試卷第=page88頁，共=sectionpages99頁試卷第=page11頁，共=sectionpages88頁北京市2020年中考數學試題【含答案、解析】學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．如圖是一個幾何體的三視圖，對這個幾何體的描述正確的是（

）A．底面是長方形 B．側面是三角形 C．三棱柱 D．四棱柱2．據國家統計局統計：2021年我國夏糧總產量2916億斤，比2020年增長2.1%，用科學記數法表示2916億，結果正確的是（）A． B． C． D．3．下列說法：（1）相等的角是對頂角；（2）同旁內角互補；（3）同角或等角的余角相等；（4）平行于同一直線的兩條直線互相平行；（5）垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；（6）過一點有且只有一條直線與已知直線平行；錯誤的有（

）A．5個 B．2個 C．3個 D．4個4．下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．5．正十二邊形的外角和為（）A．180° B．360° C．540° D．720°6．如圖，，以為原點，向右為正方向，為1個單位長度建立數軸．點表示數，則與的函數圖像大致是（

）

A．

B．

C．

D．

7．不透明的盒子放有三張大小、形狀及質地相同的卡片，卡片上分別寫有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩，小明從盒子中隨機抽取兩張卡片，卡片上詩的作者都是李白的概率（

）A． B． C． D．8．若點A（m,n）在y=x+b的圖像上，且2m-3n＞6，則b的取值范圍為（）A．b＞2 B．b＞-2 C．b＜2 D．b＜-2二、填空題9．若式子有意義，則的取值范圍為．10．關于的一元二次方程有兩個不同的實數根，，且，則．11．寫一個比小的有理數：．12．二元一次方程組的解為13．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（1，4）、（4，4），若直線y＝2x+b與線段AB有公共點，則b的值可以為．（寫出一個即可）14．如圖所示，在同一直線上，，，要使，需添加的一個條件是________，并說明理由．15．如圖，小個方格都是邊長為1的正方形，圖中四邊形的面積為．16．計算：．三、解答題17．數軸上兩點間的距離等于這兩點所對應的數的差的絕對值，例：如圖所示，點在數軸上分別對應的數為，則兩點間的距離表示為．根據以上知識解題：(1)若數軸上兩點表示的數為，則之間的距離為；(2)若數軸上兩點A、B表示的數為、．①之間的距離可用含的式子表示為；②若該兩點之間的距離為，那么值為．(3)的最小值為．18．一個等腰三角形的周長為．(1)一邊長為，求其他兩邊的長；(2)若腰長為n厘米，求n的范圍．19．先化簡，再求值：當時，求代數式的值．20．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A，B，C為的三個頂點，直線的解析式為．(1)如圖①，若點A在y軸上，點B在x軸上，，，求A，B兩點的坐標；(2)在（1）的條件下，過x軸上一點作于E，DE交y軸于點F，求的面積；(3)如圖②，將沿x軸向左平移，AC邊與y軸交于一點P（P不同于A和C兩點），過P作一直線與AB的延長線交于Q點，與x軸交于點M，且，在平移過程中，M點的坐標是否發生變化？如果不變，請寫出M點的坐標及理由．21．如圖，四邊形的對角線垂直于點，、分別為、中點，分別過點、作，，和交于點．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，時，求的長．22．請你用學習“一次函數”時積累的經驗和方法研究函數的圖象和性質，并解決問題．完成下列步驟，畫出函數的圖象；列表、填空；x0123y3______1______123描點：連線觀察圖象，當x______時，y隨x的增大而增大；結合圖象，不等式的解集為______．23．已知I是的內心，的延長線交的外接圓于點D，連接．(1)在圖1中：①證明：；②判斷外心的位置，并證明；(2)如圖2，若為的外接圓直徑，取中點O，且于點I，切圓O于點D，求的值．24．新知學習：在平面直角坐標系xOy中，圖形W在坐標軸上的投影長度定義如下：設點P（x1，y1），Q（x2，y2）是圖形W上的任意兩點．若|x1﹣x2|的最大值為m，則圖形W在x軸上的投影長度lx＝m；若|y1﹣y2|的最大值為n，則圖形W在y軸上的投影長度ly＝n．如圖①，圖形W在x軸上的投形長度lx＝|3﹣1|＝2；在y軸上的投影長度ly＝|4﹣0|＝4．(1)已知點A（3，3），B（4，1）．如圖②所示，若圖形W為△OAB，則lx＝，ly＝．(2)在圖②的基礎上，將△OAB繞點O逆時針旋轉90°得△OCD，若圖形W為△OCD，則lx＝，ly＝．(3)在圖②的基礎上，將△OAB繞點O順時針旋轉45°得△OEF，若圖形W為△OEF，則lx＝，ly＝．(4)如圖③，已知點C（4，0），點D在直線y＝﹣2x+6上，若圖形W為△OCD，當lx＝ly時，求點D的坐標．