2024年江西省宜春一中高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.（5分）已知集合4={3,5,7.9},8={小=2。-3,aEA},C={5,6,8},則（AA8）UC=（）

A.{3}B.{3,5,6,8}C.{5,6,7,8}D.{3,5,6,7,8}

2.（5分）若z=三嗎為純虛數(shù)，貝ijm=（）

3i-2r

A.2B.4C.-2D.-4

3.（5分）色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量?jī)?yōu)劣的重要指標(biāo).現(xiàn)抽檢一批毛絨玩具，測(cè)得的色差和色度數(shù)

據(jù)如表所示：

色差X21232527

色度ym181920

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得色度），關(guān)于色差x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.8x-1.2,則〃?=（）

A.14B.15C.16D.17

4.（5分）圓/+V+2%-8y-8=0與圓。2：/+/+4％—4y-4=0的公共弦長(zhǎng)為（）

V5527553>/554755

A.---B.----C.----D.----

5555

5.（5分）月相是指天文學(xué)中對(duì)于地球上看到的月球被太陽(yáng)照鳧部分的稱呼.1854年，愛(ài)爾蘭學(xué)者在大英

博物館所藏的一塊巴比倫泥板上發(fā)現(xiàn)了一個(gè)記錄連續(xù)15天月相變化的數(shù)列，記為{“〃},其將滿月等分

成240份，⑷（1WW15且歸N”）表示第i天月球被太陽(yáng)照亮部分所占滿月的份數(shù)，例如，第1天月球

被太陽(yáng)照亮部分占滿月的3,即m=5；第15天為滿月，即“15=240.已知{〃“}的第I項(xiàng)到第5項(xiàng)是

240

公比為q的等比數(shù)列，第5項(xiàng)到第15項(xiàng)是公差為d的等差數(shù)列，且q,d均為正整數(shù)，則該數(shù)列前5

項(xiàng)的和為（）

A.124B.155C.186D.217

6.（5分）從由數(shù)字0,1,2,3,4組成的五位數(shù)中任取一個(gè)，則取到數(shù)字2和3相鄰的五位數(shù)的概率為

（）

1135

A.—B.-C.~D.-

8488

31□

7.（5分）若。=6一而，b=O.3eo,3fc=j^/nl.3,則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

8.(5分)在正六棱柱ABCOb'-AiBiCiD舊尸1中，AA\=2AB=2,。為棱A4的中點(diǎn)，則以0為球心,

2為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長(zhǎng)為()

A.(1+B.(2+■^)7TC.(1+2,)TTD.(2+2、)兀

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

(多選)9.(6分)已知向量￡=(一1,2),1=(6,-2),則()

A.(2a+b)1a

B.\a-b\=V65

TT7T

c.與b的夾角為:

Q4

TT1T

D.a在b上的投影向量為一"匕

(多選)10.(6分)已知橢圓C：瞪+[=1的左、右焦點(diǎn)分別為為，尸2,P,Q是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

()

A.存在點(diǎn)P,使得/為夕放二譏戶

2\[3

B.若NAPF2=60",則△Q"2的面積為亍

C.記C的上頂點(diǎn)為A,若P0_Lx軸，則直線4P與AQ的斜率之積為:

D.若P是C的上頂點(diǎn)，則|PQ|的最大值為3&

2-\log\x\,0<x<2

2,g(x)=f(x)-。，則()

(—/+8%—11,x>2,

A.若g(x)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則2VaV5

B.當(dāng)a=2時(shí)，g(/(x))有5個(gè)不同的零點(diǎn)

C.若g(A)有4個(gè)不同的零點(diǎn)XI，X2，X3?X4(A]<A-2<X3<X4),則A：1X2A"4的取值范圍是(12,13)

D.若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)XI，XI,X3,X4(XIVx2Vx3Vx4),則的取值范圍是(6,

ex

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

斯一8,”為墟記S,丁〃分別為｛“〃｝,｛從｝的前〃項(xiàng)和,

12.（5分）已知數(shù)列>〃｝是等差數(shù)列，匕=

（2冊(cè)+1，n為偶數(shù)

若S3=18,72=10,則乃o=.

13.（5分）已知函數(shù)/（%）=COS（3X-分3>0）在區(qū)間點(diǎn)，網(wǎng)上單調(diào)遞減，則3的取值范圍

OW

是.

