專題29方陣問題

考點聚焦

重點速記

將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類

問題就叫做方陣問題．

數量關系：

（1）方陣每邊人數與四周人數的關系：

四周人數=（每邊人數-1）×4

每邊人數=四周人數÷4+1

（2）方陣總人數的求法：

實心方陣：總人數=每邊人數×每邊人數

空心方陣：總人數=（外邊人數）2-（內邊人數）2

內邊人數=外邊人數-層數×2

（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總人數=（每邊人數-層數）×層數×4．

真題專練

一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

1．（2分）四年級組成了一個正方形隊列，準備參加學校課間操比賽，由于服裝不夠，只好

減少33人，使橫豎各減少一排，四年級原來準備()人參加比賽．

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A．1089B．1024C．289D．196

2．（2分）為慶祝國慶60周年，學校排練團體操，六年級學生排成方陣，最外層每邊（含

頂點）站了12人，最外層一共有多少名學生？算式是()

A．12′4B．(12-1)′4C．12′2+11′2

3．（2分）在學校組織的“慶六一”團體操表演中，當表演方隊是一個正方形時，小芳的位

置用數對表示是(6,8)，參加團體操表演的至少有()人。

A．64B．48C．36D．24

4．（2分）某學校的全體學生剛好排成一個方陣，最外層的人數是108人，問這個方陣共有

多少人()

A．748B．752C．729D．784

5．（2分）觀察下面3個圖形的規律，按這樣的規律排列，第8個圖形有()個．

A．24B．28C．32

6．在一個正方形花壇四周種樹，每邊種5棵（四個頂點也要種），一共要種()棵．

A．20B．28C．16D．15

7．（2分）若干名學生排成8列長方形隊列，若增加120人或減少120人，都能組成一個新

的正方形隊伍，那么原來學生有()人

A．902B．136C．240

8．參加體操表演的同學站成一個方陣，最外層每一邊各站了20人，最外層一共有()人．

A．80B．78C．76D．74

二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9．（2分）圖中第5個長方形有個點，第10個長方形點子總數是個。

10．（2分）學校武術隊舉行隊列表演，排成一個方陣。小華站在最中間一列，最中間一行，

他的位置是(4,4)。這個方陣一共有人，最外圈有人。

11．（2分）團體操方陣表演，最外層每邊15人，最外層一共有人，這個方陣一共有

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人。

12．（2分）學校舞蹈隊舉行隊列表演，排成一個方陣。小剛站在最中間一列，最中間一行，

他的位置是(4,4)。這個方陣一共有人，最外圈有人。

13．（2分）“五一”國際勞動節，廣場中央擺放著一個正六邊形的鮮花圖案，如圖所示，

已知第一層擺黃色花，第二層擺紅色花，第三層擺紫色花，第四層擺黃色花?由里向外依次

按黃、紅、紫的顏色擺放，那么第10層應擺盆花．

14．（2分）小明排在一個正方形方陣隊伍中，無論從方陣的哪一面看，他的位置都能用數

對(6,6)表示，這個方陣共有人，最外圈有人。

15．（2分）小明排在一個正方形方陣隊伍中，無論從方陣的哪一面看，他的位置都能用數

對(4,4)表示，這個方陣共有人。

16．（2分）在迎奧運團體操表演中，某校組成了橫排和豎排人數相等且總人數是225人的

方陣，這個方陣最外層的學生共有人．

三．判斷題（共4小題，滿分8分，每小題2分）

17．（2分）三年（1）班有學生39人，減少4人就可以排成方隊．．

18．（2分）團體操方陣表演，最外層每邊15人，最外層一共有60人。

19．（2分）用同樣大小的黑、白兩種小方磚鋪一張正方形桌面，桌面的兩條對角線鋪黑色

的小方磚，其余的都鋪白色小方磚，如圖所示．鋪滿這張桌面恰好用了93塊黑色小方磚，那

么用白色小方磚的塊數是2116塊．．

20．（2分）圍棋盤的最外層每邊能放19個棋子．最外層一共可以擺放76個棋子．．

四．解答題（共10小題，滿分60分，每小題6分）

21．（6分）36名學生在操場上做游戲．大家圍成一個正方形，每邊人數相等，四個頂點都

有人．每邊各有幾名學生？

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22．（6分）有一隊士兵，排成了一個實心方陣，最外層一周共有240人，這個方陣最外層

