例題2：布袋里有4種不同顏色的球，每種都有10個。最少取出多少個球，才能保證其中一定有3個球的顏色一樣？把4種不同顏色看做4個抽屜，把布袋中的球看做元素。根據抽屜原理第（2）條，要使其中一個抽屜里至少有3個顏色一樣的球，那么取出的球的個數應比抽屜個數的2倍多1。即2×4+1=9（個）球。列算式為（3—1）×4+1=9（個）練習2：布袋里有組都多的5種不同顏色的球。最少取出多少個球才能保證其中一定有3個顏色一樣的球？一個容器里放有10塊紅木塊、10塊白木塊、10塊藍木塊，它們的形狀、大小都一樣。當你被蒙上眼睛去容器中取出木塊時，為確保取出的木塊中至少有4塊顏色相同，應至少取出多少塊木塊？3、一副撲克牌共54張，其中1—13點各有4張，還有兩張王的撲克牌。至少要取出幾張牌，才能保證其中必有4張牌的點數相同？例題3：某班共有46名學生，他們都參加了課外興趣小組。活動內容有數學、美術、書法和英語，每人可參加1個、2個、3個或4個興趣小組。問班級中至少有幾名學生參加的項目完全相同？參加課外興趣小組的學生共分四種情況，只參加一個組的有4種類型，只參加兩個小組的有6個類型，只參加三個組的有4種類型，參加四個組的有1種類型。把4+6+4+1=15（種）類型看做15個抽屜，把46個學生放入這些抽屜，因為46=3×15+1，所以班級中至少有4名學生參加的項目完全相同。練習3：某班有37個學生，他們都訂閱了《小主人報》、《少年文藝》、《小學生優秀作文》三種報刊中的一、二、三種。其中至少有幾位同學訂的報刊相同？學校開辦了繪畫、笛子、足球和電腦四個課外學習班，每個學生最多可以參加兩個（可以不參加）。某班有52名同學，問至少有幾名同學參加課外學習班的情況完全相同？庫房里有一批籃球、排球、足球和鉛球，每人任意搬運兩個，問：在31個搬運者中至少有幾人搬運的球完全相同？例題4：從1至30中，3的倍數有30÷3=10個，不是3的倍數的數有30—10=20個，至少要取出20+1=21個不同的數才能保證其中一定有一個數是3的倍數。練習4：在1，2，3，……49，50中，至少要取出多少個不同的數，才能保證其中一定有一個數能被5整除？從1至120中，至少要取出幾個不同的數才能保證其中一定有一個數是4的倍數？3、從1至36中，最多可以取出幾個數，使得這些數中沒有兩數的差是5的倍數？例題5：將400張卡片分給若干名同學，每人都能分到，但都不能超過11張，試證明：找少有七名同學得到的卡片的張數相同。【證明】：這題需要靈活運用抽屜原理。將分得1，2，3，……，11張可片看做11個抽屜，把同學人數看做元素，如果每個抽屜都有一個元素，則需1+2+3+……+10+11=66（張）卡片。而400÷66=6……4（張），即每個周體都有6個元素，還余下4張卡片沒分掉。而這4張卡片無論怎么分，都會使得某一個抽屜至少有7個元素，所以至少有7名同學得到的卡片的張數相同。練習5：把280個桃分給若干只猴子，每只猴子不超過10個。證明：無論怎樣分，至少有6只猴子得到的桃一樣多。把61顆棋子放在若干個格子里，每個格子最多可以放5顆棋子。證明：至少有5個格子中的棋子數目相同。3、汽車8小時行了310千米，已知汽車第一小時行了25千米，最后一小時行了45千米。證明：一定存在連續的兩小時，在這兩小時內汽車至少行了80千米。例題6：1+2+3+…+1993的和是奇數？還是偶數？例題7：一個數分別與另外兩個相鄰奇數相乘，所得的兩個積相差150，這個數是多少？例題8：元旦前夕，同學們相互送賀年卡.每人只要接到對方賀年卡就一定回贈賀年卡，那么送了奇數張賀年卡的人數是奇數，還是偶數？為什么？例題9：已知a、b、c中有一個是5，一個是6，一個是7.求證a-1，b-2，c-3的乘積一定是偶數。例題10：如下頁圖，從起點始，隔一米種一棵樹，如果把三塊“愛護樹木”的小牌分別掛在三棵樹上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹，它們之間的距離是偶數（以米為單位），這是為什么？★小試牛刀1．木箱里裝有紅色球3個、黃色球5個、藍色球7個，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個球的顏色相同，則最少要取出多少個球？2．一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有3張牌有相同的點數？有11名學生到老師家借書，老師的書房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四類書，每名學生最多可借兩本不同類的書，最少借一本。試證明：必有兩個學生所借的書的類型相同4．有50名運動員進行某個項目的單循環賽，如果沒有平局，也沒有全勝。試證明：一定有兩個運動員積分相同。5．體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學來倉庫拿球，規定每個人至少拿1個球，至多拿2個球，問至少有幾名同學所拿的球種類是一致的？6．某校有55個同學參加數學競賽，已知將參賽人任意分成四組，則必有一組的女生多于2人，又知參賽者中任何10人中必有男生，則參賽男生的人數為多少人？7．有黑色、白色、藍色手套各5只（不分左右手），至少要拿出多少只（拿的時候不許看顏色），才能使拿出的手套中一定有兩雙是同顏色的。8．一些蘋果和梨混放在一個筐里，小明把這筐水果分成了若干堆，后來發現無論怎么分，總能從這若干堆里找到兩堆，把這兩堆水果合并在一起后，蘋果和梨的個數是偶數，那么小明至少把這些水果分成了多少堆？