14.（5分?）己知拋物線C：『=4戶P是直線y=-1上的點(diǎn)（點(diǎn)尸不在）,軸上），過(guò)點(diǎn)尸作C的兩條切

線，切點(diǎn)分別為A,B,圓Q：/+（y-5）2=?（r>0）與直線/W切于點(diǎn)Q,且力方二而，則四邊形

APBQ的面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）記△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知sinC=（5-COSC）WTL4.

（1）求〃的值；

（2）若△48C外接圓的半徑為[，且A為銳角，求△A8C面積的最大值.

16.（15分）如圖1,在平面四邊彩SBC。中，△58D是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，BDA.BC,NBC7）=30°,

A為5。的中點(diǎn)，將ASAB沿4B折起，使二面角S-AB-。的大小為60°,得到如圖2所示的四棱錐

S-48C。，點(diǎn)M滿足扇=/1后，且入日0,1].

（1）證明：當(dāng)2=鄂寸，〃平面SA。；

（2）求點(diǎn)。到平面SBC的距離；

（3）若平面SA。與平面4QM夾角的余弦值為%,求入的值.

17.（15分）為了解并普及人工智能相關(guān)知識(shí)、發(fā)展青少年科技創(chuàng)新能力，某中學(xué)開(kāi)展了“科技改變生活”

人工智能知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽試題有甲、乙、丙三類（每類有若干道題），各類試題的分值及小明答對(duì)的概

率如表所示，每道題回答正確得到相應(yīng)分值，否則得。分，競(jìng)賽分三輪，每輪回答一道題，依次進(jìn)行,

2024年江西省宜春一中高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.(5分)已知集合4={3,5,7.9},4={#=2〃-3,尤4},C={5,6,8},則(AC4)UC=()

A.{3}B.{3,5,6,8)C.(5,6,7,8}D.{3,5,6,7,8}

【解答】解：由題得B={3,7,11,15},

所以ACI8={3,7},

又。={5,6,8},

所以(AG8)UC={3,5,6,7,8).

故選：D.

2.(5分)若z=上^為純虛數(shù)，則機(jī)=()

3i-2r

A.2B.4C.-2D.-4

■hjt小、卜,I』mi)(2-3i)(6—3m)—(94-2m)i

【解答】解：由題得百――3i)=-―n----'

Vz為純虛數(shù).，6-36=0且9+2〃?W0,

解得：〃?=2.

故選：A.

3.(5分)色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量?jī)?yōu)劣的重要指標(biāo).現(xiàn)抽檢一批毛絨玩具，測(cè)得的色差和色度數(shù)

據(jù)如表所示：

色差X21232527

色度ym181920

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得色度y關(guān)于色差x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.8A-1.2,則,〃=()

A.14B.15C.16D.17

【解答】解：由題可得5=*(21+23+25+27)=24,5=/(m+18+19+20)=*

因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線y=().8x-1.2必過(guò)樣本中心點(diǎn)回，歹),

”,57+m

所以-----=0.8x24-1.2,

4

解得〃?=15.

故選：B.

4.（5分）圓Ci：/+V+2%—8y—8=0與圓G：7+y2+4％一4y—4=0的公共弦長(zhǎng)為（）

V552V553V5545/55

A.-----B.------C.------D.------

5555

【解答】解：根據(jù)題意，圓G：/++2%-8y—8=0與圓Q：x2+y2+4%-4y-4=0,

兩圓方程作差，可得兩圓的公共弦所在直線的方程為X+2＞，+2=0.

由Ci：x2+y2+2x-8y-8=0,得（x+1）'+（），-4）,一25.

所以圓心。（-1,4）,半徑，=5,

則圓心Ci到公共弦x+2y+2=0的距離d=?空+21=羋.

V53

所以兩圓的公共弦長(zhǎng)為2125-1=蜉.

故選：D.

