第二十七章相似一、選擇題(每小題3分,共30分)1.下列各選項:①兩個邊長不等的等邊三角形;②兩個邊長不等的正方形;③兩個邊長不等的菱形;④兩個斜邊不等的等腰直角三角形.其中兩個圖形一定相似的有(C)A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④2.已知四邊形ABCD∽四邊形EFGH,且AB=3,EF=4,FG=5.則四邊形EFGH與四邊形ABCD的相似比為(C)A.3∶4 B.3∶5 C.4∶3 D.5∶33.如圖,把△ABC按相似比2放大得到△A′B′C′,則位似中心可以是(B)A.G點 B.F點 C.E點 D.D點4.如圖,在△ECD中,∠C=90°,AB⊥EC于點B,AB=1.2,EB=1.6,BC=12.4,則CD的長是(C)A.14 B.12.4 C.10.5 D.9.35.如圖,在四邊形ABCD中,∠ADC=∠BAC,則添加下列條件后,不能判定△ADC和△BAC相似的是(C)A.CA平分∠BCD B.∠DAC=∠ABC C.ACBC=CDAC D.AD6.如圖,AB∥CD∥EF,AF交BE于點G,若AC=CG,AG=FG,則下列結論錯誤的是(D)A.DGBG=12 B.CDEF=12 C.CGCF=17.(2024煙臺期末)一種燕尾夾如圖①,圖②是閉合狀態時的示意圖,圖③是打開狀態時的示意圖(數據如圖,單位:mm),從圖②閉合狀態到圖③打開狀態,點B,D之間的距離減少了(A) ①② ③A.25mm B.20mm C.15mm D.8mm8.如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的頂點坐標分別是A(1,2),B(1,1),C(3,1),以原點為位似中心,在原點的同側畫△DEF,使△DEF與△ABC成位似圖形,且相似比為2∶1,則線段DF的長度為(D)A.5 B.2 C.4 D.259.在平面直角坐標系中,將一個直角三角形如圖放置,直角頂點與原點O重合,頂點A,B恰好分別落在函數y=-1x(x<0),y=9x(x>0)的圖象上,則A.13 B.3310 C.101010.如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=22,E,F分別是AD,CD的中點,連接BE,BF,EF.若四邊形ABCD的面積為6,則△BEF的面積為(C)A.2 B.94 C.52 二、填空題(每小題3分,共18分)11.四條線段a,b,c,d成比例,其中a=1cm,b=3cm,c=3cm,則線段d=9cm.

12.(成都中考)如圖,△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形.若OA∶AD=2∶3,則△ABC與△DEF的周長比是2∶5.

13.如圖,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延長線于點F,若AD=1,BD=2,BC=4,則EF=2314.(2024石家莊期末)如圖,小明為了測量一涼亭的高度AB(頂端A到水平地面BD的距離),在涼亭的旁邊放置一個與涼亭臺階BC等高的臺階DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三點共線),把一面鏡子水平放置在平臺上的點G處,測得CG=15米,然后沿直線CG后退到點E處,這時恰好在鏡子里看到涼亭的頂端A,測得EG=3米,小明眼睛到臺階DE的距離為1.6米,則涼亭的高度AB約為8.5米.

15.(錦州中考)如圖,在正方形ABCD中,E為AD的中點,連接BE,AC交于點F.若AB=6,則△AEF的面積為3.

16.如圖,CE垂直平分?ABCD的邊AB,垂足為點O,CE與DA的延長線交于點E,連接AC,BE,DO,DO與AC交于點F,則下列結論:①四邊形ACBE是菱形;②∠ACD=∠BAE;③AF∶BE=2∶3;④S四邊形AFOE∶S△COD=2∶3.其中正確的結論有①②④.(填寫所有正確結論的序號)