9．從1，3，5，……，99中，至少選出多少個數，其中必有兩個數的和是100。10．某旅游車上有47名乘客，每位乘客都只帶有一種水果。如果乘客中有人帶梨，并且其中任何兩位乘客中至少有一個人帶蘋果，那么乘客中有多少人帶蘋果。11．某個年級有202人參加考試，滿分為100分，且得分都為整數，總得分為10101分，則至少有多少人得分相同？12．2006名營員去游覽長城，頤和園，天壇。規定每人最少去一處，最多去兩處游覽，至少有幾個人游覽的地方完全相同?13．某校派出學生204人上山植樹15301株，其中最少一人植樹50株，最多一人植樹100株，則至少有多少人植樹的株數相同？有100個自然數，它們的和是偶數.在這100個自然數中，奇數的個數比偶數的個數多.問：這些數中至多有多少個偶數？有一串數，最前面的四個數依次是1、9、8、7.從第五個數起，每一個數都是它前鄰四個數之和的個位數字.問：在這一串數中，會依次出現1、9、8、8這四個數嗎？16、求證：四個連續奇數的和一定是8的倍數。17、把任意6個整數分別填入右圖中的6個小方格內，試說明一定有一個矩形，它的四個角上四個小方格中的四個數之和為偶數。18、如果兩個人通一次電話，每人都記通話一次，在24小時以內，全世界通話次數是奇數的那些人的總數為____。（A）必為奇數，（B）必為偶數，（C）可能是奇數，也可能是偶數。請選擇并寫出過程：一次宴會上，客人們相互握手.問握手次數是奇數的那些人的總人數是奇數還是偶數。有12張卡片，其中有3張上面寫著1，有3張上面寫著3，有3張上面寫著5，有3張上面寫著7.你能否從中選出五張，使它們上面的數字和為20？為什么？有10只杯子全部口朝下放在盤子里.你能否每次翻動4只杯子，經過若干次翻動后將杯子全部翻成口朝上？電影廳每排有19個座位，共23排，要求每一觀眾都僅和它鄰近（即前、后、左、右）一人交換位置.問：這種交換方法是否可行？23、由14個大小相同的方格組成下列圖形（右圖），請證明：不論怎樣剪法，總不能把它剪成7個由兩個相鄰方格組成的長方形.七．行程問題1、發車問題[1]一般間隔發車問題。用3個公式迅速作答；汽車間距=（汽車速度+行人速度）×相遇事件時間間隔

汽車間距=（汽車速度-行人速度）×追及事件時間間隔

汽車間距=汽車速度×汽車發車時間間隔[2]求到達目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數。標準方法是：畫圖——盡可能多的列3個好使公式——結合s全程＝v×t-結合植樹問題數數。[3]當出現多次相遇和追及問題——柳卡2、火車過橋【火車過橋問題常用方法】[1]火車過橋時間是指從車頭上橋起到車尾離橋所用的時間，因此火車的路程是橋長與車身長度之和.[2]火車與人錯身時，忽略人本身的長度，兩者路程和為火車本身長度；火車與火車錯身時，兩者路程和則為兩車身長度之和.[3]火車與火車上的人錯身時，只要認為人具備所在火車的速度，而忽略本身的長度，那么他所看到的錯車的相應路程仍只是對面火車的長度.【對于火車過橋、火車和人相遇、火車追及人、以及火車和火車之間的相遇、追及等等這幾種類型的題目，在分析題目的時候一定得結合著圖來進行.】3、接送問題：【根據校車速度（來回不同）、班級速度（不同班不同速）、班數是否變化分類為四種常見題型】：

[1]車速不變-班速不變-班數2個（最常見）

[2]車速不變-班速不變-班數多個

[3]車速不變-班速變-班數2個

[4]車速變-班速不變-班數2個【標準解法：畫圖＋列3個式子】：[1]總時間=一個隊伍坐車的時間+這個隊伍步行的時間；[2]班車走的總路程；[3]一個隊伍步行的時間=班車同時出發后回來接它的時間。4、時鐘問題：時鐘問題可以看做是一個特殊的圓形軌道上2人追及問題，不過這里的兩個“人”分別是時鐘的分針和時針。【時鐘問題有別于其他行程問題是因為它的速度和總路程的度量方式不再是常規的米每秒或者千米每小時，而是2個指針“每分鐘走多少角度”或者“每分鐘走多少小格”。】流水行船問題中的相遇與追及[1]兩只船在河流中相遇問題，當甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向開出：【甲船順水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速】[2]同樣道理，如果兩只船，同向運動，一只船追上另一只船所用的時間，與水速無關.【甲船順水速度-乙船順水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.】說明：兩船在水中的相遇與追及問題同靜水中的及兩車在陸地上的相遇與追及問題一樣，與水速沒有關系.6、比例與行程問題綜合問題：比例的知識是小學數學最后一個重要內容，從某種意義上講仿佛扮演著一個小學“壓軸知識點”的角色。從一個工具性的知識點而言，比例在解很多應用題時有著“得天獨厚”的優勢，往往體現在方法的靈活性和思維的巧妙性上，使得一道看似很難的題目變得簡單明了。比例的技巧不僅可用于解行程問題，對于工程問題、分數百分數應用題也有廣泛的應用。我們常常會應用比例的工具分析2個物體在某一段相同路線上的運動情況，我們將甲、乙的速度、時間、路程分別用來表示，大體可分為以下兩種情況：[1]當2個物體運行速度在所討論的路線上保持不變時，經過同一段時間后，他們走過的路程之比就等于他們的速度之比。