5.（5分）月相是指天文學(xué)中對(duì)于地球上看到的月球被太陽(yáng)照亮部分的稱呼.1854年，愛(ài)爾蘭學(xué)者在大英

博物館所藏的一塊巴比倫泥板上發(fā)現(xiàn)了一個(gè)記錄連續(xù)15天月相變化的數(shù)列，記為｛〃〃｝,其將滿月等分

成240份，4（1WW15且左N*）表示第i天月球被太陽(yáng)照亮部分所占滿月的份數(shù)，例如，第1天月球

被太陽(yáng)照亮部分占滿月的嘉，即m=5；第15天為滿月，即山5=240.已知｛如｝的第1項(xiàng)到第5項(xiàng)是

公比為g的等比數(shù)列，第5項(xiàng)到第15項(xiàng)是公差為d的等差數(shù)列，且/d均為正整數(shù)，則該數(shù)列前5

項(xiàng)的和為（）

A.124B.155C.186D.217

a44

【解答】解：由題意得的=iQ=5q3a15=a5+lOd=5g+lOd=240,

當(dāng)q=I時(shí)，4不是正整數(shù)；當(dāng)4=2時(shí)，（1=16；

當(dāng)423時(shí).512405,d不是正整數(shù)：

所以9=2,4=16,所以該數(shù)列前5項(xiàng)的和為，；_2=為5.

故選：B.

6.（5分）從由數(shù)字0,1,2,3,4組成的五位數(shù)中任取一個(gè)，則取到數(shù)字2和3相鄰的五位數(shù)的概率為

（）

1135

A.-B.-C.-D.—

8488

【解答】解：由數(shù)字0,1,2,3,4組成的五位數(shù)共有仁用=96個(gè)，

其中數(shù)字2和3相鄰的五位數(shù)有掰廢房=36個(gè).

363

所以取到數(shù)字2和3相鄰的五位數(shù)的概率為一=一.

968

故選：C.

3

7.(5分)若Q=e一而，b=O.3e0,3/c=而仇1.3,則()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

3c,

【解答】解:顯然a=e-m>0,力=0.3戶>0,

b0360,3

0,6

因?yàn)橐?3=o.3e<0,3e<0.9<1,所以a>b；

ae-io

又因?yàn)橐?又3/3=-3加*3,a>b.b=O.3e0,3=eQ3lneQ3,c=特配L3=1.3加1為

令g(x)=ex-x-1,x>0.則g'(x)=eK-1>0,

可知g(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞增，

則g(0.3)>g(0)=0,可得1+0.3=1.3>也

令/(x)=xbixf則/(x)=阮壯1>0在弓，+8)內(nèi)恒成立，

可知/(X)在弓，+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

則/(*3)即/.3//屋3>]3/〃1.3,所以〃〉C；

綜上所述：a>b>c.

故選：A.

8.(5分)在正六棱柱人BCDEmiCiOiEi為中，AAi=2AB=2,。為棱A41的中點(diǎn)，則以。為球心,

2為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長(zhǎng)為()

A.(1+停)/1B.(2+C.(1+—2~)TTD.(2+

【解答】解：因?yàn)榍颉５陌霃綖?,所以球。不與側(cè)面及側(cè)面AFQ4相交，

連接OCi,A\C],0E\,A\E\,

由題得04=1,416二41々二追，

所以0Cj=2,

所以球O與側(cè)面"?。以交于點(diǎn)。，C,與側(cè)面“人田交于點(diǎn)后，E,

在正六邊形AiBiCiDiEiFi中,易得

因?yàn)镃C1J■平面AiCiu平面AiBiCiDiEi尸i,

所以CCI_LAI。，又az)inca=a,ciDi,cau平面cz)na,

所以ACi_L平面C0OC1,即。6_1_平面co。]。，且OG=8，

又M一（遮）2=1,M-（祗）2=I.。"=。6=OC=2,

所以球O與側(cè)面CO9C1的交線為以ca為直徑的半圓，同理可得球。與側(cè)面￡。。歸1的交線為以石田

為直徑的半圓,

由題易得乙則球0與上底面A\B\C\D\E\F\及下底面ABCDEF的交線均為二個(gè)半徑為百的

J6

圓,

所以球面與該正六棱柱各面的交線總長(zhǎng)為2X7rxl+2x|x27rxV3=（2+孚位.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

（多選）9.（6分）已知向量a=（—L2）,6=（6,—2）,則（）

A.(2a+b)1a

B.\a-b\=V65

TT71

C.Q與b的夾角為二

4

D.a在b上的投影向量為一.