每邊有多少人？

23．（6分）六一兒童節同學們表演節目，希望小學四年級的同學原準備排成一個正方形隊

列，實際排隊時將原正方形隊列橫豎各減少了1排，這樣共去掉27人。問：四年級原來準備

列隊的有多少人？

24．（6分）學校運動會要表演團體操，要求表演的同學排成一個實心的方陣，并且在表演

的過程中變換出幾種不同的方陣?，F在已經有97位同學報名參加。這個人數是否可行？為什

么？如果不行，可以怎樣調整？

25．（6分）“六一”兒童節那天，學校舉行團體操表演．四年級學生排成一個實心方陣，

最外層每邊站了13個人，最外層一共有多少名學生？整個方陣一共有多少名學生？

26．（6分）2009年10月1日，為慶祝新中國60華誕，天安門廣場舉行了盛大的閱兵儀式，

共有56個方隊通過天安門廣場接受祖國和人民的檢閱．其中徒步方隊12個，每個方隊有14

行，每行25人．徒步方隊一共有多少人？

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27．（6分）在迎接神七返回的慶?；顒又?，瑞金三中的同學們朝氣蓬勃地扭著秧歌，排成

了兩個正方形陣，每一邊有20人，在每個方陣的中心空出了36人的正方形空地，你能算出

這個隊伍的人數嗎？

28．（6分）學校體操隊同學站成一個方陣表演體操，每一橫行和每一豎列的人數相同，都

是32人，學校體操隊共有多少人？最外一圈每人拿一個花環，一個要準備多少花環？

29．（6分）我們學校在慶六一活動中，開展了大型的文藝匯演，為了把會場裝扮得更加美

觀，準備在正方形會場的四周插上56面彩旗，每邊彩旗相等．四個頂點都有彩旗，請你計算

一下每邊各需要有多少彩旗？

30．（6分）教室里有很多桌子，都整齊地排列著，每列桌子數相等，每排的桌子數相等，

小秋的桌從前面數第3張，從后面數第4張，他的左邊有3張，右邊有1張，小秋的教室一

共有多少張？

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專題29方陣問題

參考答案

一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

1．【分析】根據題干，一共去掉了33人，那么原來的方陣的每邊人數是(33+1)?2=17人，

據此利用每邊人數′每邊人數即可求出總人數．

【解答】解：原來的方陣的每邊人數是(33+1)?2=17（人)，

17′17=289（人)

答：四年級原來準備289人參加表演．故選：C．

【點評】方陣問題相關的知識點是：四周的人數=（每邊的人數-1)′4，每邊的人數=四周的

人數?4+1，中實方陣的總人數=每邊的人數′每邊的人數，空心方陣的總人數=（最外層每

邊的人數-空心方陣的層數）′空心方陣的層數′4，外層邊長數2-中空邊長數2=實面積數．

2．【分析】最外層人數=每邊人數′4-4=（每邊人數-1)′4；代入數據即可解答．

【解答】解：最外層一共有：

(12-1)′4=44（人)

答：最外層一共有44人．故選：B．

【點評】此題考查了方陣問題中：最外層點數=每邊點數′4-4的靈活應用．

3．【分析】小芳的位置用數對表示是(6,8)，即小芳在第6列第8行，因為方隊是一個正方形，

列數與行數相等，所以最少有8行8列，根據方陣總點數=每邊點數′每邊點數，由此計算即

可。

【解答】解：8′8=64（人)

答：參加團體操表演的至少有64人。故選：A。

【點評】此題考查數對表示物體位置的方法和“方陣總點數=每邊點數′每邊點數”應用。

4．【分析】方陣問題的核心是求最外層每邊人數。根據四周人數和每邊人數的關系可知：每

邊人數=四周人數?4+1，可以求出方陣最外層每邊人數，那么整個方陣隊列的總人數就可以

求了。

【解答】解：方陣最外層每邊人數：108?4+1=28（人)