，這里因為時間相同，即,所以由得到，，甲乙在同一段時間t內的路程之比等于速度比[2]當2個物體運行速度在所討論的路線上保持不變時，走過相同的路程時，2個物體所用的時間之比等于他們速度的反比。，這里因為路程相同，即，由得，，甲乙在同一段路程s上的時間之比等于速度比的反比。行程問題常用的解題方法有[1]公式法即根據常用的行程問題的公式進行求解，這種方法看似簡單，其實也有很多技巧，使用公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形式；有時條件不是直接給出的，這就需要對公式非常熟悉，可以推知需要的條件；[2]圖示法在一些復雜的行程問題中，為了明確過程，常用示意圖作為輔助工具．示意圖包括線段圖和折線圖．圖示法即畫出行程的大概過程，重點在折返、相遇、追及的地點．另外在多次相遇、追及問題中，畫圖分析往往也是最有效的解題方法；[3]比例法行程問題中有很多比例關系，在只知道和差、比例時，用比例法可求得具體數值．更重要的是，在一些較復雜的題目中，有些條件(如路程、速度、時間等)往往是不確定的，在沒有具體數值的情況下，只能用比例解題；[4]分段法在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能直接適用．這時通常把不勻速的運動分為勻速的幾段，在每一段中用勻速問題的方法去分析，然后再把結果結合起來；[5]方程法在關系復雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時，設條件關系最多的未知量為未知數，抓住重要的等量關系列方程常常可以順利求解．小試牛刀某停車場有10輛出租汽車，第一輛出租汽車出發后，每隔4分鐘，有一輛出租汽車開出.在第一輛出租汽車開出2分鐘后，有一輛出租汽車進場.以后每隔6分鐘有一輛出租汽車回場.回場的出租汽車，在原有的10輛出租汽車之后又依次每隔4分鐘開出一輛，問：從第一輛出租汽車開出后，經過多少時間，停車場就沒有出租汽車了？小峰騎自行車去小寶家聚會，一路上小峰注意到，每隔9分鐘就有一輛公交車從后方超越小峰，小峰騎車到半路，車壞了，小峰只好打的去小寶家，這時小峰又發現出租車也是每隔9分鐘超越一輛公交車，已知出租車的速度是小峰騎車速度的5倍，那么如果公交車的發車時間間隔和行駛速度固定的話，公交車的發車時間間隔為多少分鐘？小英和小敏為了測量飛駛而過的火車速度和車身長,他們拿了兩塊跑表.小英用一塊表記下了火車從她面前通過所花的時間是15秒;小敏用另一塊表記下了從車頭過第一根電線桿到車尾過第二根電線桿所花的時間是20秒.已知兩電線桿之間的距離是100米.你能幫助小英和小敏算出火車的全長和時速嗎?一條單線鐵路上有A,B,C,D,E5個車站,它們之間的路程如圖所示(單位:千米).兩列火車同時從A,E兩站相對開出,從A站開出的每小時行60千米,從E站開出的每小時行50千米.由于單線鐵路上只有車站才鋪有停車的軌道,要使對面開來的列車通過,必須在車站停車,才能讓開行車軌道.因此,應安排哪個站相遇,才能使停車等候的時間最短.先到這一站的那一列火車至少需要停車多少分鐘?乙船順水航行2小時，行了120千米，返回原地用了4小時.甲船順水航行同一段水路，用了3小時.甲船返回原地比去時多用了幾小時?一條小河流過A，B,C三鎮.A,B兩鎮之間有汽船來往,汽船在靜水中的速度為每小時11千米.B,C兩鎮之間有木船擺渡,木船在靜水中的速度為每小時3.5千米.已知A,C兩鎮水路相距50千米,水流速度為每小時1.5千米.某人從A鎮上船順流而下到B鎮,吃午飯用去1小時,接著乘木船又順流而下到C鎮,共用8小時.那么A,B兩鎮間的距離是多少千米?現在是10點，再過多長時間，時針與分針將第一次在一條直線上？有一座時鐘現在顯示10時整．那么，經過多少分鐘，分針與時針第一次重合；再經過多少分鐘，分針與時針第二次重合?某科學家設計了只怪鐘，這只怪鐘每晝夜10時，每時100分（如右圖所示）。當這只鐘顯示5點時，實際上是中午12點；當這只鐘顯示6點75分時，實際上是什么時間？10、手表比鬧鐘每時快60秒，鬧鐘比標準時間每時慢60秒。8點整將手表對準，12點整手表顯示的時間是幾點幾分幾秒？甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發，相向而行，甲、乙的速度之比是4:3，二人相遇后繼續行進，甲到達B地和乙到達A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地點距第一次相遇的地點30千米，則A、B兩地相距多少千米？B地在A，C兩地之間．甲從B地到A地去送信，甲出發10分后，乙從B地出發到C地去送另一封信，乙出發后10分，丙發現甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了，于是他從B地出發騎車去追趕甲和乙，以便把信調過來．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙從出發到把信調過來后返回B地至少要用多少時間。13、甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發，相向而行．出發時，甲、乙的速度之比是5:4，相遇后甲的速度減少20%，乙的速度增加20%．這樣當甲到達B地時，乙離A地還有10千米．那么A、B兩地相距多少千米？13、在一圓形跑道上，甲從A點、乙從B點同時出發反向而行，6分后兩人相遇，再過4分甲到達B點，又過8分兩人再次相遇.