25．學校團委發起“愛心儲蓄”活動，鼓勵學生將自己的壓歲錢存入銀行，定期一年，到期后取回本金，而把利息捐給家庭貧困的兒童．學校共有學生1200人全部參加了此項活動，圖1是該校各年級學生人數比例分布的扇形統計圖，圖2是該校學生人均存款情況的條形統計圖．（1）求該學校的人均存款數；（2）若銀行一年定期存款的年利率是2.25%，且每702元能提供給1位家庭貧困兒童一年的基本費用，那么該學校一年能夠幫助多少位家庭貧困兒童？26．借鑒我們已有研究函數的經驗，探索函數y＝|x2﹣2x﹣3|的圖像與性質，研究過程如下，請補充完整．(1)自變量x的取值范圍是全體實數，x與y的幾組對應值列表如下：x…﹣2﹣101234…y…m03n305…其中，m＝，n＝；(2)根據上表數據，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出函數圖像；(3)觀察函數圖像：①寫出該函數的一條性質；②已知函數y＝x＋4的圖像如圖所示根據函數圖像，直接寫出不等式x＋4＜|x2﹣2x﹣3|的解集．（近似值保留一位小數，誤差不超過0.2）27．綜合與實踐問題情境：數學活動課上，同學們將繞點A順時針旋轉得到，點落在邊AB上，連接，過點作于點D．特例分析：（1）如圖1，若點D與點A重合，請判斷線段AC與BC之間的數量關系，并說明理由；探索發現：（2）如圖2，若點D在線段CA的延長線上．且，請判斷線段AD與之間的數量關系，并說明理由．28．在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于線段和x軸上的點P，給出如下定義：若將線段繞點P旋轉可以得到⊙的弦（分別為A，B的對應點），則稱線段為以P為中心的“相關線段”．(1)如圖，已知點，在線段，，中，以P為中心的“相關線段”是________；(2)已知點，線段是以P為中心的“相關線段”，求點F的橫坐標的取值范圍．(3)已知點，若直線上存在點F，使得線段是以P為中心的“相關線段”，直接寫出m的取值范圍：___________．答案第=page66頁，共=sectionpages77頁答案第=page77頁，共=sectionpages88頁《初中數學中考試題》參考答案題號12345678答案CDDCBAAD1．C【分析】根據三視圖可知這個幾何體為三棱柱，由此求解即可．【詳解】解：由三視圖可知，這個幾何體是一個三棱柱，∴底面是三角形，側面是長方形，故選C．【點睛】本題主要考查了幾何體的三視圖，熟知三視圖的定義是解題的關鍵．2．D【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數，當原數絕對值＜1時，n是負整數．【詳解】解：2916億＝291600000000＝2.916×1011．故選：D．【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．3．D【分析】根據對頂角的定義對①進行判斷；根據補角的定義對②進行判斷；根據余角的定義對③進行判斷；根據平行線的性質對④⑤⑥進行判斷．【詳解】（1）相等的角是對頂角,錯誤；（2）同旁內角互補,錯誤；（3）同角或等角的余角相等，正確；（4）平行于同一直線的兩條直線互相平行，正確；（5）垂直于同一條直線的兩條直線互相平行,條件缺少在同一平面內，錯誤；（6）已知直線外過一點，有且只有一條直線與已知直線平行，故錯誤；錯誤的命題有4個，故選：D【點睛】此題主要考查了對頂角的定義、余角及補角的定義和平行線的性質，關鍵是熟練掌握各知識點．4．C【分析】根據中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義判斷即可．【詳解】A.不是中心對稱圖形是軸對稱圖形，故該選項不符合題意，B.是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故該選項不符合題意，C.是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，故該選項符合題意，D.不是中心對稱圖形是軸對稱圖形，故該選項不符合題意，故選：C.【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義是解題的關鍵．5．B【分析】根據多邊形的外角和定理求解．【詳解】解：正十二邊形的外角和的度數為360°．故選：B．【點睛】本題考查多邊形的外角和，熟練掌握多邊形外角和定理是解題關鍵．6．A【分析】根據為1個單位長度建立數軸，且，故有個單位長度，繼而得到表示的數為，結合點表示數，得到，根據函數的屬性，畫圖象即可．本題考查了反比例函數的解析式確定和圖象的屬性，正確確定函數解析式是解題的關鍵．【詳解】根據為1個單位長度建立數軸，且，故有個單位長度，故得到表示的數為，由點表示數，得到，故選A．7．A【分析】可利用畫樹狀圖得到所有等可能的結果數，再找出滿足條件的結果數，然后利用概率公式求解即可．【詳解】解：設李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩分別為A、B、C，畫樹狀圖為：

