大招4雙距離單交線公式大招總結兩個三角形平面存在夾角為,其外接球半徑為,則,其中:平面外接圓圓心到交線距離:平面外接圓圓心到交線距離與夾角(當且僅當其中一個三角形為鈍角的時候,取二面角的補角)兩平面的交線長度證明：為球心,為三角形的外接圓圓心,為三角形的外接圓圓心為中點,面面，,設余弦定理是斜邊,為直徑的圓經過正弦定理得:在三角形中使用勾股定理求外接球半徑,所以典型例題例1.(2020-武漢模擬)在三棱錐中,底面是邊長為3的等邊三角形,,若此三棱錐外接球的表面積為,則二面角的余弦值為。解：方法1:由題意得,得到,取中點為中點為,得到為的二面角的平面角,設三角形的外心為,則,球心為過的平面的垂線與過的平面的垂線的交點,三棱錐外接球的表面積為,,所以,由,所以,,同理,得到,由,故答案為:方法2:,交線直接使用公式 例2.(2021春-福州期末)在三棱錐中,,二面角的大小為,則三棱錐的外接球的表面積為()A.B.C.D.解：方法1:取的中點為,由三棱錐中,,二面角的大小為,得到和都是等腰三角形,是二面角的平面角,,二面角的大小為,故設球心為和外心分別為,則平面平面,則外接球半徑,外接球的表面積為.故選D.方法2:,交線直接使用公式,選D.例3.(2018-惠州模擬)在三棱錐中,是邊長為3的等邊三角形,,二面角的大小為,則此三棱錐的外接球的表面積為。解：方法1:由題意得,得到,取中點為中點為,得到為的二面角的平面角,得到,設三角形的外心為,則,球心為過的的垂線與過的的垂線的交點,在四邊形中,,所以,所以球的表面積為.故答案為.方法2:,交線直接使用公式 (例4.(原創題)在三棱錐中,是邊長為的等邊三角形,,二面角的大小為,則此三棱錐的外接球的表面積為。解：注意此時為鈉角三角形,因此圓心在平面外所以的夾角為二面角的補角,交線直接使用公式 (例5.(2021春-瑤海區月考)在菱形中,,將沿折起到的位置,若二面角的大小為,三棱錐的外接球心為點,則三棱錐的外接球的表面積為（）A.B.C.D.解：方法1:四邊形是菱形,是等邊三角形,過球心作平面,則為等邊的中心,取的中點為,則且,由二面角的大小為,得,即,在Rt中,由,可得.在中,,即,設三棱錐的外接球的半徑為,即三棱錐的外接球的表面積為,故選.方法,交線,直拉使用公式例6.(2021-七模擬)在三棱錐中,,當二面角的余弦值為時,三棱錐外接球的表面積為()A.B.C.D.解：方法1:如圖所示,取的中點,連接,由,可得,又平面,是二面角的平面角,由已知可得,在中,由余弦定理可得,則三角形為等腰三角形,取點為的中點,則,又平面,又平面,由勾股定理可知,為外接圓的圓心.過點作,取為三棱錐的外接球的球心,過點作交于一點,連接,設,在中,.設三棱錐外接球的半徑為,由勾股定理可得:,解得.三棱錐外接球的表面積為.故選C.方法是底面外接圓圓心,交線,直接使用公式,.自我檢測1.在四棱錐中,底面為正方形,為等邊三角形,線段中點為,若,則四棱錐的外接球的表面積為。解答：方法1:取的中點,連接,因為底面為正方形,為等邊三角形,所以,又,所以,設正方形的對角線的交點,過做底面的投影,則由題意可得在上,由射影定理可得,而,所以,過做底面的垂線,則四棱錐的外接球的球心在直線上,設為外接球的球心,設球的半徑為,則,過做于,則四邊形為矩形,所以,(i)若球心在四棱錐的內部則可得：在中,,即,(1)在中,,即,(2)由(1)(2)可得,不符合,故舍去.