甲、乙環行一周各需要多少分？一輛汽車從甲地開往乙地，每分鐘行750米，預計50分鐘到達．但汽車行駛到路程的時，出了故障，用5分鐘修理完畢，如果仍需在預定時間內到達乙地，汽車行駛余下的路程時，每分鐘必須比原來快多少米？15、狗跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現在狗已跑出30米，馬開始追它。問：狗再跑多遠，馬可以追上它？16、甲乙輛車同時從ab兩地相對開出，幾小時后再距中點40千米處相遇？已知，甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時，求ab兩地相距多少千米？17、在一個600米的環形跑道上，兄兩人同時從同一個起點按順時針方向跑步，兩人每隔12分鐘相遇一次，若兩個人速度不變，還是在原來出發點同時出發，哥哥改為按逆時針方向跑，則兩人每隔4分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？18、慢車車長125米，車速每秒行17米，快車車長140米，車速每秒行22米，慢車在前面行駛，快車從后面追上來，那么，快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車需要多少時間？19、在300米長的環形跑道上，甲乙兩個人同時同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前幾米？20、一個人在鐵道邊，聽見遠處傳來的火車汽笛聲后，在經過57秒火車經過她前面，已知火車鳴笛時離他1360米，(軌道是直的),聲音每秒傳340米，求火車的速度（得出保留整數）21、獵犬發現在離它10米遠的前方有一只奔跑著的野兔，馬上緊追上去，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動作快，獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步，問獵犬至少跑多少米才能追上兔子。正確的答案是獵犬至少跑60米才能追上。22、AB兩地,甲乙兩人騎自行車行完全程所用時間的比是4:5,如果甲乙二人分別同時從AB兩地相對行使,40分鐘后兩人相遇,相遇后各自繼續前行,這樣，乙到達A地比甲到達B地要晚多少分鐘?23、甲乙兩車同時從AB兩地相對開出。第一次相遇后兩車繼續行駛，各自到達對方出發點后立即返回。第二次相遇時離B地的距離是AB全程的1/5。已知甲車在第一次相遇時行了120千米。AB兩地相距多少千米？24、一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時;逆流8小時。如果水流速度是每小時2千米，求兩地間的距離？25、快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，快車每小時行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢車行完全程需要8小時，求甲乙兩地的路程。26、小華從甲地到乙地,3分之1騎車,3分之2乘車;從乙地返回甲地,5分之3騎車,5分之2乘車,結果慢了半小時.已知,騎車每小時12千米,乘車每小時30千米,問:甲乙兩地相距多少千米?八．比例問題【比例與百分數作為一種數學工具在人們日常生活中處理多組數量關系非常有用，這一部分內容也是小升初考試的重要內容。故學生應該掌握的知識有】：1、比和比例的性質性質1：若a:b=c：d，則(a+c)：(b+d)=a：b=c：d；性質2：若a:b=c：d，則(a-c)：(b-d)=a：b=c：d；性質3：若a:b=c：d，則(a+xc)：(b+xd)=a：b=c：d；(x為常數)性質4：若a:b=c：d，則a×d=b×c；(即外項積等于內項積)正比例：如果a÷b=k(k為常數)，則稱a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k為常數)，則稱a、b成反比．2、主要比例轉化實例[1]；；；[2]；(其中)；[3]；；；[4]，；；[5]的等于的，則是的，是的．3、按比例分配與和差關系[1]按比例分配例如：將個物體按照的比例分配給甲、乙兩個人，那么實際上甲、乙兩個人各自分配到的物體數量與的比分別為和，所以甲分配到個，乙分配到個.[2]已知兩組物體的數量比和數量差，求各個類別數量的問題例如：兩個類別、，元素的數量比為(這里)，數量差為，那么的元素數量為，的元素數量為，所以解題的關鍵是求出與或的比值．4、比例題目常用解題方式和思路解答分數應用題關鍵是正確理解、運用單位“l”。題中如果有幾個不同的單位“1”，必須根據具體情況，將不同的單位“1”，轉化成統一的單位“1”，使數量關系簡單化，達到解決問題的效果。在解答分數應用題時，要注意以下幾點：[1]題中有幾種數量相比較時，要選擇與各個已知條件關系密切、便于直接解答的數量為單位“1”。[2]若題中數量發生變化的，一般要選擇不變量為單位“1”。[3]應用正、反比例性質解答應用題時要注意題中某一數量是否一定，然后再確定是成正比例，還是成反比例。找出這些具體數量相對應的分率與其他具體數量之間的正、反比例關系，就能找到更好、更巧的解法。[4]題中有明顯的等量關系，也可以用方程的方法去解。[5]賦值解比例問題小試牛刀已知甲、乙、丙三個數，甲等于乙、丙兩數和的，乙等于甲、丙兩數和的，丙等于甲、乙兩數和的，求.