由圖知，一共有6種等可能的結果，其中從盒子中隨機抽取兩張卡片，卡片上詩的作者都是李白的有2種，∴從盒子中隨機抽取兩張卡片，卡片上詩的作者都是李白的概率為，故選：A．【點睛】本題考查了用樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意題目中是放回試驗還是不放回實驗試驗．用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比．8．D【分析】由點A的坐標結合一次函數圖象上點的坐標特征，可得出m+b=n，2m-3n=-3b再由2m-3n＞6，，即可得出b的取值范圍．【詳解】∵點A（m,n）在y=x+b的圖像上，∴m+b=n，2m-3n=-3b，∵2m-3n＞6，∴-3b＞6

解得b＜-2.故選D.【點睛】本題考查一次函數圖象上點的坐標特征，一次函數圖象與系數的關系.9．【分析】根據二次根式有意義和分式有意義的條件列不等式組解答即可．【詳解】解：由題意可得：解得：．故填．【點睛】本題主要考查了二次根式有意義和分式有意義的條件，根據條件列出關于x的不等式組成為解答本題的關鍵．10．【分析】根據方程有兩不同實數根，得，求得再根據得，即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個不同的實數根，∴，解得：，∴∵∴，∵∴，故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式和根與系數關系，解師生關鍵是熟練掌握當一元二次方程有兩不相等實數根時，；當一元二次方程有兩相等實數根時，；當一元二次方程有兩不相等實數根時，．當時，一元二次方程有兩根，，則，．11．【分析】首先得到，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，且是無理數，∴是比小的有理數．故答案為：．【點睛】本題考查的是無理數的大小比較，掌握無理數的定義與大小比較的方法是解本題的關鍵．12．【分析】利用加減消元法求出解即可．【詳解】解：①×3-②×2得：，解得：，將代入②得：，則方程組的解為．故答案為：【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關鍵．13．0（答案不唯一）【分析】由點的坐標特征得出線段AB∥x軸，當直線y＝2x+b經過點A時，得出b＝2；當直線y＝2x+b經過點B時，得出b＝﹣4；即可得出答案．【詳解】解：當直線y＝2x+b經過點A（1，4）時，4＝2×1+b，解得：b＝2；當直線y＝2x+b經過點B（4，4）時，4＝2×4+b，解得：b＝﹣4．又∵直線y＝2x+b與線段AB有公共點，∴﹣4≤b≤2．故答案為：0（答案不唯一）．【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，用一次函數圖象上點的坐標特征，找出關于b的一元一次不等式是解題的關鍵．14．【分析】本題考查全等三角形判定．根據題意要證明，已知，兩個條件，抓住這兩個已知條件結合全等三角形判定定理即可得到本題答案．【詳解】解：∵在同一直線上，，，∴可添加條件：，理由如下：在和中，，∴（SAS），故答案為：．15．【分析】利用大正方形的面積減去四邊形周圍的小三角形面積即可．【詳解】解：四邊形ABCD的面積為：=，故答案為：．【點睛】此題主要考查了四邊形面積求法，掌握割補法是解題的關鍵．16．1【分析】先計算出絕對值符號里面的結果，再求得此題結果即可．【詳解】解：，故答案為：1．【點睛】此題考查了有理數的加法和絕對值，關鍵是掌握有理數的加法法則．17．(1)(2)①；②或(3)【分析】（1）根據題目已知中的兩點間的距離表示為．即可解答；（2）①根據題意用兩點距離表示即可求解；②根據題意列出方程，解方程即可求解；（3）求的最小值，由線段的性質，兩點之間，線段最短，可知當時，有最小值，再根據絕對值的性質即可求出最小值．【詳解】（1）解：數軸上兩點表示的數為，則之間的距離為，故答案為：；（2）①∵數軸上兩點A、B表示的數為、，∴之間的距離可用含的式子表示為：；故答案為：②依題意得，之間的距離用含的式子表示為：，則有，或，解得或，故答案為：或．