專題62角的度量和畫法

考點聚焦

重點速記

一、角的畫法。

1．畫一條射線，使量角器的中心和射線的端點重合，0刻度線和射線重合．

2．在量角器刻度線的地方點一個點．

3．以畫出的射線的端點為端點，通過剛畫的點，再畫一條射線．

4．畫完后在角上標上符號，寫出度數．

二、角的度量。

1．角的度量：角度的測量是最基本的測量，最常用的工具是量角器．

2．角的度量單位通常有兩種，一種是角度制，另一種就是弧度制．

1

角度制，就是用角的大小來度量角的大小的方法．在角度制中，我們把周角的看作1度，

360

那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因為圓的大小而改變，所以角

度大小是一個與圓的半徑無關的量．

弧度制，顧名思義，就是用弧的長度來度量角的大小的方法．單位弧度定義為圓周上長度等

于半徑的圓弧與圓心構成的角．由于圓弧長短與圓半徑之比，不因為圓的大小而改變，所以

弧度數也是一個與圓的半徑無關的量．角度以弧度給出時，通常不寫弧度單位，有時記為rad

或R．

3．度量方法：

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量角要注意兩對齊：量角器的中心和角的頂點對齊．

量角器的0刻度線和角的一條邊對齊．

做到兩對齊后看角的另一條邊對著刻度線幾，這個角就是幾度．

看刻度要分清內外圈．

三、畫指定度數的角。

1、三角板能畫出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是

30°，45°，60°，90度的和差，因為通過三角尺只能作角的和差．其余的度數只能通過量

角器畫角．

2、30°和60°可以通過30°直角三角形得到．

4、45°通過等腰直角三角形可以得到．

5、90°的角兩個直角三角形尺都可以得到．

四、多邊形的內角和及鐘表上的角度。

邊形內角和定理n邊形的內角的和等于：（n-2）×180°（n大于等于3）．

鐘面上一共有12個大格，每一個大格包含5個小格。由分針一小時走12個大格，時針一小

時走1個大格，可以得出，分針的速度是時針的12倍。

①用格數表示

分針一分鐘走1個小格，時針走1/12個小格。

②用角度表示

分針一分鐘旋轉6°，時針一分鐘旋轉0.5°。

真題專練

一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

1．（2分）（2023?林芝市）下列時間中，時針和分針的夾角成30度的角是（）

A．2時整B．8時整C．9時整D．11時整

2．（2分）（2023?成華區）如圖，估一估，圖中臺燈燈桿夾角大約是()

A．80°B．120°C．160°

3．如圖，兩條直線相交形成四個角。為了說明圖中的D2=D4，曉曉的理由是：

因為：D1+D2=180°，D1+D4=180°（平角等于180°)

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所以：D1+D2=D1+D4

也就得出：D2=D4。這里運用了()

A．加法交換律B．等式的性質C．減法的性質?

4．（2分）（2023?滁州）從上午11時到下午3時30分，鐘面上時針轉過的夾角是()°

A．75B．90C．105D．135

5．（2分）（2023?安溪縣）關于“圖形與幾何”，下面說法正確的是()

A．9時30分的時候，鐘面上時針和分針組成的較小夾角是直角

B．一個圓的半徑擴大到原來的2倍，周長和面積也擴大到原來的2倍

C．圓柱的側面積=底面積′高

D．將一個長方形框架拉成平行四邊形，它的面積變小，周長不變

6．（2分）（2023?大東區）從正面觀察一個蜂巢，發現它是排列得整整齊齊的正六邊形（六

條邊、六個內角都相等的六邊形）。正六邊形的內角和是()

A．720°B．900°C．1080°D．1800°

7．（2分）（2022?江都區）如圖，把三角形ABC的邊AB延長到點D，那么D1+D2(

)D4。

A．>B．<C．=D．無法確定

8．（2分）（2022?大東區）一個六邊形（如圖）的內角和是()

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A．900°B．720°C．540°D．1080°

二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9．（2分）（2023?豐澤區）如圖，兩條直線相交，∠1和∠3是一組對頂角。“兩條直線相