已知甲、乙、丙三個數，甲的一半等于乙的倍也等于丙的，那么甲的、乙的倍、丙的一半這三個數的比為多少？3、如下圖所示，圓與圓的面積之和等于圓面積的，且圓中的陰影部分面積占圓面積的，圓的陰影部分面積占圓面積的，圓的陰影部分面積占圓面積的．求圓、圓、圓的面積之比某俱樂部男、女會員的人數比是3:2，分為甲、乙、丙三組的人數比是10:8:7，甲組中男、女會員的人數之比是3:1，乙組中男、女會員的人數之比是5:3.求丙組中男、女會員人數之比。某團體有名會員，男女會員人數之比是，會員分成三組，甲組人數與乙、丙兩組人數之和一樣多，各組男女會員人數之比依次為、、，那么丙組有多少名男會員？(2007年華杯賽總決賽)、、三項工程的工作量之比為，由甲、乙、丙三隊分別承擔．三個工程隊同時開工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，則甲、乙、丙隊的工作效率的比是多少？7、[1]某校畢業生共有9個班，每班人數相等．[2]已知一班的男生人數比二、三班兩個班的女生總數多1；[3]四、五、六班三個班的女生總數比七、八、九班三個班的男生總數多1．那么該校畢業生中男、女生人數比是多少?一些蘋果平均分給甲、乙兩班的學生，甲班比乙班多分到個，而甲、乙兩班的人數比為，求一共有多少個蘋果？一班和二班的人數之比是，如果將一班的名同學調到二班去，則一班和二班的人數比變為．求原來兩班的人數。10、幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生數與女生數的比為，中班男生數與女生數的比為，那么大班有女生多少名？11、甲、乙兩只螞蟻同時從點出發，沿長方形的邊爬去，結果在距點厘米的點相遇，已知乙螞蟻的速度是甲的倍，求這個長方形的周長？甲乙兩車分別從A，B兩地出發，相向而行．出發時，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度減少20％，乙的速度增加20％，這樣，當甲到達B地時，乙離A地還有10千米．問：A，B兩地相距多少千米？師徒二人加工一批零件，師傅加工一個零件用9分鐘，徒弟加工一個零件用15分鐘．完成任務時，師傅比徒弟多加工100個零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個零件？、、三個水桶的總容積是公升，如果、兩桶裝滿水，桶是空的；若將桶水的全部和桶水的，或將桶水的全部和桶水的倒入桶，桶都恰好裝滿．求、、三個水桶容積各是多少公升？一塊長方形鐵板，寬是長的．從寬邊截去厘米，長邊截去以后，得到一塊正方形鐵板．問原來長方形鐵板的長是多少厘米？一把小刀售價元．如果小明買了這把小刀，那么小明與小強剩余的錢數之比是；如果小強買了這把小刀，那么兩人剩余的錢數之比變為．小明原來有多少錢？一項機械加工作業，用4臺型機床，5天可以完成；用4臺型機床和2臺型機床3天可以完成；用3臺型機床和9臺型機床，2天可以完成，若3種機床各取一臺工作5天后，剩下、型機床繼續工作，還需要______天可以完成作業。動物園門票大人元，小孩元．六一兒童節那天，兒童免票，結果與前一天相比，大人增加了，兒童增加了，共增加了人，但門票收入與前一天相同．六一兒童節這天共有多少人入園？某水果批發市場存放的蘋果與桃子的噸數的比是，第一天售出蘋果的，售出桃子的噸數與所剩桃子的噸數的比是；第二天售出蘋果噸，桃子噸，這樣一來，所剩蘋果的噸數是所剩桃子噸數的，問原有蘋果和桃子各有多少噸？有一個長方體，長和寬的比是，寬與高的比是．表面積為，求這個長方體的體積。（2009年第七屆“希望杯”二試六年級）某高速公路收費站對于過往車輛收費標準是：大型車元，中型車元，小型車元．一天，通過該收費站的大型車和中型車數量之比是，中型車與小型車之比是，小型車的通行費總數比大型車多元．（1）這天通過收費站的大型車、中型車、小型車各有多少輛？（2）這天的收費總數是多少元？枚壹分硬幣摞在一起與枚貳分硬幣摞在一起一樣高，枚壹分硬幣摞在一起與枚伍分硬幣摞在一起一樣高．用壹分、貳分、伍分硬幣各摞成一個圓柱體，并且三個圓柱體一樣高，共用了枚硬幣，問：這些硬幣的幣值為多少元？某工地用種型號的卡車運送土方．已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為，速度比為，運送土方的路程之比為，三種車的輛數之比為．工程開始時，乙、丙兩種車全部投入運輸，但甲種車只有一半投入，直到天后，另一半甲種車才投入工作，一共干了天完成任務．那么，甲種車完成的工作量與總工作量之比是多少？將一堆糖果全部分給甲、乙、丙三個小朋友．原計劃甲、乙、丙三人所得糖果數的比為．實際上，甲、乙、丙三人所得糖果數的比為，其中有一位小朋友比原計劃多得了塊糖果．那么這位小朋友是(填“甲”、“乙”或“丙”)，他實際所得的糖果數為塊。一個周長是厘米的大長方形，按圖⑴與圖⑵所示意那樣，劃分為四個小長方形．在圖⑴中小長方形面積的比是，．而在圖⑵中相應的比例是，.又知長方形的寬減去的寬所得到的差與的長減去的長所得到差之比為．求大長方形的面積。（1）⑵北京中學生運動會男女運動員比例為，組委會決定增加女子藝術體操項目，這樣男女運動員比例變為；后來又決定增加男子象棋項目，男女比例變為,已知男子象棋項目運動員比女子藝術體操運動員多人，則總運動員人數為多少？