（3）表示到與的距離的和，所以當時，有最小值，的最小值為．【點睛】本題主要考查了絕對值和數軸上兩點的距離，絕對值方程，掌握絕對值的定義是解題的關鍵．18．(1)，(2)【分析】本題主要查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關系：（1）分兩種情況：當腰長是時，當底邊長是時，即可求解；（2）根據等腰三角形的定義可得底邊長是，再由三角形的三邊關系，即可求解．【詳解】（1）解：當腰長是時，底邊長為，此時，不能構成三角形，舍去；當底邊長是時，腰長為，此時其他兩邊的長分別為，；綜上所述，其他兩邊的長分別為，；（2）解：∵腰長為n厘米，∴底邊長是，由三角形的三邊關系得：，解得：．19．；【分析】運用乘法公式，分式的性質，分式的混合運算進行化簡，再代入求值即可．【詳解】解：，當時，原式．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，掌握乘法公式，分式的性質，分式的混合運算法則，代入求值等知識是解題的關鍵．20．(1)，(2)6(3)M點的坐標不變化，，理由見解析【分析】（1）根據，得，根據直線AB的解析式為，點A在y軸上，令得，即可得；（2）根據，得，即可得，則，即可得，，則，利用ASA證明，即可得；（3）過點P作交BC于點N，則，，根據得，則，根據得，利用AAS證明，得，根據，，得，根據，可得，即可得．【詳解】（1）解．∵，，∴，∵直線AB的解析式為，點A在y軸上，∴令得，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∴，∴，，∴，在與中，∴（ASA），∴；（3）M點的坐標不發生變化，，理由如下，解：如圖所示，過點P作交BC于點N，則，，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即M點的坐標不發生變化．【點睛】本題考查了一次函數，全等三角形的判定與性質，等邊對等角，解題的關鍵是掌握并靈活運用這些知識點．21．(1)見解析(2)【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，根據題意得到，根據矩形的定義即可判定四邊形是矩形；（2）根據矩形的性質得到，根據三角形中位線定理得到，根據直角三角形的性質得到，根據勾股定理即可得到結論．【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，又，，四邊形是矩形；（2）解：四邊形是矩形，，、分別為、中點，是的中位線，，，，．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，三角形中位線定理，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關鍵．22．（1）①見解析，②，③見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據函數值填表即可；（2）根據圖象得出函數性質即可；（3）根據圖象得出不等式的解集即可．【詳解】解：填表正確x0123y3210123畫函數圖象如圖所示：由圖象可得：時，y隨x的增大而增大；由圖象可得：不等式的解集為；故答案為2；0；；．根據函數值填表即可；根據圖象得出函數性質即可；根據圖象得出不等式的解集即可．【點睛】本題考查了一次函與不等式的關系，一次函數的圖象等知識點．注意：求正比例函數，只要一對x，y的值就可以，因為它只有一個待定系數；而求一次函數y＝kx+b，則需要兩組x，y的值．23．(1)①見解析；②D為外心，證明見解析(2)2【分析】（1）①根據等弧所對的圓周角相等即可證明結論成立；②由，可證，得出，從而，可求出D為外心；（2）連接．由為的外接圓直徑可知切圓O于點D，根據余角的性質可證，由（1）的結論得，然后根據銳角三角函數的定義求解即可．【詳解】（1）①連接．∵I是的內心∴平分，∴，∴，∴②D為外心，證明如下：∵I是的內心∴平分，∴，∵，∴∴，∴∴D為外心；（2）連接．∵為的外接圓直徑，O為中點，∴O為的外接圓圓心．∵切圓O于點D，∴，即，∵，∴，∵為的外接圓直徑，∴，∴，∵，，∴．