【解答】解：4選項(xiàng)，因?yàn)椤６ㄒ?,2）,8=（6,-2）,所以2Q+8=（4,2）,

則(2Q+b)?Q=-1x4+2x2=0,所以(2Q+5)_!.a,故人正確;

8選項(xiàng),因?yàn)镼-b=(—7,4),所以|a-=，(-7)2+4?=7^5,故4正確;

C選項(xiàng)，因?yàn)閏os(a,b)=:=且(a,b)G[0,7r],

Tf

所以G，飛=系,故c錯(cuò)誤;

—>—>

。選項(xiàng)，嗟在Z上的投影向量為向COS&b）-4-=V5x（-^）x^==-id,故。正確.

故選：ABD.

（多選）10.（6分）已知橢圓C：叁+。=1的左、右焦點(diǎn)分別為AFz,P,Q是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

（）

A.存在點(diǎn)P,使得NQP尸2=90°

2>/3

B.若/山尸產(chǎn)2=60°,則正2的面積為三

1

C.記C的上頂點(diǎn)為A,若，0_Lx軸，則直線AP與AQ的斜率之積為]

D.若P是C的上頂點(diǎn)，則|尸Q的最大值為3e

22

【解答】解：由橢圓方程n+—=1?得。2=[2,廬=4,所以a=2\[3,b=2,c=2vL

124

對(duì)于4，假設(shè)存在點(diǎn)尸，使得/尸1尸放=90°,設(shè)P（xo,為），

則瓷質(zhì)=T①'

又去-+“:=1②，由①?聯(lián)立可得X（）2=6,故A正確；

對(duì)于B,設(shè)|PFi|=〃?，|P廣2|="，則m+n=46，因?yàn)镹尸iP尸2=60°,

所以由余弦定理得nr+n1-7cos60。=32,

所以mn=學(xué)，所以$&尸$尸2=1^5in60°=2x竽x苧=竽，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由題得A(0,2),設(shè)P(加，yi),xiW0,則Q(川，-yi),

所以k”以?若士"誓,又"+岸=1'

所以*=12-3比=3（4-於），所以女辭&僅=3；~^2）=,故C正確;

對(duì)于D,P(0,2).設(shè)Q(,vo，yo).貝1J瑤=12—3羽,

2

所以|PQ/=密+(y0-2)=12-3光十舞一4%十4

2

=-2%-4yo+16=-2(y0-l)+18,

因?yàn)?2<yoW2,所以當(dāng)和=-I時(shí)，|PQ『取得最大值18,

所以I尸。|的最大值為3vL故D正確.

2-\logix\,0<x<2

(多選)11.(6分)已知函數(shù)/(x)=2,g(x)=f(x)-小則()

—x2+8x—11,x>2,

A.若g(x)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則2VaV5

B.當(dāng)。=2時(shí)，g(/(x))有5個(gè)不同的零點(diǎn)

C.若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)XI,.V2,X3>X4(X1<X2<X3<X4),則X1X2X3X4的取值范圍是(12,13)

D.若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)XI，X2，X4(A|<X2<X3<X4),則。/小+的取值范圍是(6,

9)

2十luy^f0<1

2-\logx\^0<x<22

【解答】解：由函數(shù)/(乃=2，可得/(%)=12-logXfl<x<2,

-x2+8x-11,x>22

、-%2+8%—11,x>2

作出/(x)的圖象，如圖所示:

對(duì)于A中，由g(x)=f(x)-〃=(),可得f(x)=a,若g(x)有2個(gè)不同的零點(diǎn),

結(jié)合圖象知4Vl或2VaV5,所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B中，當(dāng)。=2時(shí)，由=0,可得/(/(k))=2,

令/=，(X),則有/(Q=2,

可得ti=L今=4—百，t3=4+V3?

結(jié)合圖象知，fl=/(x)有3個(gè)不等實(shí)根，t2=f(x)有2個(gè)不等實(shí)根，t3=f(x)沒(méi)有實(shí)根，

所以g(/(x))有5個(gè)不同的零點(diǎn)，所以B正確；

對(duì)于。中，若g(X)有4個(gè)不同的零點(diǎn)XI，X2，X3,X4(XI<JT2<X3<X4),

貝ij1<a<2,且logw*貝|JX\X2=1,

由二次函數(shù)的對(duì)稱性得X3+X4=8,則XIX2m4=X3X4=X3(8-X3),

結(jié)合3知小￡(2,4-V3),

所以X3(8-X3)G(12,13),

所以*總1衰4的取值范圍為(12,13),所以C正確：

對(duì)于。中，由以1不+&歲=。+，，其中1V〃V2,

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得/i(a)=a+\在(1,2)上為單調(diào)遞減函數(shù)，

可得a+\W(6,9),

所以。與小+安&的取值范圍為(6,9),所以。正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(5分)已知數(shù)列｛〃〃｝是等差數(shù)列，%=1的-8'”為奇數(shù)q記S,7〃分別為｛“〃｝,｛加｝的前〃項(xiàng)和,

I2an+1,八為偶數(shù)

若S3=18,72=10,則乃o=370.