交，對頂角相等”，這是為什么呢？不測量，請你根據已學的知識推導出∠1＝∠3。（嘗試

用“因為”“所以”推導）我的推導過程：。

10．（2分）（2023?涵江區）如圖，小紅說：“D1+D2=D4”。小紅說得對嗎？（填

“對”或“不對”)，理由是。

11．（2分）（2023?靈壽縣）三角形的內角和是180°，四邊形的內角和是360°，六邊形的內

角和是，n邊形的內角和是(n大于或等于3)．

12．如圖，直線AB與直線CD相交于O點。已知D3=50°，通過推理可得，D2=°。

13．（2分）（2023?杜爾伯特縣）9時整，鐘面的時針和分針成度的角；8時03分，

鐘面的時針和分針的夾角是角。

14．（2分）（2023?西峽縣）一個多邊形的內角和是1080°，這個多邊形有條邊。

15．如圖是一張長方形紙折起來以后的圖形。已知D1=30°，則D2=

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16．（2分）（2022?江華縣）一個等腰三角形的頂角與一個底角的比是2:1，它的頂角是

度．

三．判斷題（共4小題，滿分8分，每小題2分）

17．（2分）（2023?石河子）用一副三角尺可以拼出100°的角．

18．（2分）（2023?懷柔區）鐘表只有在9時，時針和分針構成的較小角才是90°．．

19．（2分）（2023?侯馬市）從6時到6時15分，鐘表上的分針旋轉了90°．．

20．（2分）（2023?正陽縣）根據等量的等量相等，可以得出D1=D2+D3。

四．操作題（共1小題，滿分6分，每小題6分）

21．（6分）（2021?涪城區）觀察下面的圖形并填表．

圖形三角形四邊形五邊形六邊形?n邊形

邊數3456?

分成三角形的個數1234?

內角和180°180°′2180°′3?

五．解答題（共6小題，滿分54分）

22．（6分）（2023?長興縣）如圖，已知AO^BO(“^”表示垂直），CO^DO。請你用推

理說明：D1=D2。

23．（6分）（2023?松北區）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分DAOC。

（1）若DDOE=130°，求DBOC的度數；

（2）過點O作OF^OE，請直接寫出和DBOF互補的角。

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24．（6分）（2023?江北區）根據表中規律探究多邊形內角和。

類型三角形四邊形

圖例

內角和180°180°′2=360°

（1）求六邊形的內角和。請畫一個六邊形，先分一分，再算一算。

（2）求n邊形內角和的算式是。

25．（12分）（2023?禹會區）同學們，你認識多邊形的外角嗎？多邊形的邊與它鄰邊延長

線組成的角就是它的外角。如圖，D1、D2、D3就是三角形的三個外角，D4、D5、D6、D7

就是四邊形的四個外角。

（1）仔細觀察每個圖形的內角與外角之間關系，畫一畫，算一算想辦法推算出每個圖形的外

角的和各是多少度？

（2）初步得出結論：三角形三個外角和是°；四邊形四個外角的和是°。

（3）根據上面的發現，你有什么猜想？

26．（12分）（2022?西雙版納）李叔叔是個臺球迷，他發現當臺球撞向桌邊時就會向另一

個方向彈走，如圖所示。（臺球運動中的阻力不計）

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（1）請你量出每個角的度數。

D1=，D2=，D3=，D4=。

（2）通過量角的度數，你的發現是：.

