專題02排列與組合（2個知識點3個拓展2個突破5種題型2個易錯點）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.排列知識點2.組合拓展1.有限制條件的排列問題拓展2.有限制條件的組合問題拓展3.排列與組合的綜合問題突破1.分組與分配問題突破2.排列組合中的新概念創新題型【方法二】實例探索法題型1.排列數公式的應用題型2.排列的概念與簡單的排列問題題型3.特殊元素與特殊位置問題題型4“相鄰”與“不相鄰”問題題型5.“定序”問題題型6.組合概念的理解與簡單組合問題題型7.與組合數有關的計算題型8.“含”與“不含”問題題型9.相同元素分組分配問題題型10.排列組合的綜合應用【方法三】差異對比法易錯點1.不能正確理解題意致誤易錯點2.忽視排列數公式的隱含條件致誤【方法四】成果評定法【知識導圖】【倍速學習四種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.排列一、排列的定義一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．二、排列相同的條件兩個排列相同的充要條件：(1)兩個排列的元素完全相同．(2)元素的排列順序也相同．三、排列數的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號Aeq\o\al(m,n)表示．思考排列與排列數相同嗎？答案排列數是元素排列的個數，兩者顯然不同．二、排列數公式及全排列1．排列數公式的兩種形式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.(2)Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！).2．全排列：把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，全排列數為Aeq\o\al(n,n)＝n！(叫做n的階乘)．規定：0！＝1.例1．（2023上·高二課時練習）從1、2、3、4、5這5個數字中，任取2個不同的數字作為一個點的坐標，一共可以組成多少個不同的點？知識點2.組合一、組合及組合數的定義1．組合一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．2．組合數從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．二、排列與組合的關系相同點兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素不同點排列問題中元素有序，組合問題中元素無序關系組合數Ceq\o\al(m,n)與排列數Aeq\o\al(m,n)間存在的關系Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)三、組合數公式組合數公式乘積形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n階乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)規定：Ceq\o\al(0,n)＝1.知識點二組合數的性質性質1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性質2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).例2．（2023上·高二課時練習）判斷下列問題分別是排列問題還是組合問題：(1)從10名學生中任選5名去參觀一個展覽會，求有多少種不同的選法；(2)從1、2、3、4、5這5個數字中，每次任取2個不同的數作為一個點的坐標，求所有不同點的個數；(3)一個黃袋中裝有四張分別寫有1、3、5、7的卡片，另一個紅袋中裝有四張分別寫有2、8、16、32的卡片．從紅袋和黃袋中各任取一張卡片，問這兩張卡片上的數相加所得的和有多少種；(4)有四本不同的書要分別送給四個人，每人一本，問一共有多少種不同的送法．例3．（2023·全國·高二隨堂練習）（1）平面內有兩組平行線，一組有條，另一組有條，不同組的平行線都相交，這些平行線一共構成了多少個平行四邊形？（）（2）空間中有三組平行平面，第一組有個，第二組有個，第三組有個，不同組的平面都互相垂直．這些平行平面一共構成了多少個長方體？（）拓展1.有限制條件的排列問題1．（2023上·陜西漢中·高二西鄉縣第一中學校考階段練習）電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴酷環境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰第一階段戰役的勝利，著名的“松骨峰戰斗”在該電影中就有場景.現有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計算出結果）(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？(3)甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的坐法有多少種？拓展2.有限制條件的組合問題2．（2023上·高二課時練習）某小組共有10名學生，其中女生3名．現任選2名代表，則至少有1名女生當選的選法有多少種？拓展3.排列與組合的綜合問題3．（2023下·黑龍江大興安嶺地·高二大興安嶺實驗中學校考階段練習）將4個編號為的小球放入4個編號為的盒子中.(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？(3)把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？突破1.分組與分配問題1．（2023上·全國·高三專題練習）將10個小球分別裝入3個不同的盒子中且每個盒子非空（即每個盒子至少裝1個小球）．問：有多少種不同的裝法？2．（2023上·山東德州·高二校考階段練習）名男生和名女生站成一排．(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？(2)甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種？(3)男、女分別排在一起的站法有多少種？(4)男、女相間的站法有多少種？(5)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？突破2.排列組合中的新概念創新題型3．（2023上·北京·高三北京市第三十五中學校考期中）在數字的任意一個排列：中，如果對于，，有，那么就稱為一個逆序對．記排列中逆序對的個數為．如時，在排列：3，2，4，1中，逆序對有，，，，則．(1)設排列：，寫出兩組具體的排列，分別滿足：①，②；(2)對于數字1，2，…，n的一切排列，求所有的算術平均值；(3)如果把排列A：中兩個數字交換位置，而其余數字的位置保持不變，那么就得到一個新的排列，：，求證：為奇數．【方法二】實例探索法題型1.排列數公式的應用1．（2023上·山東德州·高二校考階段練習）（1）解關于x的不等式．（2）求等式中的n值．題型2.排列的概念與簡單的排列問題2．多選題（2024上·山東濰坊·高二昌樂二中校考期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．甲乙不相鄰的排法種數為82種D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種題型3.特殊元素與特殊位置問題3．（2023上·江西宜春·高二江西省宜豐中學校考階段練習）（1）現有4男2女共6個人排成一排照相，其中兩個女生相鄰的排法種數為多少？（2）8個體育生名額，分配給5個班級，每班至少1個名額，有多少種分法？（3）要排一份有4個不同的朗誦節目和3個不同的說唱節目的節目單，如果說唱節目不排在開頭，并且任意兩個說唱節目不排在一起，則不同的排法種數為多少？（4）某醫院有內科醫生7名，其中3名女醫生，有外科醫生5名，其中只有1名女醫生．現選派6名去甲、乙兩地參加賑災醫療隊，要求每隊必須2名男醫生1名女醫生，且每隊由2名外科醫生1名內科醫生組成，有多少種派法？（最后結果都用數字作答）題型4“相鄰”與“不相鄰”問題4．（2023上·江西·高二校聯考階段練習）用數字、、、、、組成沒有重復數字的六位數．(1)偶數不能相鄰，則不同的六位數有多少個？（結果用數字表示）(2)若數字和之間恰有一個奇數，沒有偶數，則不同的六位數有多少個？（結果用數字表示）題型5.“定序”問題5．（2023上·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學校考階段練習）（1）6名同學（簡記為，，，，，）到甲、乙、丙三個場館做志愿者.（i）一天上午有16個相同的口罩全部發給這6名同學，每名同學至少發兩個口罩，則不同的發放方法種數？（ii）每名同學只去一個場館，每個場館至少要去一名，且、兩人約定去同一個場館，、不想去一個場館，則滿足同學要求的不同的安排方法種數？（2）某校選派4名干部到兩個街道服務，每人只能去一個街道，每個街道至少1人，有多少種方法？（結果用數字表示）（3）如圖，某水果店門前用3根繩子掛了6串香蕉，從左往右的串數依次為1，2，3.到了晚上，水果店老板要收攤了，假設每次只取1串（掛在一列的只能先收下面的），則將這些香蕉都取完的不同取法種數？（結果用數字表示）題型6.組合概念的理解與簡單組合問題6．多選題（2024上·山西·高三期末）某周周一到周六的夜間值班工作由甲、乙、丙三人負責，每人負責其中的兩天，每天只需一人值班，則下列關于安排方法數的說法正確的有（

