2025屆湖北省部分高中協作體高三年級三月聯考一模考試高三數學試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分，考試用時120分鐘。★祝考試順利★注意事項：1、答題前，請將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的制定位置。2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對應的答題區域內，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。4、考試結束后，請將答題卡上交。一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、已知奇函數f(x)在R上是增函數,g(x)=xf(x)。若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關系為()A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a2、下列求導運算正確的是()A.(sina)'=cosa(a為常數) B.(sin2x)'=2cos2xC.(3x)'=3xlog3e D.(x+1)'=3、已知θ∈3π4,π,tan2θ=-4tanθ+π4A.14 B.3C.1 D.34、在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c。若2acosC+b=2ccosA,c=3a,則A=()A.2π3 B.πC.π3 D.5、已知一個圓錐和一個圓柱的底面半徑和高分別相等,若圓錐的軸截面是等邊三角形,則這個圓錐和圓柱的側面積的比值為()A.12 B.C.33 D.6、將正方形ABCD沿對角線BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,則異面直線AB與CD所成角的余弦值為()A.12 B.C.-12 D.-7、已知直線方程為xcos300°+ysin300°=3,則直線的傾斜角為()A.60° B.60°或300°C.30°或330° D.30°8、從總體量為N的一批零件中使用簡單隨機抽樣的方法抽取一個容量為40的樣本。若某個零件在第2次抽取時被抽到的可能性為1%,則N=()A.100 B.4000C.101 D.4001二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9、(多選題)已知集合P={x|x2=4},N為自然數集,則()A.2∈P B.P={-2,2}C.{?}?P D.P?N10、(多選題)若函數f(x)=alnx+bx+cx2A.bc>0 B.ab>0C.b2+8ac>0 D.ac<011、(多選題)已知數列的前4項為2,0,2,0,則依此歸納該數列的通項公式可能是()A.an=(-1)n-1+1 B.an=2,C.an=2sinnπ2 D.an=cos(三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12、不等式2x+5x?2<1的解集為13、在數列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,則數列{an}的通項公式an=。

14、O為空間中任意一點,A,B,C三點不共線,且OP=34OA+18OB+tOC,若P,A四、解答題：本題共5小題，共75分15、（本小題滿分12分）小王大學畢業后,決定利用所學專業進行自主創業。經過市場調查,生產某小型電子產品需投入年固定成本為3萬元,每生產x萬件,需另投入流動成本為W(x)萬元,在年產量不足8萬件時,W(x)=13x2+x(萬元)。在年產量不小于8萬件時,W(x)=6x+100(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產量x(萬件)的函數解析式;(注:年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本)(2)年產量為多少萬件時,小王在這一商品的生產中所獲利潤最大?最大利潤是多少?16、（本小題滿分12分）設函數f(x)=sinx+cosx(x∈R)。(1)求函數y=fx(2)求函數y=f(x)fx?π417、（本小題滿分12分）在△ABC中,AB=2AC,∠BAC的平分線交邊BC于點D。(1)證明:BC=3CD;(2)若AD=AC,且△ABC的面積為67,求BC的長。18、（本小題滿分12分）已知正項數列{an},其前n項和Sn滿足an(2Sn-an)=1(n∈N*)。(ⅰ)求證:數列{Sn2}是等差數列,并求出S(ⅱ)數列{an}中是否存在連續三項ak,ak+1,ak+2,使得1ak,1a19、（本小題滿分12分）如圖所示,已知四邊形ABCD是正方形,四邊形ACEF是矩形,M是線段EF的中點。(1)求證:AM∥平面BDE;(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,試分析l與m的位置關系,并證明你的結論。高三數學試題答案一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C解析易知g(x)=xf(x)在R上為偶函數,因為奇函數f(x)在R上是增函數,且f(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增。又3>log25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1),所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8),即c>a>b。故選C。2、B解析由a為常數知(sina)'=0,A錯誤;(sin2x)'=cos2x·(2x)'=2cos2x,B正確;(3x)'=3xln3、A解析因為tan2θ=-4tanθ+π4,即2tanθ1?tan2θ=?4×tanθ+11?tanθ,所以2tan2θ+5tanθ+2=0,解得tanθ=-12或tanθ=-2,又θ∈34π,π,4、D解析由射影定理,得b=acosC+ccosA,代入2acosC+b=2ccosA,得3acosC=ccosA,又c=3a,所以33cosA=cosC①,由c=3a及正弦定理,得3sinA=sinC②,①2+②2,可得13cos2A+3sin2A=1,即sinA=12,又由①得A∈0,π2,故A5、C解析設圓錐底面圓的半徑為r,則圓錐的母線長l=2r,圓柱的母線長等于圓錐的高h=3r,記圓錐和圓柱的側面積分別為S1,S2,則S1S26、A解析取BD的中點為O,連接AO,CO,所以AO⊥BD,CO⊥BD。又平面ABD⊥平面CBD且交線為BD,AO?平面ABD,所以AO⊥平面CBD,又OC?平面CBD,則AO⊥CO。設正方形的對角線長度為2,如圖所示,建立空間直角坐標系,則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),所以AB=(1,0,-1),CD=(-1,-1,0),cos<AB,CD>=AB·CD|AB||CD|7、D解析直線的斜率為k=-cos300°sin300°=?cos(360°?60°)sin(360°?60°)=cos60°sin60°8、B解析簡單隨機抽樣中,每個個體被抽到的可能性相等,即40N=1%,解得N=4000。故選B二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9、AB解析P={x|x2=4}={-2,2},故2∈P,故A,B正確。?不是P中的元素,故C錯誤。因為-2?N,故D錯誤。故選AB。10、BCD解析函數f(x)=alnx+bx+cx2(a≠0)的定義域為(0,+∞),求導得f'(x)=ax?bx2?2cx3=ax2?bx?2cx3,因為函數f(x)既有極大值也有極小值,則函數f'(x)在(0,+∞)上有兩個變號零點,而a≠0,因此方程ax211、ABD解析對n=1,2,3,4進行驗證,an=2sinnπ2不符合題意,其他均符合。故選三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12、{x|-7<x<2}