整個方陣共有學生人數：28′28=784（人)

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答：這個方陣共有784人。故選：D。

【點評】此題考查了方陣問題中：總點數=每邊點數′每邊點數；最外層四周點數=（每邊點

數-1)′4的靈活應用。

5．【分析】每邊圓圈的個數=圖形順序+1；再利用方陣最外層四周點數=每邊點數′4-4計

算出最外層四周圓圈數即可．

【解答】解：(8+1)′4-4

=36-4

=32（人)

答：第8個圖形有32個．故選：C．

【點評】此題考查了方陣問題中：總點數=每邊點數′每邊點數；最外層四周點數=每邊點數

′4-4的靈活應用．

6．【分析】根據公式“最外層四周點數=每邊點數′4-4”代入數據解答即可．

【解答】解：5′4-4

=20-4

=16（棵)

答：四周共種了16棵．故選：C．

【點評】此題考查了方陣問題中：最外層四周點數=每邊點數′4-4的靈活應用．

7．【分析】根據題干可知，設原來每一列中有n人，則8列一共有8n人，增加120人后組成

一個方陣：總人數(8n+120)人可以表示為：a2；減少120人后組成一個方陣：總人數(8n-120)

可以表示為：b2，這里a和b一定都是4的倍數；由此可得：a2-b2=240，由此利用平方差公

式可以變形為：(a+b)(a-b)=240，由此利用240的因數情況進行討論推理，得出a、b的值

即可解決問題。

【解答】解：設原來每一列中有n人，則8列一共有8n人，

增加120人后組成一個方陣：總人數為：8n+120=a2；

減少120人后組成一個方陣：總人數為：8n-120=b2，這里a和b一定都是4的倍數；

由此可得：a2-b2=240，

所以(a+b)(a-b)=240，

240=2′2′2′2′3′5=60′4=20′12，所以：

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當a=32，b=28時，滿足(32+28)(32-28)=240，

則8n=322-120=1024-120=904（人)，即原有904人；

當a=16，b=4時，滿足(16+4)(16-4)=240，

則8n=162-120=256-120=136，即原有136人；

所以原有是904人或是136人。故選：B。

【點評】方陣問題中：總人數都是完全平方數，此題關系復雜，需要學生認真審題，找準等

量關系利用平方差公式和合數分解質因數的方法靈活解答。

8．【分析】最外層每邊站20人，要求最外層一共有多少人，根據最外層人數=每邊人數

′4-4；代入數據即可解答．

【解答】解：20′4-4

=80-4

=76（名)

答：最外層一共有76人．故選：C．

【點評】此題考查了方陣問題中：最外層點數=每邊點數′4-4的靈活應用．

二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9．【分析】注意觀察前三個圖形中圓點的個數可以發現分別為：4、8、12，后一個圖形中的

圓點個數比前一個圖形中圓點多4，即每邊的點數多1，所以可得圓點的總數與每邊上的圓點

數之間的關系用字母表示為：S=4n-4(n表示每邊的點數）；也可直接根據“空心方陣的四

周點數=每邊點數′4-4”解答。

【解答】解：根據分析可得，

(5+1)′4-4

=24-4

=20（個)

(10+1)′4-4

=44-4

=40（個)

答：圖中第5個長方形有20個點，第10個長方形點子總數是40個。

故答案為：20；40。

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【點評】此題屬于空心方陣問題，空心方陣的四周點數=每邊點數′4-4。

10．【分析】由“小華站在最中間一列，最中間一行”可知，一共有(4′2-1)列，(4′2-1)行，

據此用行數乘列數，即可計算出這個方陣的人數；然后再利用方陣最外層四周人數=每邊人

數′4-4計算出最外層四周人數即可。

【解答】解：4′2-1

=8-1

=7（人)

7′7=49（人)

7′4-4

=28-4

=24（人)

答：這個方陣一共有49人，最外圈有24人。故答案為：49，24。

【點評】解答此題的關鍵是弄清方陣的列數、行數，即方陣每邊的人數。

11．【分析】最外層人數=每邊人數′4-4；實心方陣中總人數=每邊人數′每邊人數；代入

數據即可解答.