【解答】解：設(shè)等差數(shù)列｛的｝的公差為d.

由S3=18,得a?+ai+a3=ai+ai+d+ai+2J=3ai+3J=18①，

由乃=10,得m-8+2a2+l=ai-8+2(ai+d)+1=10,：.3a\+2d=\l@,

聯(lián)立①②，I：?：：，一；：，解得m=5,d=l,

+Za=17

所以an=a\+(n-1)d=5+(n-1)X1=〃+4.

,fn-4,n為奇數(shù)

則ini力l九—,

(2n+9.n為偶數(shù)

所以及0=(“i+b3+…+加9)+［加+ZM+…+岳。)=(-3-1+1+-+15)+(13+17+…+49)

=^xlOX(-3+15)4-^xlOX(13+49)-60+310-370.

故答案為：370.

13.（5分）已知函數(shù)/'（幻=g3.5）3>0）在區(qū)間冷，可上單調(diào)遞減，則3的取值范圍是_成，（］_?

【解答】解：因?yàn)榱耍╔）在區(qū)間弓，可上單調(diào)遞減，所以7r-9=§，

則7N等，即生之名，所以0V3W,,

3332

因?yàn)閄6W,7r］,（n>0,所以〃比一今6［竽一看，〃）71—看］.

._,,.3_3兀717T7Trrrr47r

因?yàn)?<342，所以彳（_之，于’37r一6€（一小，-3-l,

因?yàn)?（x）在區(qū)間點(diǎn)，捫上單調(diào)遞減，

>o

7T一17

I6

-解得-<<-

，2--6

7-1-<

67r

所以3的取值范圍為奇.

故答案為：g，g］.

14.（5分）已知拋物線Cf=4y,P是直線y=-1上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不在y軸上），過(guò)點(diǎn)〃作。的兩條切

線，切點(diǎn)分別為A,B,圓Q：/+（y-5）2=?（r>0）與直線48切于點(diǎn)。，且6=而，則四邊形

APBQ的面積為16V2.

【解答】解：設(shè)A（xi,y\）,B（X2,y2）,由x?=4y,得y=菅，則y，=*,

所以切線外的斜率為要其方程為y-y1=-必），即y=學(xué)％-號(hào)+yi=號(hào)”-%，

設(shè)P"?i）,M-%i-yt+1=0,同理可得切線P8的方程為一為+1=°，

所以直線A8的方程為、=彳％+1,聯(lián)立'一尹+1,得』-2a-4=0,

x2=^y

貝ljA=4^+16>0,x}+xz=2t,x\xz=~4

衛(wèi)妙?74t2+16=/+4,

所以|AB|=J1

設(shè)小，曲分別為點(diǎn)P，。到直線AB的距高，

則由=d2=『11=_^=,

跖河

1-1_______

2

則四邊形APBQ的面積S=+d2）=1（t+4）（用不5+

因?yàn)門=T所以。為線段AB的中點(diǎn)，則。（3手）,

t2-8

由題可知QQ_LA8,則十解得r=4,

則S=*x8x4&=16vL即四邊形APBQ的面積為16vl

共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）記△A3C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知sinC=/-cosC）￡a*.

（1）求a的值;

（2）若△ABC外接圓的半徑為右且A為銳角，求△ABC面積的最大值.

【解答】解:(1)由題得4sinCcosA=(b-4cosC)sinA,

所以4sinCcosA+4sinAcosC=/?sin/\,

所以4sin(A+C)=bsinAf

乂A+C=n-B,

所以4sinB=bsinA,

由正弦定理得4b=ab,

因?yàn)閎￥0,

所以a=4：

n4

⑵由正弦定理得益=痂=5,

所以sinA=

又A為銳角,

2

所以cosA=V1-sinA=F，

由余弦定理得。2=+c2-ZbccosA=b2+c2-ibc>2be-^bc=ibc,可得bcW20,當(dāng)且僅當(dāng)b=

KJJJ

=2遍時(shí)取等號(hào),

199

所以△ABC的面積S=^bcsinA="cW1x20=8,

故△ABC面積的最大值為8.