）A．共有90種安排方法B．甲連續兩天值班的安排方法有30種C．甲連續兩天值班且乙連續兩天值班的安排方法有18種D．甲、乙、丙三人每人都連續兩天值夜班的安排方法有6種題型7.與組合數有關的計算7．單選題（2024上·遼寧·高二校聯考期末）已知，則（

）A． B． C． D．題型8.“含”與“不含”問題8．（2024·全國·高三專題練習）某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現從35種商品中選取3種．(1)其中某一種假貨必須在內，不同的取法有多少種?(2)其中某一種假貨不能在內，不同的取法有多少種?(3)至少有2種假貨在內，不同的取法有多少種?(4)至多有2種假貨在內，不同的取法有多少種?題型9.相同元素分組分配問題9．（2023·四川內江·統考一模）中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.假設中國空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人.若甲、乙兩人不能同時在一個艙內做實驗，則不同的安排方案共有（

）A．8種 B．14種 C．20種 D．16種題型10.排列組合的綜合應用10．（2023下·江蘇宿遷·高二統考期中）某醫療小組有4名男性，2名女性共6名醫護人員，醫護人員甲是其中一名．(1)若從中任選2人參加A，兩項救護活動，每人只能參加其中一項活動，每項活動都要有人參加，求醫護人員甲不參加項救護活動的選法種數；(2)這6名醫護人員將去3個不同的地方參與醫療支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一個地方，求不同的分配方案種數．【方法三】差異對比法易錯點1.不能正確理解題意致誤1．（2024上·上海·高二校考期末）某班級在迎新春活動中進行抽卡活動，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各兩張，“龍”卡三張．每個學生從卡箱中隨機抽取4張卡片，其中抽到“龍”卡獲得2分，抽到其他卡均獲得1分，若抽中“福”“龍”“迎”“春”張卡片，則額外獲得2分．(1)求學生甲抽到“福”“龍”“迎”“春”4張卡片的不同的抽法種數；(2)求學生乙最終獲得分的不同的抽法種數．易錯點2.忽視排列數公式的隱含條件致誤2．（2021上·高二課時練習）（多選題）當，且時，不可能取到（）A．60 B．240 C．2020 D．2040【方法五】成果評定法_一、單選題1．（2023下·山東青島·高二校考階段練習）將參加數學競賽的20個名額分給9所學校，每所學校至少1個名額，則名額分配種數為（