【解答】解：15′4-4

=60-4

=56（名)

15′15=225（名)

答：最外層一共有56人，這個方陣一共有225人。故答案為：56，225。

【點評】此題考查了方陣問題中：最外層點數=每邊點數′4-4；實心方陣中總點數=每邊點

數′每邊點數的靈活應用。

12．【分析】由“小剛站在最中間一列，最中間一行”可知，他們班一共有(4′2-1)列，(4′2-1)

行，據此用行數乘列數，即可計算出這個方陣的人數；然后再利用方陣最外層四周人數=每

邊人數′4-4計算出最外層四周人數即可。

【解答】解：4′2-1

=8-1

=7（人)

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7′7=49（人)

7′4-4

=28-4

=24（人)

答：這個方陣一共有49人，最外圈有24人。故答案為：49，24。

【點評】解答此題的關鍵是弄清方陣的列數、行數，即方陣每邊的人數。

13．【分析】已知第一層擺黃色花，第二層擺紅色花，第三層擺紫色花，第四層擺黃色花?

由里向外依次按黃、紅、紫的顏色擺放，發現：顏色是黃、紅、紫三個一循環；花盆個數是

逐層加6盆鮮花；第一層是2′6-6=6盆花；第二層是3′6-6=12盆花；依此類推，第10層

是11′6-6=60盆花．據此解答．

【解答】解：第一層是2′6-6=6盆花；第二層是3′6-6=12盆花；

依此類推，第10層是11′6-6=60盆花．

答：第10層應擺60盆花．故答案為：60．

【點評】此題要分別考慮顏色和擺放盆數的規律，根據規律進行分析．

14．【分析】因為小明的位置都能用數對(6,6)表示，所以他應該在方陣的最中間位置，他的

前后左右都有6人，所以這個方陣的行數和列數都是6+6-1=11（人)，行數乘列數即為總人

數；每邊人數乘4再減去4就是最外圈的人數；據此解答即可。

【解答】解：6+6-1=11（人)

11′11=121（人)

11′4-4=40（人)

答：這個方陣共有121人，最外圈有40人。故答案為：121，40。

【點評】此題考查的目的是理解掌握利用數對表示物體位置的方法及應用，關鍵是找出小明

所在行和列的人數。

15．【分析】根據題意可得，小明的前后左右都有3人，所以小明所在行和列的人數都是(3+3+1)

人，小明所在行的人數就是方陣的列數，小明所在列的人數就是方陣的行數，據此計算出方

陣人數。

【解答】解：(3+3+1)′(3+3+1)

=7′7

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=49（人)

答：這個方陣共有49人。故答案為：49。

【點評】解答本題的關鍵是找出小明所在行和列的人數，再根據小明所在行的人數和所在列

的人數與方陣的行數、列數關系解答。

16．【分析】根據“中實方陣的總人數=每邊的人數′每邊的人數，”可知225人應是最外層

的學生人數的平方，因為225=15′15，所以這個方陣最外層每邊的學生共有15人，據此解答．

【解答】解：225=15′15

(15-1)′4=56（人)

答：這個方陣最外層的學生共有56人．故答案為：56．

【點評】本題關鍵是求出每邊的人數；方陣問題相關的知識點是：四周的人數=（每邊的人

數-1)′4，每邊的人數=四周的人數?4+1，中實方陣的總人數=每邊的人數′每邊的人數，空

心方陣的總人數=（最外層每邊的人數-空心方陣的層數）′空心方陣的層數′4，外層邊長數

2-中空邊長數2=實面積數．

三．判斷題（共4小題，滿分8分，每小題2分）

17．【分析】39人減少4人還剩35人，35應是每邊人數的完全平方數，但是35不是自然數

的完全平方數，所以39人減少4人后不能排成方隊．

【解答】解：根據分析可知，39-4=35（人)；

因為35不是自然數的完全平方數，所以39人減少4人后不能排成方隊；

但是如果39人減少3人后能排成6′6的方隊．

故答案為：錯誤．

【點評】本題考查了實心方陣的有關知識，計算公式是：總點數=每邊點數′每邊點數；總點

數?4+1=每邊點數．

18．【分析】最外層人數=每邊人數′4-4；代入數據即可解答。

【解答】解：15′4-4

=60-4

=56（人)