（3）請運用發現的特點完成下面臺球的運動線路圖。

27．（12分）（2022?蓬萊市）有公共頂點的兩個角，DAOB=DCOD，且OE為DBOC的角平

分線。

（1）如圖1，請探索DAOE和DDOE的大小關系，并說明理由；

（2）如圖2，DAOE和DDOE是否仍然滿足（1）中關系？請說明理由；

（3）若DAOB=90°，DAOC=64°，求出DBOE的度數。

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專題62角的度量和畫法

參考答案

一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

1．【分析】鐘面上每個時刻將鐘面分成12份，每份對應的角度是（360÷12）°，看某個時

刻分針與時針的夾角，則看相差多少個大格，從而可以求解。

【解答】解：A、2時整，時針和分針的夾角是：30×2＝60（度）；

B、8時整，時針和分針的夾角是：30×4＝120（度）

C、9時整，時針和分針的夾角是：30×3＝90（度）；

D、11時整，時針和分針的夾角是：30×1＝30（度）。故選：D。

【點評】解答此題的關鍵是看鐘面上12個時刻將鐘面分成了12份，每份是30度，再看要求

的是什么時刻，用大格數乘30度即可。

2．【分析】直角三角板上有一個90度的直角，可以利用三角板的直角測量，從圖中看出臺

燈燈桿夾角是一個90度加30度的鈍角，據此測量解答。

【解答】解：圖中臺燈燈桿夾角大約是90°+30°=120°。

答：圖中臺燈燈桿夾角大約是120°。故選：B。

【點評】本題考查了角的度量方法，結合題意分析解答即可。

3．【分析】等式是含有等號且等號兩邊都相等的式子。等式兩邊同時加上（或減去）同一個

數，等式仍然成立。等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的數，等式仍然成立。

【解答】解：D1+D2=D1+D4，兩邊同時減去D1，得到：D2=D4。運用了等式的性質。

故選：B。

【點評】此題考查了等式的性質，要熟練掌握。

4．【分析】經過1小時，鐘面上分針轉過了一周，即360度，時針轉過一個大格，即30度，

據此解答即可。

【解答】解從上午11時到下午3時30分，時針轉動了4.5個大格。

30°′4.5=135°

答：從上午11時到下午3時30分，鐘面上時針轉過的夾角是135°。故選：D。

【點評】本題考查了角的計算知識，結合鐘表知識解答即可。

5．【分析】根據鐘表知識、圖形的放大和縮小知識、圓柱的側面積公式以及長方形和平行四

邊形的面積公式，結合選項逐一分析解答即可。

【解答】解：A.9時30分時，分針指在6上，時針在9和10中間；時針如在9上時，夾角是

90度，時針在9和10中間，所以不是直角，所以本選項說法錯誤；

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B.一個圓的半徑擴大到原來的2倍，周長擴大到原來的2倍，面積擴大到原來的4倍，所以

本選項說法錯誤；

C.圓柱的側面積=底面周長′高，所以本選項說法錯誤；

D.將一個長方形框架拉成平行四邊形，它的面積變小，周長不變，說法正確。故選：D。

【點評】本題考查了鐘表知識、圖形的放大和縮小知識、圓柱的側面積公式以及長方形和平

行四邊形的面積公式，結合選項分析解答即可。

6．【分析】利用n邊形的內角和=(n-2)′180°計算即可。

【解答】解：(6-2)′180°

=4′180°

=720°

故選：A。

【點評】本題主要考查多邊形內角和公式的應用。

7．【分析】根據三角形內角和為180°，可知D3+D1+D2=180°，又因為平角=180°，可知

D3+D4=180°，據此可知D1+D2=180°-D3，D4=180°-D3。所以D1+D2=D4。

【解答】解：把三角形ABC的邊AB延長到點D，那么D1+D2=D4。故選：C。

【點評】本題考查角度的計算及應用。理解三角形內角和和平角的度數是解決本題的關鍵。

8．【分析】根據多邊形的內角和=180°′(n-2)，把數據代入公式解答即可。

【解答】解：180°′(6-2)

=180°′4

=720°

答：正六邊形的內角和是720°。故選：B。

【點評】此題主要考查四邊形內角和公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。

二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9．【分析】利用平角的定義，結合圖示可知∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，據此進行解

答即可。

【解答】解：因為∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，所以∠1＝∠3。

故答案為：因為∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，所以∠1＝∠3。

【點評】本題主要考查了線與角的綜合知識，結合平角知識，分析解答即可。

10．【分析】三角形的內角和是180°，則D1、D2與D3的和是180°，一個平角是180°，則D3

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與D4的和是180°，那么D1與D2的和等于D4，據此解答。

【解答】解：分析可知，小紅說得對，因為D1+D2+D3=180°，D3+D4=180°，所以

D1+D2=D4。

故答案為：對，因為D1+D2+D3=180°，D3+D4=180°，所以D1+D2=D4。

【點評】熟記三角形的內角和與平角的度數是解答題目的關鍵。

11．【分析】三角形的內角和是180°；

從四邊形的一個頂點可以引出1條對角線，把四邊形分成2個三角形，那么它的內角和是

180°′2=360°；

從五邊形的一個頂點可以引出2條對角線，把五邊形分成3個三角形，那么它的內角和是

180°′3=540°；

從六邊形的一個頂點可以引出3條對角線，把六邊形分成4個三角形，那么它的內角和是

180°′4=720°；

?