解析2x+5x?2<1,即2x+5x?2-1<0,即x+7x?2<0,13、

3n+2【解析】由an+1=3an-4,可得an+1-2=3(an-2),又a1=5,所以{an-2}是以a1-2=3為首項,3為公比的等比數列,所以an-2=3n,所以an=3n+2。【答案】3n+214、

18解析因為P,A,B,C四點共面,所以34+18+t=1,四、解答題：本題共5小題，共75分15、（本小題滿分12分）解(1)因為每件商品售價為5元,則x萬件商品銷售收入為5x萬元,依題意得,當0<x<8時,L(x)=5x-13x2+x?3=?13x2+4x-3;當x≥8時,L(x)=5x(2)當0<x<8時,L(x)=-13(x-6)2+9。此時,當x=6時,L(x)取得最大值,為9萬元。當x≥8時,L(x)=35-x+100x≤35?2x·100x=35-20=15,當且僅當x=100x時等號成立,即x=10時,L(x)取得最大值,為15萬元。因為9<15,16、（本小題滿分12分）解(1)因為f(x)=sinx+cosx,所以fx+π2=sinx+π2y=fx+π22=(cosx-sinx)2=1-sin2x。所以函數y=fx(2)fx?π4=sinx?π4+cosx?π4=2sinx,所以y=f(x)fx?π4=2sinx(sinx+cosx)=2(sinxcosx+sin2x)=212sin2x?12cos2x+12=sin2x?π4+17、（本小題滿分12分）解(1)證明:設∠BAD=α,∠BDA=β,則∠CAD=α,∠CDA=π-β。在△ABD和△ACD中分別運用正弦定理,得ABBD=sinβsinα,ACCD=sin(π?β)sinα,所以ABBD=ACCD,即(2)設AB=2AC=2t,所以AD=AC=t。由S△ABC=S△ACD+S△ABD,可得12·t·2t·sin2α=12·t·t·sinα+12·2t·t·sinα,所以4sinαcosα=3sinα。因為sinα≠0,所以cosα=34,所以cos2α=2cos2α-1=18。又0<2α<π,所以sin2α=1?cos22α=378。所以S△ABC=67=12t·2t·sin2α=378t2,所以t2=16,故BC2=t2+418、（本小題滿分12分）解(ⅰ)證明:由an(2Sn-an)=1,得(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=1(n∈N*,n≥2),所以Sn2?Sn?12=1(n≥2,n∈N*)。又a1(2S1-a1)=a12=1,an>0,所以a1=1,S12=1。所以{Sn2}是以S12=1為首項,公差為1的等差數列,所以(ⅱ)數列{an}中不存在連續三項ak,ak+1,ak+2,使得1ak,1ak當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n?n?1,因為當n=1時,a1=1,符合上式,所以an=n?n?1(n∈N*),所以1an=1n?n?1=n+n?1。假設數列{an}中存在連續三項ak,ak+1,ak+2,使得1ak,1ak+1,1ak+2構成等差數列,則2(k+1+k)=k+k?1+k+2+k+1,即k+1+k=k?1+k+2,兩邊同時平方,得k+1+k+2k+1·k=k?1+k+2+219、（本小題滿分12分）解(1)證明:如圖,記AC與BD的交點為O,連接OE。因為O,M分別為AC,EF的中點,四邊形ACEF是矩形,所以四邊形AOEM是平行四邊形,所以AM∥OE。又因為OE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE。(2)l∥m。證明如下:由(1)知AM∥平面BDE,又AM?平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,所以l∥AM,同理得m∥AM,所以l∥m。高三數學試題答案一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C解析易知g(x)=xf(x)在R上為偶函數,因為奇函數f(x)在R上是增函數,且f(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增。又3>log25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1),所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8),即c>a>b。故選C。2、B解析由a為常數知(sina)'=0,A錯誤;(sin2x)'=cos2x·(2x)'=2cos2x,B正確;(3x)'=3xln3、A解析因為tan2θ=-4tanθ+π4,即2tanθ1?tan2θ=?4×tanθ+11?tanθ,所以2tan2θ+5tanθ+2=0,解得tanθ=-12或tanθ=-2,又θ∈34π,π,4、D解析由射影定理,得b=acosC+ccosA,代入2acosC+b=2ccosA,得3acosC=ccosA,又c=3a,所以33cosA=cosC①,由c=3a及正弦定理,得3sinA=sinC②,①2+②2,可得13cos2A+3sin2A=1,即sinA=12,又由①得A∈0,π2,故A5、C解析設圓錐底面圓的半徑為r,則圓錐的母線長l=2r,圓柱的母線長等于圓錐的高h=3r,記圓錐和圓柱的側面積分別為S1,S2,則S1S26、A解析取BD的中點為O,連接AO,CO,所以AO⊥BD,CO⊥BD。又平面ABD⊥平面CBD且交線為BD,AO?平面ABD,所以AO⊥平面CBD,又OC?平面CBD,則AO⊥CO。設正方形的對角線長度為2,如圖所示,建立空間直角坐標系,則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),所以AB=(1,0,-1),CD=(-1,-1,0),cos<AB,CD>=AB·CD|AB||CD|7、D解析直線的斜率為k=-cos300°sin300°=?cos(360°?60°)sin(360°?60°)=cos60°sin60°8、B解析簡單隨機抽樣中,每個個體被抽到的可能性相等,即40N=1%,解得N=4000。故選B二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9、AB解析P={x|x2=4}={-2,2},故2∈P,故A,B正確。?不是P中的元素,故C錯誤。因為-2?N,故D錯誤。故選AB。10、BCD解析函數f(x)=alnx+bx+cx2(a≠0)的定義域為(0,+∞),求導得f'(x)=ax?bx2?2cx3=ax2?bx?2cx3,因為函數f(x)既有極大值也有極小值,則函數f'(x)在(0,+∞)上有兩個變號零點,而a≠0,因此方程ax211、ABD解析對n=1,2,3,4進行驗證,an=2sinnπ2不符合題意,其他均符合。故選三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12、{x|-7<x<2}