有若干個突擊隊參加某工地會戰，已知每個突擊隊人數相同，而且每個隊的女隊員的人數是該隊的男隊員的，以后上級從第一突擊隊調走了該隊的一半隊員，而且全是男隊員，于是工地上的全體女隊員的人數是剩下的全體男隊員的，問開始共有多少支突擊隊參加會戰？某學校入學考試，參加的男生與女生人數之比是．結果錄取91人，其中男生與女生人數之比是．未被錄取的學生中，男生與女生人數之比是．問報考的共有多少人？有甲、乙兩塊含銅率不同的合金，甲塊重千克，乙塊重千克，現在從甲、乙兩塊合金上各切下重量相等的一部分，將甲塊上切下的部分與乙塊的剩余的部分一起熔煉，再將乙塊上切下的部分與甲塊的剩余的部分一起熔煉，得到的兩塊新合金的含銅率相同，求切下的重量為________。小學奧數分類型講解資料1、最值問題【最小值問題】例1外賓由甲地經乙地、丙地去丁地參觀。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中點，原來就各有一位民警值勤。為了保證安全，上級決定在沿途增加值勤民警，并規定每相鄰的兩位民警（包括原有的民警）之間的距離都相等。現知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。（《中華電力杯》少年數學競賽決賽第一試試題）講析：如圖5.91，現在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各處中點各有一位民警，共有7位民警。他們將上面的線段分為了2個2500米，2個4000米，2個2000米。現要在他們各自的中間插入若干名民警，要求每兩人之間距離相等，這實際上是要求將2500、4000、2000分成盡可能長的同樣長的小路。由于2500、4000、2000的最大公約數是500，所以，整段路最少需要的民警數是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。例2在一個正方體表面上，三只螞蟻分別處在A、B、C的位置上，如圖5.92所示，它們爬行的速度相等。若要求它們同時出發會面，那么，應選擇哪點會面最省時？（湖南懷化地區小學數學奧林匹克預賽試題）講析：因為三只螞蟻速度相等，要想從各自的地點出發會面最省時，必須三者同時到達，即各自行的路程相等。我們可將正方體表面展開，如圖5.93，則A、B、C三點在同一平面上。這樣，便將問題轉化為在同一平面內找出一點O，使O到這三點的距離相等且最短。所以，連接A和C，它與正方體的一條棱交于O；再連接OB，不難得出AO=OC=OB。故，O點即為三只螞蟻會面之處。【最大值問題】例1有三條線段a、b、c，并且a＜b＜c。判斷：圖5.94的三個梯形中，第幾個圖形面積最大？（全國第二屆“華杯賽”初賽試題）講析：三個圖的面積分別是：三個面積數變化的部分是兩數和與另一數的乘積，不變量是（a＋b＋c）的和一定。其問題實質上是把這個定值拆成兩個數，求這兩個數為何值時，乘積最大。由等周長的長方形面積最大原理可知，（a＋b）×c這組數的值最接近。故圖（3）的面積最大。例2某商店有一天，估計將進貨單價為90元的某商品按100元售出后，能賣出500個。已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個。為了使這一天能賺得更多利潤，售價應定為每個______元。（臺北市數學競賽試題）講析：因為按每個100元出售，能賣出500個，每個漲價1元，其銷量減少10個，所以，這種商品按單價90元進貨，共進了600個。現把600個商品按每份10個，可分成60份。因每個漲價1元，銷量就減少1份（即10個）；相反，每個減價1元，銷量就增加1份。所以，每個漲價的錢數與銷售的份數之和是不變的（為60），根據等周長長方形面積最大原理可知，當把60分為兩個30時，即每個漲價30元，賣出30份，此時有最大的利潤。因此，每個售價應定為90＋30=120（元）時，這一天能獲得最大利潤。2、最值規律【積最大的規律】（1）多個數的和一定（為一個不變的常數），當這幾個數均相等時，它們的積最大。用字母表示，就是如果a1+a2+…+an=b（b為一常數），那么，當a1=a2=…=an時，a1×a2×…×an有最大值。例如，a1+a2=10，…………→…………；1+9=10→1×9=9；2+8=10→2×8=16；3+7=10→3×7=21；4+6=10→4×6=24；4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75；5+5=10→5×5=25；5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75；…………→…………；9+1=10→9×1=9；…………→…………由上可見，當a1、a2兩數的差越小時，它們的積就越大；只有當它們的差為0，即a1=a2時，它們的積就會變得最大。三個或三個以上的數也是一樣的。由于篇幅所限，在此不一一舉例。由“積最大規律”，可以推出以下的結論：結論1所有周長相等的n邊形，以正n邊形（各角相等，各邊也相等的n邊形）的面積為最大。例如，當n=4時，周長相等的所有四邊形中，以正方形的面積為最大。例題：用長為24厘米的鐵絲，圍成一個長方形，長寬如何分配時，它的面積為最大？解設長為a厘米，寬為b厘米，依題意得（a+b）×2=24即a+b=12由積最大規律，得a=b=6（厘米）時，面積最大為6×6=36（平方厘米）。（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的長方形。）