∵由（1）得，∴，∴．【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形的內心與外心，三角形外角的性質，切線的性質，等腰三角形的判定，解直角三角形，綜合運用各知識點是解答本題的關鍵．24．(1)4，3(2)3，4(3)，(4)(1，4)或（6，?6）【分析】(1)根據新定義進行解答即可；(2)過點D作于點M，過點B作于點N，可得，根據旋轉的性質可得OD=OB，可證得，即可求得點D的坐標，同理可求得點C的坐標，據此即可解答；(3)首先根據題意可知點A的對應點E在x軸上，設點F的坐標為(m,n)，根據兩點間距離公式，即可求得點E、F的坐標，據此即可解答；(4)設點D(d,?2d+6)，根據lx=ly，分四種情況：d<0，0<d<3，3<d<4，d>4，分別列出關于d的方程進行解答，即可分別求得．【詳解】（1）解：∵A(3,3)，B(4,1)，∴lx=|4?0|=4，ly=|3?0|=3，故答案為4；3；（2）解：如圖：將△OAB繞點O逆時針旋轉90°得△OCD，過點D作于點M，過點B作于點N，，，，，，，，OM=ON=4，，過點A作于點H，過點C作于點K，同理可求得點C的坐標為(-3,3)，∴lx=|-3?0|=3，ly=|4?0|=4，故答案為：3，4；（3）解：如圖：將△OAB繞點O順時針旋轉45°得△OEF，∵A(3,3)，點A的對應點E在x軸上，，點E的坐標為，∵B(4,1)，，，設點F的坐標為(m,n)，則，解得或(舍去)，故點F的坐標為，∴，，故答案為：，；（4）解：∵點D在直線y=?2x+6上，∴設D(d,?2d+6)，直線y=?2x+6經過一、二、四象限，與坐標軸的交點分別為(3,0)、(0,6)，∵點C(4,0)，lx=ly，∴①當d<0時，點D在第二象限，，∵|4?d|=|?2d+6|，∴4?d=?2d+6，解得，d=2(舍)；②當0<d<3時，點D在第一象限，∴4=?2d+6，解得，d=1，此時D(1,4)；③當3<d<4時，點D在第四象限，，∴4=2d?6，解得d=5(舍去)；④當d>4時，點D在第四象限，，∴d=2d?6，解得d=6，此時D(6,?6)；綜上，D點的坐標為(1,4)或(6,?6)．【點睛】本題考查了對新定義的理解，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，坐標與圖形、解二元二次方程組等知識，采用分類討論的思想是解決本題的關鍵．25．（1）390（元）；（2）15位【分析】（1）結合兩個統計圖運用加權平均數進行計算即可；（2）首先根據利息＝本金×利率，計算利息，然后用除法計算人數即可．【詳解】解：（1）由題意得：七年級人數：1200×40%＝480（人），八年級人數：1200×35%＝420（人），九年級人數：1200×25%＝300（人）．人均存款數為：（400×480+300×420+500×300）÷1200＝390（元）；（2）利息為：390×1200×2.25%＝10530（元），10530÷702＝15（人），答：該學校一年能幫助15位家庭貧困兒童．【點睛】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用．讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖能夠表示各部分占總體的百分比．注意加權平均數的正確計算方法．26．(1)5，4(2)見解析(3)①圖象具有對稱性，對稱軸是直線x=1；②x＜-1.6或x＞4.3【分析】（1）把x=-2和x=1分別代入y=|x2-2x-3|，即可求得；（2）描點、連線畫出圖象即可；（3）①根據圖象即可求得；②根據圖象即可求得．【小題1】解：把x=-2代入y=|x2-2x-3|，得y=5，∴m=5，把x=1代入y=|x2-2x-3|，得y=4，∴n=4，故答案為：5，4；【小題2】如圖所示；【小題3】①函數的性質：圖象具有對稱性，對稱軸是直線x=1；故答案為：圖象具有對稱性，對稱軸是直線x=1；②由圖象可知，不等式x+4＜|x2-2x-3|的解集為x＜-1.6或x＞4.3．【點睛】本題考查了二次函數圖象和性質，二次函數圖象上點的坐標特征，一次函數與一次不