解析2x+5x?2<1,即2x+5x?2-1<0,即x+7x?2<0,13、

3n+2【解析】由an+1=3an-4,可得an+1-2=3(an-2),又a1=5,所以{an-2}是以a1-2=3為首項,3為公比的等比數列,所以an-2=3n,所以an=3n+2。【答案】3n+214、

18解析因為P,A,B,C四點共面,所以34+18+t=1,四、解答題：本題共5小題，共75分15、（本小題滿分12分）解(1)因為每件商品售價為5元,則x萬件商品銷售收入為5x萬元,依題意得,當0<x<8時,L(x)=5x-13x2+x?3=?13x2+4x-3;當x≥8時,L(x)=5x(2)當0<x<8時,L(x)=-13(x-6)2+9。此時,當x=6時,L(x)取得最大值,為9萬元。當x≥8時,L(x)=35-x+100x≤35?2x·100x=35-20=15,當且僅當x=100x時等號成立,即x=10時,L(x)取得最大值,為15萬元。因為9<15,16、（本小題滿分12分）解(1)因為f(x)=sinx+cosx,所以fx+π2=sinx+π2y=fx+π22=(cosx-sinx)2=1-sin2x。所以函數y=fx(2)fx?π4=sinx?π4+cosx?π4=2sinx,所以y=f(x)fx?π4=2sinx(sinx+cosx)=2(sinxcosx+sin2x)=212sin2x?12cos2x+12=sin2x?π4+17、（本小題滿分12分）解(1)證明:設∠BAD=α,∠BDA=β,則∠CAD=α,∠CDA=π-β。在△ABD和△ACD中分別運用正弦定理,得ABBD=sinβsinα,ACCD=sin(π?β)sinα,所以ABBD=ACCD,即(2)設AB=2AC=2t,所以AD=AC=t。由S△AB