即最外層一共有56人，所以原題說法錯誤。故答案為：′。

【點評】此題考查了方陣問題中：最外層點數=每邊點數′4-4的靈活應用。

19．【分析】此題可以看做是方陣問題進行解決：那么根據實心方陣的特點可知每邊點數為：

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(93+1)?2=47，利用實心方陣總點數=每邊點數′每邊點數，先求得黑白方磚的總塊數數為：

47′47=2209塊，由此計算得出白色小方磚即可進行判斷．為：2009-93=2116（塊)

【解答】解：根每條邊上的方磚塊數為：(93+1)?2=47（塊)

黑白色點數之和為：47′47=2209（塊)，

所以白色方磚的塊數為：2209-93=2116（塊)，

所以原題說法正確．故答案為：正確．

【點評】此題考查了利用實心方陣問題解決實際問題的靈活應用，這里抓住對角線上的塊數

之和得出每邊點數是解決此類問題的關鍵．

20．【分析】利用空心方陣最外層總點數=每邊點數′4-4，即可計算得出這個圍棋盤最外層

一共可以擺放的棋子數，據此即可判斷．

【解答】解：19′4-4，

=76-4，

=72（個)；

答：最外層一共可以擺放72個棋子．故答案為：′．

【點評】此題主要考查空心方陣最外層總點數的計算方法的靈活應用，熟記公式即可解答．

四．解答題（共10小題，滿分60分，每小題6分）

21．【分析】此題可以看做是空心方陣問題，把36名學生看做36個點，利用空心方陣的最

外圍每邊點數=（最外層四周點數+4)?4，即可解決問題．

【解答】解：(36+4)?4，

=40?4，

=10（人)；

答：每邊各有10名學生．

【點評】此題考查了空心方陣中每邊點數=（四周點數+4)?4這個公式的靈活應用．

22．【分析】方陣問題中，最外層四周點數=（每邊點數-1)′4，則最外層每邊點數=最外層

四周點數?4-1，由此代入數據即可解答．

【解答】解：240?4=60（人)，

60+1=61（人)．

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答：這個方陣最外層每邊有61人．

【點評】此題考查了實心方陣最外層點數和最外層每邊點數之間關系的應用．

23．【分析】橫豎各去掉了一排，因為頂點處的人數需要計算2次，所以用27加1除以2即

可求出每排、每列的人數；最后用每排與每列的人數相乘即可求出參加表演節目的總人數。

【解答】解：根據分析可得：

27+1=28（人)

28?2=14（人)

14′14=196（人)

答：四年級原來準備列隊的有196人。

【點評】本題考查了方陣問題，關鍵是求出每排、每列的人數。

24．【分析】根據實心方陣的總人數=每邊人數′每邊人數，97是一個質數，不能分解成兩

個數相同數相乘的形式。通過增加或減少人數，使人數變為兩個相同數的積即可。

【解答】解：根據實心方陣的總人數=每邊人數′每邊人數，97是一個質數，不能分解成兩

個數相同數相乘的形式。所以97人不能組成方陣。再增加3人，總人數就是：

97+3=100

100=10′10

答：這個人數不可行，因為總人數要分解成兩個相同數的乘積的形式。再增加3人就可以排

成方陣。

【點評】熟悉實心方陣總數與每邊人數的關系是解決本題的關鍵。

25．【分析】最外層人數=每邊人數′4-4；實心方陣中總人數=每邊人數′每邊人數；代入

數據即可解答．

【解答】解：13′4-4=48（人)，

13′13=169（人)，

答：最外層人數有48人，整個方陣一共有169名同學．

【點評】此題考查了方陣問題中：最外層點數=每邊點數′4-4；實心方陣中總點數=每邊點

數′每邊點數的靈活應用．

26．【分析】根據題干，先求出一個方隊的人數是：25′14=350人，再乘12即可解答．

【解答】解：25′14′12=4200（人)，

答：徒步方隊一共有4200人．