大招1外接球秒殺之補形法大招總結結論:長方體各頂點可在一個球面上,故長方體存在外切球.但是不一定存在內切球.設長方體的棱長為,其體對角線為.當球為長方體的外接球時,截面圖為長方體的對角面和其外接圓,故球的半徑.補形法:把幾何體放到規則圖形里面規則的錐體,如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合,把多面體放到規則幾何體里面類型1:有一條棱垂直于底面類型2:對棱相等利用長方體相對面的對角線長度相等,把四面體放人其中如圖所示,,三棱錐可以放在長方體中,外接球直徑為長方體體對角線.典型例題例1.已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是()A. B. C. D.解：用公式,則,故選C.例2.長、寬、高分別為的長方體的外接球的體積為()A. B. C. D.解：由題意長方體的對角線就是球的直徑.長方體的對角線長為:,外接球的體積,故選B.例3.已知直三棱柱ABC?A1B1C1A.3B.2C.13D.3解因為三棱柱ABC?A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB=3,AC例4.在三棱錐A?BCD中,AB=解將三棱錐補形為長方體,三個長度為三對面的對角線長,設長方體的長、寬、高分別為a,b,c,則例5.(2019-新課標I)已知三棱錐P?ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,A.8B.4C.2D.6解如圖,由PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,可知三棱錐P?ABC為正三棱錐,則頂點P在底面的射影O為底面三角形的中心,連接BO并延長,交AC于G,則AC⊥BG,又PO⊥AC,PO∩BG=O,可得AC⊥平面PBG,則PB⊥AC,∵E,例6.在四面體ABCD中,△BCD是邊長為2的等邊三角形,△ABD是以BD為斜邊的等腰直角三的等腰直角三角形,平面ABD⊥平面ABCA.8B.6C.6D.2解；在四面體ABCD中,△BCD是邊長為2的等邊三角形，△ABD是以BD為斜邊的等腰直角三角形,AB=AD=2,平面ABD⊥平面ABC,如圖,可知AD⊥平面ABC,可得AD⊥AC,所以△BAC是等腰直角三角形,所以三棱錐自我檢測1.若三棱錐的三條側棱兩兩垂直,且側棱長均為3,則其外接球的表面積是依題可以構造一個正方體,其體對角線就是外接球的直徑.2r=3+3+3在正三棱錐S?ABC中,M,N分別是棱SC、BC的中點,且解；第2題圖2.∵M,N分別是棱SC、BC的中點,∴MN//SB,MN⊥AM,可得SB⊥AM,由正三棱錐的性質可得SB⊥AC,∴SB⊥平面SAC?SB⊥SA且SB⊥3.三棱錐P?ABC的側棱PA,PB,C.16B.4D.8A.2解；以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱,作長方體如圖,則長方體的外接球同時也是三棱錐P?ABC外接球.∵長方體的對角線長為23,∴外接球的直徑為2R4.(2021秋-湖南月考)在四面體ABCD中,AB=68316D.16解；由題意可采用割補法,考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形,所以可在其每個面補上一個以10,5,13為三邊的三角形作為底面,且以分別x,y,z長、兩兩垂直的側棱的三棱錐,從而可得到一個長、寬、高分別為x,y,z的長方體,并且5.(2021-柳州三模)在三棱錐V?ABC中,底面△ABC是等邊三角形,頂點V在底面ABC的投影是底面的中心,側面VABA.2B.6C.3D.6解；將該三棱錐放置在正方體當中,如圖所示,設正方體的棱長為1.此三棱錐的體積V1=1積V2=46.(2021-榆林模擬)陽馬,中國古代算數中的一種幾何體,它是底面為長方形,兩個三角面與底面垂直的四棱錐.已知在陽馬P?ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=3A.9B.9C.27D.27解；由題意可知陽馬的體積為:13AB?BC?PD=AB?BC=97.(2021-甘肅模擬)《九章算術商功》有如下敘述:“斜解立方,得兩堵斜解塹堵,其一為陽馬,一為鱉臑.陽馬居二,鱉臑居一,不易之率也.”(陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱謂).取一個長方體,按如圖所示將其一分為二,得兩個一模一樣的三棱柱,均稱為塹堵,再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開,得四棱錐和三棱錐各一個.其中以矩形為底,有一棱與底面垂直的四棱錐,稱為陽馬.余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體,稱為憋臑.那么如圖所示,a=3,塹堵陽馬牧臑A.20B.25C.50D.200解；因為長方體、塹堵、陽馬、鱉臑,各個幾何體的頂點都在同一個外接球的表面積上,所以它們的外接球是相同的,外接球的直徑就是長方體的體對角線的長度,所以外接球的半徑為:R=128.(2021-新鄉二模)在四面體ABCP中,PB⊥平面ABC,且AB⊥AC,AB=AC.若四面體ABCP外接球的半徑為19A.1B.1C.2D.3解；因為PB⊥平面ABC,且AB⊥AC,所以四面體ABCP可