結論2在三度（長、寬、高）的和一定的長方體中，以正方體的體積為最大。例題：用12米長的鐵絲焊接成一個長方體，長、寬、高如何分配，它的體積才會最大？解設長方體的長為a米，寬為b米，高為c米，依題意得（a+b+c）×4=12即a+b+c=3由積最大規律，得a=b=c=1（米）時，長方體體積為最大。最大體積為1×1×1=1（立方米）。（2）將給定的自然數N，分拆成若干個（不定）的自然數的和，只有當這些自然數全是2或3，并且2至多為兩個時，這些自然數的積最大。例如，將自然數8拆成若干個自然數的和，要使這些自然數的乘積為最大。怎么辦呢？我們可將各種拆法詳述如下：分拆成8個數，則只能是8個“1”，其積為1。分拆成7個數，則只能是6個“1”，1個“2”，其積為2。分拆成6個數，可得兩組數：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。它們的積分別是3和4。分拆成5個數，可得三組數：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2，2）。它們的積分別為4，6，8。分拆成4個數，可得5組數：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。它們的積分別為5，8，9，12，16。分拆成3個數，可得5組數：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。它們的積分別為6，10，12，16，18。分拆成2個數，可得4組數：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它們的積分別為7，12，15，16。分拆成一個數，就是這個8。從上面可以看出，積最大的是18=3×3×2。可見，它符合上面所述規律。用同樣的方法，將6、7、14、25分拆成若干個自然數的和，可發現6=3+3時，其積3×3=9為最大；7=3+2+2時，其積3×2×2=12為最大；14=3+3+3+3+2時，其積3×3×3×3×2=162為最大；由這些例子可知，上面所述的規律是正確的。【和最小的規律】幾個數的積一定，當這幾個數相等時，它們的和相等。用字母表達，就是如果a1×a2×…×an=c（c為常數），那么，當a1=a2=…=an時，a1+a2+…+an有最小值。例如，a1×a2=9，…………→…………1×9=9→1+9=10；3×3=9→3+3=6；…………→…………由上述各式可見，當兩數差越小時，它們的和也就越小；當兩數差為0時，它們的和為最小。例題：用鐵絲圍成一個面積為16平方分米的長方形，如何下料，材料最省？解設長方形長為a分米，寬為b分米，依題意得a×b=16。要使材料最省，則長方形周長應最小，即a+b要最小。根據“和最小規律”，取a=b=4（分米）時，即用16分米長的鐵絲圍成一個正方形，所用的材料為最省。推論由“和最小規律”可以推出：在所有面積相等的封閉圖形中，以圓的周長為最小。例如，面積均為4平方分米的正方形和圓，正方形的周長為8分米；而的周長小于正方形的周長。【面積變化規律】在周長一定的正多邊形中，邊數越多，面積越大。為0.433×6=2.598（平方分米）。方形的面積。推論由這一面積變化規律，可以推出下面的結論：在周長一定的所有封閉圖形中，以圓的面積為最大。例如，周長為4分米的正方形面積為1平方分米；而周長為4分米的圓，于和它周長相等的正方形面積。【體積變化規律】在表面積一定的正多面體（各面為正n邊形，各面角和各二面角相等的多面體）中，面數越多，體積越大。例如，表面積為8平方厘米的正四面體S—ABC（如圖1.30），它每一個面均為正三角形，每個三角形面積為2平方厘米，它的體積約是1.1697立方厘米。而表面積為8平方厘米長約為1.1546厘米，體積約為1.539立方厘米。顯然，正方體體積大于正四面體體積。推論由這一體積變化規律，可推出如下結論：在表面積相等的所有封閉體中，以球的體積為最大。例如，表面積為8平方厘米的正四面體，體積約為1.1697立方米；表面積為8平方厘米的正六面體（正方體），體積約為1.539立方厘米；而表面積是8平方厘米的球，體積卻約有2.128立方厘米。可見上面的結論是正確的。【排序不等式】對于兩個有序數組：a1≤a2≤…≤an及b1≤b2≤…≤bn，則a1b1+a2b2+……+anb抇n（同序）T≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n（亂序）≥a1bn+a2bn-1+……+a>nb1（倒序）（其中b抇1、b抇2、……、b抇n為b1、b2、……、bn的任意一種排列（順序、倒序排列在外），當且僅當a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn時，式中等號成立。）由這一不等式可知，同序積之和為最大，倒序積之和為最小。例題：設有10個人各拿一只水桶，同時到一個水龍頭下接水。水龍頭注滿第一、第二、……九、十個人的桶，分別需要1、2、3、……、9、10分鐘。問：如何安排這10個人的排隊順序，可使每個人所費時間的總和盡可能少？這個總費時至少是多少分鐘？解設每人水桶注滿時間的一個有序數組為：1，2，3，……，9，10。打水時，等候的人數為第二個有序數組，等候時間最長的人數排前，這樣組成1，2，3，……，9，10。