三、解答題(共52分)17.(6分)如圖,DE∥BC,EF∥CG,AD∶AB=1∶3,AE=3.(1)求EC的長;(2)求證:AD·AG=AF·AB.(1)解:∵DE∥BC,∴ADAB=AEAC.又∵ADAB∴3AC=1(2)證明:∵DE∥BC,EF∥CG,∴ADAB=AEAC=AFAG,∴AD·18.(7分)(2024威海期末)如圖的平面直角坐標系中,△ABC的三個頂點坐標分別為A(-3,2),B(-1,3),C(-1,1),請按如下要求畫圖:(1)以坐標原點O為旋轉中心,將△ABC順時針旋轉90°,得到△A1B1C1,請畫出△A1B1C1,并寫出點B的對應點B1的坐標;(2)以坐標原點O為位似中心,在x軸下方,畫出△ABC的位似圖形△A2B2C2,使它與△ABC的相似比為2∶1,并寫出點B的對應點B2的坐標;(3)△ABC內部一點M的坐標為(a,b),寫出點M在△A2B2C2中的對應點M2的坐標.解:(1)如圖,△A1B1C1即為所求,其中點B的對應點B1的坐標為(3,1).(2)如圖,△A2B2C2即為所求,點B的對應點B2的坐標為(2,-6).(3)點M在△A2B2C2中的對應點M2的坐標為(-2a,-2b).19.(8分)(2024青島期中)如圖①,在反射現象中,反射光線、入射光線和法線都在同一個平面內;反射光線和入射光線分別位于法線兩側;反射角r等于入射角i.這就是光的反射定律.【問題解決】如圖②(示意圖),小亮在P處放置一面平面鏡(平面鏡的大小忽略不計),他站在C處通過平面鏡恰好能看到塔的頂端A,此時測得小亮到平面鏡的距離CP為4米.已知平面鏡到塔底部中心的距離PB為247.5米,小亮眼睛到地面的距離DC為1.6米,C,P,B在同一水平直線上,且DC,AB均垂直于CB.請你幫小亮計算出塔的高度AB.①②解:由光的反射定律,得∠CPD=∠BPA.∵DC,AB均垂直于CB,∴∠DCP=∠ABP=90°,∴△DCP∽△ABP,∴DC∶AB=PC∶PB,∴1.6∶AB=4∶247.5,∴AB=99米.答:塔的高度AB是99米.20.(9分)(2024泰安模擬)如圖,點P在△ABC的外部,連接AP,BP,在△ABC的外部分別作∠1=∠BAC,∠2=∠ABP,連接PQ.(1)求證:AC·AP=AB·AQ;(2)判斷∠PQA與∠ACB的數量關系,并說明理由.(1)證明:∵∠1=∠BAC,∴∠1+∠PAC=∠BAC+∠PAC,∴∠CAQ=∠BAP.又∵∠2=∠ABP,∴△CAQ∽△BAP,∴ACAB=AQ∴AC·AP=AB·AQ.(2)解:∠PQA=∠ACB.理由:∵AC·AP=AB·AQ,∴APAB=AQ又∵∠1=∠BAC,∴△APQ∽△ABC,∴∠PQA=∠ACB.21.(10分)(2023溫州)如圖,已知矩形ABCD,點E在CB延長線上,點F在BC延長線上,過點F作FH⊥EF交ED的延長線于點H,連接AF交EH于點G,GE=GH.(1)求證:BE=CF;(2)當ABFH=5(1)證明:∵FH⊥EF,GE=GH,∴GE=GF=GH,∴∠GFE=∠E.∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠ABC=∠DCB=90°,∴△ABF≌△DCE(AAS),∴BF=CE,∴BF-BC=CE-BC,即BE=CF.(2)解:∵FH⊥EF,∠BCD=90°,∴CD∥FH,∴△DCE∽△HFE,∴ECEF=CD∵CD=AB,∴CDFH=ABFH=設BE=CF=x,∵BC=AD=4,∴CE=x+4,EF=2x+4,∴x+42x22.(12分)(1)嘗試:如圖①,將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉一定角度得到△AB′C′,點B,C的對應點分別為B′,C′,連接BB′,CC′,圖中有哪對三角形相似(非全等)?給出證明.(2)拓展:如圖②,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉一定角度得到△AB′C′,點B,C的對應點分別為B′,C′,連接BB′,CC′,若BB′=8,求CC′的長.(3)應用:如圖③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,∠ABC=30°,將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉一周,在旋轉過程中,當點B的對應點B′恰好落在Rt△ABC的BC邊所在的直線上時,直接寫出此時點C的運動路徑長.①②③解:(1)△ABB′∽△ACC′.證明如下:∵△AB′C′是由△ABC旋轉得到的,∴∠BAC=∠B′AC′,AB=AB′,AC=AC′,∴∠BAC+∠CAB′=∠B′AC′+∠CAB′,即∠BAB′=∠CAC′,ABAC=AB∴△ABB′∽△ACC′.(2)∵AC=BC,∠ACB=90°,∴根據勾股定理,得AB=AC2+BC2同(1)可證△ABB′∽△ACC′,∴ABAC=BB∴CC′=AC·BB'(3)∵在Rt△ABC中,AB=2,∠ABC=30°,∴AC=12AB=1,∠BAC=60°當點B