高考試題分類解析PAGE考點22數列求和及綜合應用選擇題1.(2016·浙江高考文科·T8)同(2016·浙江高考理科·T6)如圖,點列{An},{Bn}分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*(P≠Q表示點P與Q不重合).若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積,則()A.{Sn}是等差數列 B.{}是等差數列C.{dn}是等差數列 D.{}是等差數列【解析】選A.先求出三角形的面積,再利用等差數列的定義判斷數列是否為等差數列.作A1C1,A2C2,A3C3,…,AnCn,…垂直于直線B1Bn,垂足分別為C1,C2,C3,…,Cn,…則A1C1∥A2C2∥…∥AnCn∥…,因為|AnAn+1|=|An+1An+2|,所以|CnCn+1|=|Cn+1Cn+2|,設|A1C1|=a,|A2C2|=b,|B1B2|=c,則|A3C3|=2b-a,…,|AnCn|=(n-1)b-(n-2)a(n≥3),所以Sn=c[(n-1)b-(n-2)a]=c[(b-a)n+(2a-b)],所以Sn+1-Sn=c[(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b)]=c(b-a),又S1=ac,S2=bc,S3=c(2b-a),S2-S1=c(b-a),S3-S2=c(b-a),所以數列{Sn}是等差數列.填空題2.(2016·浙江高考理科·T13)設數列{an}的前n項和為Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,則a1=,S5=.【解題指南】根據已知條件利用數列的有關知識求解.【解析】由題意得,a1+a2=4,a2=2a1+1,解得a1=1,a2=3,再由an+1=2Sn+1,an=2Sn—1+1(n≥2),所以an+1-an=2an,an+1=3an,又a2=3a1,所以an+1=3an(n≥1),S5==121.答案:1121解答題3.(2016·全國卷Ⅰ高考文科·T17)已知{an}是公差為3的等差數列,數列{bn}滿足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通項公式.(2)求{bn}的前n項和.【解析】(1)因為anbn+1+bn+1=nbn,所以a1b2+b2=b1,解得a1=2.又{an}是公差為3的等差數列,所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1,即an=3n-1.(2)由anbn+1+bn+1=nbn得=,所以數列{bn}是首項b1=1,公比q=的等比數列,所以{bn}的前n項和為Sn=.4.(2016·全國卷Ⅲ·文科·T17)(本小題滿分12分)已知各項都為正數的數列{an}滿足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3.(2)求{an}的通項公式.【解析】(1)由題意可得a2=,a3=.(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1).因為{an}的各項都為正數,所以.故{an}是首項為1,公比為的等比數列,因此an=.5.(2016·浙江高考理科·T20)設數列{an}滿足≤1,n∈N*.(1)證明:|an|≥2n-1(|a1|-2),n∈N*.(2)若|an|≤,n∈N*,證明:|an|≤2,n∈N*.【解題指南】(1)先利用三角形不等式得|an|-|an+1|≤1,變形為,再用累加法可得,進而可證|an|≥2n-1(|a1|-2).(2)由(1)可得,進而可得|an|<2+·2n,再利用m的任意性可證|an|≤2.【解析】(1)由≤1,得|an|-|an+1|≤1,所以,n∈N*.所以.因此|an|≥2n-1(|a1|-2).(2)任取n∈N*,由(1)知,對于任意m>n,,故|an|<·2n≤·2n=2+·2n.從而對于任意m>n,均有|an|<2+2n,①由m的任意性得|an|≤2.否則,存在n0∈N*,有||>2,取正整數m0>lo且m0>n0,則<=||-2,與①式矛盾,綜上所述,對于n∈N*,均有|an|≤2.6.(2016·浙江高考文科·T17)設數列{an}的前n項和為Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.(1)求通項公式an.(2)求數列{|an-n-2|}的前n項和.【解題指南】(1)數列的基本計算.(2)利用數列中的分組法進行求和.【解析】(1)由題意得則又當n≥2時,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an,所以數列{an}是以1為首項,公比為3的等比數列,所以an=3n-1,n∈N*.(2)設bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1,當n≥3時,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3,設數列{bn}的前n項和為Tn,則T1=2,T2=3,當n≥3時,Tn=3+,當n=2時,也適合上式.所以Tn=7.(2016·天津高考理科·T18)(本小題滿分13分)已知{an}是各項均為正數的等差數列,公差為d.對任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中項.(1)設cn=,n∈N*,求證:數列{cn}是等差數列.(2)設a1=d,Tn=,n∈N*,求證:.【解題指南】(1)利用等差數列的定義求證.(2)利用bn是an和an+1的等比中項化簡并得出Tn的通項公式,然后利用裂項法求證結論.【證明】(1)cn==an+1an+2-anan+1=2d·an+1.cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2為定值.所以為等差數列.(2)由已知c1==a2a3-a1a2=2d·a2=2d(a1+d)=4d2,將c1=4d2代入(*)式得Tn=2d2n(n+1),所以=,得證.8.(2016·天津高考文科·T18)(本小題滿分13分)已知是等比數列,前n項和為Sn,且,S6=63.(1)求的通項公式.(2)若對任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中項,求數列的前2n項和.【解題指南】(1)利用求出公比q,代入S6=63求出a1.(2)利用等差中項求出bn,然后利用分組求和法求和.【解析】(1)設數列的公比為q,由已知,解得q=2或-1,又由S6==63知q≠-1,所以=63,解得a1=1,所以an=2n-1.(2)由題意得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-,即數列{}是首項為,公差為1的等差數列.設數列{(-1)n}的前n項和為Tn,則9.(2016·北京高考理科·T20)設數列A:a1,a2,…,aN(N≥2).如果對小于n(2≤n≤N)的每個正整數k都有ak<an,則稱n是數列A的一個“G時刻”.記G(A)是數列A的所有“G時刻”組成的集合.(1)對數列A:-2,2,-1,1,3,寫出G(A)的所有元素.(2)證明:若數列A中存在an使得an>a1,則G(A)≠?.(3)證明:若數列A滿足an-an-1≤1(n=2,3,…,N),則G(A)的元素個數不小于aN-a1.【解析】(1)G(A)的元素為2和5.(2)因為存在an使得an>a1,所以{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1}≠?.記m=min{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1},則m≥2,且對任意正整數k<m,ak≤a1<am,因此m∈G(A).從而G(A)≠?.(3)當aN≤a1時,結論成立.以下設aN>a1.由(2)知G(A)≠?.設G(A)={n1,n2,…,np},n1<n2<…<np.記n0=1,則.對i=0,1,…,p,記Gi={k∈N*|ni<k≤N,ak>QUOTE}.如果Gi≠?,取mi=minGi,則對任何1≤k<mi,ak≤.從而mi∈G(A)且mi=ni+1,又因為np是G(A)中的最大元素,所以Gp=?.從而對任意np≤k≤N,ak≤QUOTE,特別地,aN≤QUOTE.對i=0,1,…,p-1,QUOTE-1≤QUOTE,因此QUOTE=QUOTE-1+(QUOTE--1)≤QUOTE+1.所以aN-a1≤-a1=QUOTE(-QUOTE)≤p.因此G(A)的元素個數p不小于aN-a1.10.(2016·北京高考文科·T15)已知{an}是等差數列,{bn}是等比數列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{an}的通項公式.(2)設cn=an+bn,求數列{cn}的前n項和.【解題指南】(1)利用等差、等比數列的基本量進行計算.(2)采用分組求和法.【解析】(1){bn}的公比q==3,首項b1==1,所以{bn}的通項bn=3n-1.所以{an}的首