根據排序不等式，最小積的和為倒序，即1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2=（10+18+24+28+30）×2=220（分鐘）其排隊順序應為：根據注滿一桶水所需時間的多少，按從少到多的排法。3、最優方案與最佳策略【最優方案】例1某工廠每天要生產甲、乙兩種產品，按工藝規定，每件甲產品需分別在A、B、C、D四臺不同設備上加工2、1、4、0小時；每件乙產品需分別在A、B、C、D四臺不同設備上加工2、2、0、4小時。已知A、B、C、D四臺設備，每天最多能轉動的時間分別是12、8、16、12小時。生產一件甲產品該廠得利潤200元，生產一件乙產品得利潤300元。問：每天如何安排生產，才能得到最大利潤？（中國臺北第一屆小學數學競賽試題）講析：設每天生產甲產品a件，乙產品b件。由于設備A的轉動時間每天最多為12小時，則有：（2a＋2b）不超過12。又（a＋2b）不超過8，4a不超過16，4b不超過12。由以上四個條件知，當b取1時，a可取1、2、3、4；當b取2時，a可取1、2、3、4；當b取3時，a可取1、2。這樣，就是在以上情況下，求利潤200a＋300b的最大值。可列表如下：所以，每天安排生產4件甲產品，2件乙產品時，能得到最大利潤1400元。例2甲廠和乙廠是相鄰的兩個服裝廠。它們生產同一規格的成衣，每個廠的人員和設備都能進行上衣和褲子生產。由于各廠的特點不同，甲廠每月聯合生產，盡量發揮各自的特長多生產成衣。那么現在比過去每月能多生產成衣______套。（1989年全國小學數學奧林匹克初賽試題）的時間生產上衣。所以，甲廠長于生產褲子，乙廠長于生產上衣。如果甲廠全月生產褲子，則可生產如果乙廠全月生產上衣，則可生產把甲廠生產的褲子與乙廠生產的上衣配成2100套成衣，這時甲廠生產150條褲子的時間可用來生產成套的成衣故現在比過去每月可以多生產60套。【最佳策略】例1A、B二人從A開始，輪流在1、2、3、……、1990這1990個數中劃去一個數，直到最后剩下兩個數互質，那么B勝，否則A勝。問：誰能必勝？制勝的策略是什么？（《中華電力杯》少年數學競賽試題）講析：將這1990個數按每兩個數分為一組；（1、2），（3、4），（5、6），…，（1989、1990）。當A任意在括號中劃去一個時，B就在同一個括號中劃去另一個數。這樣B就一定能獲勝。例2桌上放有1992根火柴。甲乙兩人輪流從中任取，每次取得根數為1根或2根，規定取得最后一根火柴者勝。問：誰可獲勝？（1992年烏克蘭基輔市小學數學競賽試題）講析：因為兩人輪流各取一次后，可以做到只取3根。誰要搶到第1992根，誰就必須搶到第1989根，進而搶到第1986、1983、1980、…、6、3根。誰搶到第3根呢？自然是后取的人。即后取的可以獲勝。后者獲勝的策略是，當先取的人每取一次火柴梗時，他緊接著取一次，每次取的根數與先取的加起來的和等于3。例3有分別裝球73個和118個的兩個箱子，兩人輪流在任一箱中任意取球，規定取得最后一球者為勝。問：若要先取者為獲勝，應如何取？（上海市數學競賽試題）講析：先取者應不斷地讓后者在取球之前，使兩箱的球處于平衡狀態，即每次先取者取之后，使兩箱球保持相等。這樣，先取者一定獲勝。4、直接思路“直接思路”是解題中的常規思路。它一般是通過分析、綜合、歸納等方法，直接找到解題的途徑。【順向綜合思路】從已知條件出發，根據數量關系先選擇兩個已知數量，提出可以解決的問題；然后把所求出的數量作為新的已知條件，與其他的已知條件搭配，再提出可以解決的問題；這樣逐步推導，直到求出所要求的解為止。這就是順向綜合思路，運用這種思路解題的方法叫“綜合法”。例1兄弟倆騎車出外郊游，弟弟先出發，速度為每分鐘200米，弟弟出發5分鐘后，哥哥帶一條狗出發，以每分鐘250米的速度追趕弟弟，而狗以每分鐘300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，見到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，這時狗跑了多少千米？分析（按順向綜合思路探索）：（1）根據弟弟速度為每分鐘200米，出發5分鐘的條件，可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追趕弟弟的距離。（2）根據弟弟速度為每分鐘200米，哥哥速度為每分鐘250米，可以求什么？可以求出哥哥每分鐘能追上弟弟多少米。（3）通過計算后可以知道哥哥追趕弟弟的距離為1000米，每分鐘可追上的距離為50米，根據這兩個條件，可以求什么？可以求出哥哥趕上弟弟所需的時間。（4）狗在哥哥與弟弟之間來回不斷奔跑，看起來很復雜，仔細想一想，狗跑的時間與誰用的時間是一樣的？狗跑的時間與哥哥追上弟弟所用的時間是相同的。（5）已知狗以每分鐘300米的速度，在哥哥與弟弟之間來回奔跑，直到哥哥追上弟弟為止，和哥哥追上弟弟所需的時間，可以求什么？可以求出這時狗總共跑了多少距離？這個分析思路可以用下圖（圖2.1）表示。例2下面圖形（圖2.2）中有多少條線段？分析（仍可用綜合思路考慮）：我們知道，直線上兩點間的一段叫做線段，如果我們把上面任意相鄰兩點間的線段叫做基本線段，那么就可以這樣來計數。（1）左端點是A的線段有哪些？有ABACADAEAFAG共6條。（2）左端點是B的線段有哪些？有BC、BD、BE、BF、BG共5條。（3）左端點是C的線段有哪些？有CD、CE、CF、CG共4條。（4）左端點是D的線段有哪些？有DE、DF、DG共3條。（5）左端點是E的線段有哪些？有EF、EG共2條。（6）左端點是F的線段有哪些？有FG