16.（15分）如圖1,在平面四邊形S8CO中，△S3。是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，BD±BC,ZBCD=30°,

4為S。的中點(diǎn)，將△SA4沿46折起，使二面角S-AB-。的大小為60。，得到如圖2所示的四棱錐

S-ABCD,點(diǎn)M滿足S士=入6,且入日0,1J.

（1）證明：當(dāng)4=■時(shí),8M〃平面S4。；

（2）求點(diǎn)。到平面S8C的距離；

/TQ

（3）若平面%。與平面BDM夾角的余弦值為二，求人的值.

【解答】解：（1）證明：當(dāng)40時(shí)，M為棱SC的中點(diǎn),

取C。的中點(diǎn)N,連接MMBN,MMN//SD,

因?yàn)镸Mt平面SAO,SOu平面SAO,

所以MN〃平面SAQ,

由題可得NAD8=60°,NBDC=6（）°,NBNC=120°,

所以NA/）C=I2O°=NBNC,所以用V〃人。，

因?yàn)锽NC平面SAD,ADa平面SAD,

所以BN〃平面SAQ,

又MNCBN=N,MN,BNu平面BMN,

所以平面BMN〃平面SAO,又BMu平面8MM

所以/3M〃平面SAD.

（2）由題意得/18_LAO,AI^SA,

所以25人。為二面角5-/m-。的平面角，即NSAO=60°,

又SA=AQ=2,所以△SA。為等邊三角形，

因?yàn)?8_LAO,A8_LSA,AD^SA=A,AD,SAu平面SA。，

所以A4J_平面SA。，又A3u平面A4CO,

所以平面SAO_L平面ABCD,

取47)的中點(diǎn)O,連接SO,則SOJ_AD,

因?yàn)槠矫鍭BC。n平面SAD=AD,

所以SO_L平面4BC。，所以A。，AB,OS兩兩垂直.

則以。為原點(diǎn)，。4,OS所在直線分別為x,z軸，以過(guò)點(diǎn)。且平行于A8的直線為)，軸建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，

則S(0,0,V3),D(-1,0,0),C(-5,4V3,0),8(1,2百，0),

所以4=(1,2VL-V3),BC=(-6,2VL0),SD=(-1,0,-V3),

設(shè)平面S5C的法向量為九=Qi，yx,Zi),

xTr-

fn18

則uS

\nSB=+26yl—V3z1=0

nTT

vn1B

?cn-BC=-6X3+275yl=0

取4=遮，則yi=3,zi=7,所以ri=(b，3,7),

所以點(diǎn)D到平面SBC的距離d=嗎名=j====嚕^

|n|J3+9+49ol

(3)由(2)可得法=(2,26，0),SC=(-5,4A/3,-V3),

則由S.=；lsE得4V3A,V3-V3A),

所以。M=(l-5；l,4V3A,V3-V3A),

設(shè)平面BDM的法向量為m=52，y?，Z2)，

則護(hù)1DM，印［\?DM=(1-54)工2+4V3Ay2+(V3-V3A)z2=0

(m1DB(m-DB=2x2+2A/3y2=0

取)2=1,則％2=一6，x2=-V3-z2=

所以m=(-V5,1,與粵)，

由(2)可知n=(0,2百，0)為平面SA。的一個(gè)法向量，

設(shè)平面S4。與平面BDM的夾角為仇

貝ijcos。=\cos{AB-m)\=--------2v3

2百x1+l+(4S

解得4=/或/1=一/(舍)，

所以人的值為土

17.(15分)為了解并普及人工智能相關(guān)知識(shí)、發(fā)展青少年科技創(chuàng)新能力，某中學(xué)開(kāi)展了“科技改變生活”

人工智能知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽試題有甲、乙、丙三類(每類有若干道題)，各類試題的分值及小明答對(duì)的概

率如表所示，每道題回答正確得到相應(yīng)分值，否則得。分，競(jìng)賽分三輪，每輪回答一道題.依次進(jìn)行,

每輪得分之和即為參賽選手的總得分.