從n(n大于或等于3)邊形的一個頂點可以引出(n-3)條對角線，把n邊形分成(n-2)個三角形；

那么n邊形的內角和為180°′(n-2)(n大于或等于3)，據此解答．

【解答】解：從四邊形的一個頂點可以引出1條對角線，把四邊形分成2個三角形，那么它

的內角和是180°′2=360°；

從五邊形的一個頂點可以引出2條對角線，把五邊形分成3個三角形，那么它的內角和是

180°′3=540°；

從六邊形的一個頂點可以引出3條對角線，把六邊形分成4個三角形，那么它的內角和是

180°′4=720°；

?

從n(n大于或等于3)邊形的一個頂點可以引出(n-3)條對角線，把n邊形分成(n-2)個三角形；

那么n邊形的內角和為180°′(n-2)．

答：三角形的內角和是180°，四邊形的內角和是360°，六邊形的內角和是720°，n形的內角和

是180°′(n-2)(n大于或等于3)．故答案為：720°，180°′(n-2)．

【點評】本題考查了多邊形的內角和公式的推導，理清過同一個頂點把多邊形分成的三角形

的個數是解題的關鍵，也是本題的難點．

12．【分析】根據圖形，先運用垂直定義和D3求出D1，再利用D1和D2互補，相加等于

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180°，從而求出D2的度數，據此解答。

【解答】解：由圖可知，OE^AB，即DAOE=DBOE=90°

又D1+D3=DBOE=90°，D3=50°

可知，D1=DBOE-D3

=90°-50°

=40°

D1+D2=180°

D2=180°-D1

=180°-40°

=140°

答：D2=140°。故答案為：140。

【點評】本題考查角度數的計算，關鍵要抓住圖形中已知條件與所求角之間的關系，靈活運

用直角、補角來解題。

13．【分析】因為鐘面上12個數字，以表芯為旋轉點，表針轉一圈是360°，被12個數字平

均分成12份，每一份也就是兩數之間夾角是30°，9時整，時針指著9，分針指著12，兩針

相差3個大格，是90°；8時3分，時針在8和9之間，分針指向0和1之間，所以鐘面的時

針和分針的夾角是鈍角；由此解答即可。

【解答】解：9時整，鐘面的時針和分針成90度的角；8時03分，鐘面的時針和分針的夾角

是鈍角。故答案為：90，鈍。

【點評】本題考查鐘表時針與分針的夾角，“鐘表12個數字，每相鄰兩個數字之間的夾角為

30°”是常用的基本知識。

14．【分析】根據多邊形內角和公式：n邊形內角和=(n-2)′180°，計算即可。

【解答】解：1080°?180°+2

=6+2

=8（條)