(ii)若球心在四棱錐的外部則可得：在中,,即,(3)在中,,即,(4)由(3)(4)可得,所以四棱錐的外接球的表面積.綜上所述四棱錐的外接球的表面積.故答案為:.方法2:首先確定角度,,,交線直接使用公式, 2.(2021-江西模擬)已知在三棱錐中,,則三棱錐外接球的表面積為。解答：方法1:由題意可知是等邊三角形,是直角三角形,.設的中點為的中心為,過作平面的垂線,過等邊的中心作平面的垂線,則兩平面垂線的交點為三棱錐的外接球的球心.連接,,且,為二面角的平面角,在中由余弦定理可得,,,即三棱錐外接球的半徑為.外接球的表面積.故答案為.方法2:二面角,三角形為為外接圓圓心,,交線,,直接使用公式.3.(2018-西城區校級模擬)在三棱錐中,則三棱錐的外接球的表面積為()A.B.C.D.解答：方法1:,平面,在中,由余弦定理得,,以為軸,以為軸建立如圖所示的坐標系:則,設棱錐的外接球球心為,則,解得外接球的半徑為.外接球的表面積.故選D.方法2:線面垂直模型為底面外接圓半徑,為高,外接圓半徑, 方法3:為二面角,找與的外接圓圓心到交線的距離,交線直接使用公式.4.(2020秋-合肥期末)在三棱錐中,,二面角的余弦值為一,當三棱錐的體積的最大值為時,其外接球的表面積為()A.B.C.D.解答：方法1:如圖,設球心在平面內的射影為,在平面內的射影為,則二面角的平面角為,點在截面圓上運動,點在截面圓上運動,由圖知當時,三棱錐的體積最大,此時與是等邊三角形,設,則,,解得,所以,,設,則,解得,所以,又,所以,則球的半徑,所求外接球的表面積為,故選B.方法2:由題意得:與是正三角形,由體積最大得到和是外接圓圓心,,交線,直接使用公式.5.(2021-汕頭一模)在三棱錐中,是邊長為2的等邊三角形,是以為斜邊的直角三角形,二面角的大小為,則該三棱錐外接球的表面積為。解答：方法1:如圖所示,過等邊中心作直線平面是以為斜邊的直角三角形,外接球的球心在過的斜邊的中點并且垂直于的直線上,即與直線的交點的位置.過作垂直于的直線交于點,由于二面角的大小為,即,所以,由于為等邊三角形,所以,則,則,所以-故答案為:.方法和是外接圓圓心,,交線,直接使用公式.6.(2020-德陽模擬)在四面體中,,二面角的大小為,則四面體外接球的半徑為。解答：方法1:在四面體中,,二面角的大小為,四面體外接球,如圖:則在球的一個小圓上,的中點為圓心是正三角形,也在球的一個小圓上,圓心為,作平面,平面為球心,二面角的大小為,作,則,可得,則,外接球的半徑為:.故答案為:.方法2:由題意得:,交線,直接使用公式.7.(2021春-山東月考)已知三棱錐中,是以角為直角的直角三角形,,為的外接圓的圓心,,那么三棱錐外接球的體積為()A.B.C.D.解答：方法1:如圖,設三棱錐外接球的球心為,半徑為,連結,,由已知可得,為圓的直徑,,則,因為,在中,由余弦定理可得,,則,又,所以為鈍角,由正弦定理可得,,即,解得,所以,因為三線共面,,則,在Rt中,,在中,,所以,解得,故三棱錐的外接球的體積為.故選B.方法2:先求出二面角,再使用公式.在中,由余弦定理可得,,則,又,所以為鈍角,由正弦定理可得,,即,解得,所以,由題意得:為等腰三角形,設為的外接圓圓心,,解得,又,交線,直接使用公式8.(2021春-興寧區校級月考)在三棱錐中,是的中點,與均是正三角形,,則三棱錐的外接球的表面積為()A.B.C.D.解答：方法1:如圖所示,由題意可得:為等邊三角形,設與的中心分別為.設三棱錐的外接