甲類題乙類題丙類題

每題分值102040

每題答對(duì)概率432

543

小明參加競(jìng)賽，有兩種方案可以選擇：

方案一：回答三道乙類題；

方案二：第一輪在甲類題中選擇一道作答，若正確，則進(jìn)入第二輪答題；若錯(cuò)誤，繼續(xù)回答另一道甲類

題，該題回答正確，進(jìn)入第二輪答題，否則退出比賽；第二輪在丙類題中選擇一道作答，若正確，則進(jìn)

入第三輪答題，否則退出比賽；第三輪在乙類題中選擇一道作答.

(1)方案一中，在小明至少答對(duì)2道乙類題的條件下，求小明恰好答對(duì)2道乙類題的概率；

(2)為使總得分的數(shù)學(xué)期望最大，小明應(yīng)選擇哪一種方案？并說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)記事件A為“小明至少答對(duì)2道乙類題”，事件8為“小明恰好答對(duì)2道乙類題”，

則P(A)=廢x(1)2x扛(1)3=各P("=HX(1)2x|=g,

???P(B⑷=^^=3；

(2)設(shè)方案一中小明答對(duì)乙類題的題數(shù)為X.總得分為H,

9

由題意知X?B(3,力，則E(X)=3x1甲

9

?,.E(X)=E(20X)=20E(X)=20X*=45.

設(shè)方案二中小明的總得分為匕，由題意得冷的可能取值為0,10,5(),70,

ill41141R

則p伽=0)=X1為尸⑵=10)=////］西，

2114214142342312

4XX+XXXXXX+XX

---為(>2-=----------

P（Y2=50）=555553453425

--一-

3434

E（巴）=°x會(huì)+10x^+50x言+70乂1|二等=44.8,

:.E（Ki）>E（力）.

，小明應(yīng)該選擇方案一.

18.(17分)已知雙曲線C：冬T=l(a>0,b>0)的焦距為瓜過(guò)點(diǎn)P(0,1)的直線/與。交于A,

B兩點(diǎn)，且當(dāng)/與x軸平行時(shí)，\AB\=2V3.

(1)求。的方程;

(2)記C的右頂點(diǎn)為7,若點(diǎn)A,8均在C的左支上,直線AT,87分別與y軸交于點(diǎn)M,N,且局=XPO,

PM=XPO,PN=i^PO,求入用的取值范圍.

【解答】解：(1)易知雙曲線。經(jīng)過(guò)點(diǎn)(遮，1),

所以仔3一1/；_1,

2c=V6

22

、Q2+b=C

解得a2=I,b2=1,

則雙曲線C的方程為.r-2)2=1：

(2)若直線/的斜率不存在，

此時(shí)直線/與雙曲線C無(wú)交點(diǎn)，不符合題意，

不妨設(shè)直線/的方程為)，=依+1,A(xi>y\),B(,r2,”)，.□,x2<0,

聯(lián)立'消去>,并整理得(1-2---4辰-3=0,

此時(shí)1-2乒#0且A=16斤+12(1-2后)=12-8^>0,

由韋達(dá)定理得4+x2=4k2<0,%1%2=----'2，

12k12k

解得孝，

所以竺VkV。.

22

由（1）知r（i,o）,

此時(shí)直線47的方程為y=1三。-1）.

X11

令x=0,

解得y=三1r

即M（0，，

同理得N（0,手孑）,

所以P為=(0,1),PN=(0,1),PO=(0,-1),

因?yàn)镻M="O,PN=k0,

匚1i、i-yi4一、2一

所以一1=-2,-1=一〃，

%]-142-1

整理得入=熱+1=騁+1,〃=若+1,

川124?〃-3+14.%+1,7_2H/2+(1一女)(4+%2)—2.9

'"一巧一1+X2-l+一勺％2一(巧+%2)+1

2k-^-7+(l-ky-^-7-2

_1-2『l-2k乙

-3_____4/c11

l-2k2l-2k2

因?yàn)閒VkV寺

22

2+V2x/6+2

所以-----<k+1<------

22

此時(shí)-2V&1]<2-V2?

則"v±+2V4-a

rvI1

故入+N的取值范圍為（灰，4-V2）.

19.(17