答：這個多邊形有8條邊。故答案為：8。

【點評】本題主要考查多邊形內角和公式的應用。

15．【分析】把這張長方形紙展開，以D1的頂點為頂點的角是一個平角，平角=180°，折起

來后D2蓋住了一個與它度數相等的角，也就是2D2與D1的和是180°，據此解答。

【解答】解：由分析得：

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D2=(180°-30°)?2

=150°?2

=75°

答：D2=75°。故答案為：75°。

【點評】本題是考查簡單的圖形折疊問題、角的度量。

16．【分析】因為等腰三角形的兩個底角相等，所以頂角與兩個底角的比是2:1:1，因為三角

形的內角和定理，利用比例分配的方法，即可求出頂角的度數．

2

【解答】解：180°′=90°，

2+1+1

答：頂角是90度．故答案為：90．

【點評】查了三角形的內角和定理及等腰三角形的性質的運用．

三．判斷題（共4小題，滿分8分，每小題2分）

17．【分析】一副三角板，一個三角板的角有30°、60°、90°，等腰直角三角板的角有45°、

90°，用它們進行拼組，看是否能得出100°即可．

【解答】解：一副三角尺中的角的度數分別是30°，45°，60°，90°用它們進行拼組得不到100°

的角；故答案為：錯誤．

【點評】解決本題的關鍵是正確記憶三角板上各個角的度數．

18．【分析】舉反例：3時，時針和分針構成的較小角是90°，依此即可作出判斷．

【解答】解：鐘表在3時，時針和分針構成的較小角也是90°．

故鐘表只有在9時，時針和分針構成的較小角才是90°是錯誤的．故答案為：錯誤．

【點評】考查了鐘面問題，本題關鍵是反例法的運用．

19．【分析】從6時到6時15分，鐘表上的分針從“12”走到了“3”走了15個格子，因每

個格子對應的圓心角是360°?60=6°，據此可解答．

【解答】解：360°?60′15=6°′15=90°．故答案為：正確．

【點評】本題考查了學生對鐘面上組成夾角的掌握情況，有一定難度．

20．【分析】如圖：，因為D1=180°-D4，D2+D3=180°-D4，所以根據

等量相等D1=D4，據此解答。

【解答】解：如圖：

因為：D1=180°-D4

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D2+D3=180°-D4

所以：D1=D2+D3

故原題說法正確。故答案為：?。

【點評】本題考查的是線段與角的綜合，看懂圖片是解答關鍵。

四．操作題（共1小題，滿分6分，每小題6分）

21．【分析】根據過同一頂點作出的對角線把多邊形分成的三角形的個數的規律，再利用三

角形的內角和等于180°即可推出多邊形的內角和公式．

【解答】解：

圖形三角形四邊形五邊形六邊形?n邊形

邊數3456?n

分成三角形的個數1234?n-2

內角和180°180°′2180°′3180°′4?180°′(n-2)

【點評】本題考查了多邊形的內角和公式的推導，理清過同一個頂點把多邊形分成的三角形

的個數是解題的關鍵，也是本題的難點．

五．解答題（共6小題，滿分54分）

22．【分析】根據互相垂直的兩條射線，形成的角是直角，可知D1+DCOB=90°，

D2+DCOB=90°，所以D1=D2=90°-DCOB。據此即可判斷：D1=D2。

【解答】解：D1+DCOB=90°，D2+DCOB=90°，所以D1=D2=90°-DCOB。

據此即可判斷：D1=D2。

【點評】本題考查角度的計算。

23．【分析】（1）因為DDOE=130°，OE平分DAOC，DCOE=DEOA；直線AB、CD相交于

點O，所以，DCOB=DAOD，則DEOB=DCOE+DBOC=130°，因為周角是360°，

DBOD=360°-130°-130°=100°，平角是180°，DBOC=180°-100°=80°，據此解答；

（2）和DBOF互補的角是DAOF。

【解答】解：（1）DBOD=360°-130°-130°

=360°-260°

=100°

DBOC=180°-100°

=80°

答：DBOC的度數是80°。

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（2）和DBOF互補的角是DAOF。

【點評】本題考查的是線段與角的綜合，知道周角是360°和平角是180°是解答關鍵。

24．【分析】（1）六邊形可以分成4個三角形，所以六邊形是內角和是180°′4=720°。

（2）n邊形的內角和=180°′(n-2)，據此解答即可。

【解答】解：（1）作圖如下：

180°′4=720°

（2）求n邊形內角和的算式是180°′(n-2)。故答案為：180°′(n-2)。

【點評】此題考查的目的是理解掌握多邊形的內角和公式及應用。

25．【分析】（1）如下圖：DCBD、DBAF、DACE是DABC的三個外角，DCBD、DBAF、DACE

和DABC三內角。三角形的內角和是180°，根據平角的意義，平角是180°，據此可以求出三角

形3個外角的和。同理：推導出四邊形的外角和等于四邊形的內角和。

（2）初步得出結論：三角形三個外角和是360°；四邊形四個外角的和是360°。

（3）根據上面的發現，我猜想n邊形的外角和=360°。

【解答】解：（1）如圖：

因為在DABC中，

DABC+DBAC+DACB=180°

所以DBAC+DACB=180°-DABC

因為DABC+DCBD=180°

所以DCBD=180°-DABC

所以DCBD=DBAC+DACB

同理可得：DBAF=DABC+DACB，DACE=DBAC+DABC。

因此，我們得到一個重要的結論：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，三角

形的外角和等于三角形的內角和的2倍。

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同理可得：四邊形的外角和等于四邊形的內角和。

（2）初步得出結論：三角形三個外角和是360°；四邊形四個外角的和是360°。

（3）根據上面的發現，我猜想n邊形的外角和=360°。

故答案為：因為在DABC中，

DABC+DBAC+DACB=180°

所以DBAC+DACB=180°-DABC

因為DABC+DCBD=180°

所以DCBD=180°-DABC

所以DCBD=DBAC+DACB

同理可得：DBAF=DABC+DACB，DACE=DBAC+DABC。

因此，我