）A． B． C． D．2．（2020·全國·模擬預測）某醫院派出了6名醫生和3名護士共9人前往某地參加救治工作.現將這人分成兩組分配到，兩所醫院，若要求每個醫院都至少安排2名醫生及1名護士，并且醫生甲由于工作原因只能派往醫院，則不同的分配方案種數為（

）A．30 B．60 C．90 D．1503．（2021下·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學校考階段練習）有4本不同的書A?B?C?D，要分給三個同學，每個同學至少分一本，書A?B不能分給同一人，則這樣的分法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種4．五名同學站成一排，若甲與乙相鄰，且甲與丙不相鄰，則不同的站法有（

）A．36種 B．60種 C．72種 D．108種5．若，則的值為（）A．1或2 B．3或4 C．1或3 D．2或46．（2023下·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中校考期中）現有甲、乙等5名醫務人員參加某小區社區志愿服務活動，他們被分派到核酸檢驗和掃碼兩個小組，且這兩個組都至少需要2名醫務人員，則甲、乙兩名醫務人員不在同一組的分配方案有（）A．8種 B．10種 C．12種 D．14種7．（2023下·北京豐臺·高二北京市第十二中學校考期中）把名新生安排到某個班級，要求每個班級至少有一名新生，則不同的安排方式共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種8．將5名報名參加運動會的同學分別安排到跳繩、接力、投籃三項比賽中（假設這些比賽都不設人數上限），每人只參加一項，則共有種不同的方案；若每項比賽至少要安排一人時，則共有種不同的方案，其中的值為（

）A．543 B．425 C．393 D．275二、多選題9．（2023下·高二課時練習）某校的高一和高二年級各10個班級，從中選出五個班級參加活動，下列結論正確的是（

）A．高二六班一定參加的選法有種B．高一年級恰有2個班級的選法有種C．高一年級最多有2個班級的選法為種D．高一年級最多有2個班級的選法為種10．（2022·高二單元測試）某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（

）A．若任意選擇三門課程，則選法種數為35B．若物理和化學至少選一門，則選法種數為30C．若物理和歷史不能同時選，則選法種數為30D．若物理和化學至少選一門，且物理和歷史不能同時選，則選法種數為2011．（2023下·江蘇連云港·高二江蘇省海頭高級中學校考期中）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．12．（2023下·重慶渝北·高二重慶市渝北中學校校考階段練習）某中學共有三棟女生宿舍樓，分別為1號樓、2號樓、3號樓，學校在本周安排了甲、乙、丙、丁、戊5名女教師去這三棟宿舍樓協助宿管阿姨值守，每棟宿舍樓至少安排一名教師，每名教師只能去其中一棟樓，則下列說法正確的是（

）．A．共有300種不同的安排方法B．若其中1號樓需要有兩名教師去，則共有60種不同的安排方法C．若甲、乙兩名教師不能去同一棟宿舍樓，則共有114種不同的安排方法D．若學校新購入25個相同型號的滅火器，準備全部分配給這三棟女生宿舍樓作為應急使用，每棟宿舍樓至少6個，則共有15種不同的分配方法三、填空題13．（2022上·貴州畢節·高三校聯考階段練習）由6位專家組成的團隊前往某地進行考察后站成一排拍照留念，已知專家甲和乙不相鄰，則不同的站法有種.14．（2023上·安徽·高三宿城一中校聯考階段練習）某高校開設了乒乓球，羽毛球，籃球，小提琴，書法五門選修課程可供學習，要求每位同學每學年至多選2門，該校學生小明想用前3學年將五門選修課程選完，則小明的不同選修方式有種.（用數字作答）15．已知，則.16．（2023下·河北石家莊·高二石家莊一中校考階段練習）有6個匣子，每個匣子有一把鑰匙，并且鑰匙不能通用，如果在每一個匣子內各放入一把鑰匙，然后把匣子全部鎖上，要求砸開一個匣子后，能繼續用鑰匙打開其余5個匣子，那么鑰匙的放法有種．四、解答題17．（2023下·北京東城·高二統考期末）某學校舉行男子乒乓球團體賽，決賽比賽規則采用積分制，兩支決賽的隊伍