/云南省昭通市第一中學(xué)等三校2024?2025學(xué)年高三下學(xué)期2月高考備考實用性聯(lián)考卷（六）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則中元素的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B．3 C．4 D．3．已知等比數(shù)列的公比為4，則（

）A．2 B．4 C．6 D．84．已知向量滿足，，則（

）A．1 B． C． D．25．已知的展開式中，第2項和第6項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的系數(shù)為（

）A．60 B． C．448 D．6．意大利畫家達(dá)?芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，其中雙曲余弦函數(shù)就是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為，相應(yīng)的雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為.設(shè)函數(shù)，若實數(shù)滿足不等式，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．函數(shù)，若在上有且只有個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知對于，都有，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．有一組樣本數(shù)據(jù)：，其平均數(shù)為2，由這組樣本數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)：，那么這兩組樣本數(shù)據(jù)一定有相同的（

）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．方差 D．極差10．如圖，正方體的棱長為分別是的中點，點是底面內(nèi)一動點，則下列結(jié)論正確的為（

）A．存在點，使得平面B．過三點的平面截正方體所得截面圖形是梯形C．三棱錐的體積不為定值D．三棱錐的外接球表面積為11．已知拋物線，為坐標(biāo)原點，為拋物線的焦點，準(zhǔn)線與軸的交點為點，過作不垂直于軸的直線交于、兩點，設(shè)為軸上一動點，為的中點，且，則（

）A．當(dāng)時，的斜率為B．C．D．當(dāng)正三角形的三個頂點都在拋物線上時，則正三角形的周長為三、填空題（本大題共3小題）12．已知為圓內(nèi)兩點，過的直線與圓交于兩點，若，則的面積為.13．設(shè)雙曲線的離心率為，虛軸長為4，則雙曲線上任意一點到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為.14．已知直線與直線，點是與軸的交點.過作軸的垂線交于點，過作軸的垂線交于點，過作軸的垂線交于點，過作軸的垂線交于點，依此方法一直繼續(xù)下去，可得到一系列點，設(shè)坐標(biāo)為，則；數(shù)列則集合中元素的個數(shù)為.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角的對邊分別為邊，若.(1)求角；(2)若，求的面積.16．如圖所示，在四棱錐中，，底面為正方形，側(cè)面底面，點是線段的中點.(1)求證：；(2)若，求所成二面角的正切值.17．2024年11月7日至11日昆明第二十一屆國際汽車博覽會在滇池會展中心舉行，華為展廳拿出來20個問界M9汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：雅丹黑外觀星河藍(lán)外觀赤茶橘內(nèi)飾105月影灰內(nèi)飾23(1)若小張從這些模型中隨機拿出一個模型，記事件為小張取到雅丹黑外觀的模型，事件為小張取到月影灰內(nèi)飾的模型，求和，并判斷事件和事件是否獨立；(2)華為公司現(xiàn)場舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，給出以下抽獎規(guī)則：①選到的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果：即外觀和內(nèi)飾均同色，外觀和內(nèi)飾都異色以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；②按結(jié)果的可能性大小設(shè)置獎項，概率越小獎金越高；③該抽獎活動的獎金為：一等獎760元，二等獎380元，三等獎190元.請你分析獎項對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)為獎金額，寫出的分布列并求出的數(shù)學(xué)期望.18．設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，是橢圓短軸的一個頂點，已知的面積為.

(1)求橢圓的方程；(2)如圖，是橢圓上不重合的三點，原點是的重心，求點到直線的距離的最大值.19．定義函數(shù)的“原函數(shù)”如下：若存在函數(shù)，使，則稱為函數(shù)的一個原函數(shù).現(xiàn)已知是函數(shù)的一個原函數(shù).(1)設(shè)，的定義域均為，證明：若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；(2)分別寫出函數(shù)與的一個原函數(shù)與（不需證明）；(3)設(shè)且，若當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案1．【答案】B【詳解】由，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以，所以中有3個元素，故選：B.2．【答案】A【詳解】因為，所以的虛部為?3，故選：A.3．【答案】D【詳解】由題意可知，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為2，所以，故選：D.4．【答案】C【詳解】因為，，所以，，故選：C.5．【答案】A【詳解】∵第2項和第6項的二項式系數(shù)相等，∴，則，則展開式通項公式是，令，得，∴的系數(shù)為，故選：A.6．【答案】C【詳解】由題意，，由，則函數(shù)為奇函數(shù)，即因，由于為單調(diào)遞增函數(shù)，故為增函數(shù)，則，解得或，故選：C.7．【答案】B【詳解】令，得，由于，所以.又因為在上有且只有個零點，所以，解得，因此，正實數(shù)的取值范圍是.故選：B.8．【答案】D【詳解】不等式可轉(zhuǎn)化為因為，所以設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，又，所以又，所以對恒成立，即令，則由得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以則故選：D.9．【答案】AD【詳解】由題意得，則新的平均數(shù)，A正確；舉例：1，1，1，2，2，5滿足平均數(shù)為2，中位數(shù)為，增加數(shù)據(jù)2后中位數(shù)變成了2，B錯誤；舉例：1，2，2，2，2，3，其方差為，增加數(shù)據(jù)2后方差變?yōu)?，C錯誤；根據(jù)平均數(shù)的概念知，當(dāng)所有數(shù)據(jù)均相等時取等號，則數(shù)據(jù)增加一個數(shù)據(jù)2，極差不變，D正確，故選:AD.10．【答案】ABD【詳解】當(dāng)P為BD中點時，由中位線可得：，不在平面，在平面內(nèi)，所以平面，A正確；由中位線易知，在正方體中，易證，所以，所以截面為梯形，B正確；因為，所以體積為定值，C錯誤；三棱錐的外接球可以補形為長方體外接球，半徑，所以表面積D正確，故選：ABD.11．【答案】ABC【詳解】對于A選項，易知，拋物線的焦點為，當(dāng)直線與軸重合時，直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，因為，即，所以，，則，所以，，可得，，解得，所以，直線的斜率為，A對；

對于B選項，，，故點，且直線的方程為，即，在直線的方程中，令可得，即點，所以，，故，B對；對于C選項，，所以，直線平分，由角平分線定理可得，所以，，則，C對；對于D選項，設(shè)、，由為正三角形，則，所以，，即，即，因為，，可得，所以，且，所以，點與點關(guān)于軸對稱，設(shè)點在第一象限，則直線的傾斜角為，由可得，所以，，即等邊的邊長為，故其周長為，D錯.故選：ABC.12．【答案】4【詳解】由垂徑定理知O到直線AB的距離為，所以.故答案為：413．【答案】/【詳解】由題意可得，即，又，即，得.設(shè)為雙曲線C上任意一點，則，即.而雙曲線C的漸近線為，所以點M到兩條漸近線的距離之積為.故答案為：14．【答案】4864948【詳解】由題意可得：，，則，，當(dāng)時，易得，且，則，所以，而，故，所以，所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，，，所以.，當(dāng)時，遞增，且，因此對于集合中的元素有：當(dāng)時，可取共97種情況，當(dāng)時，可取共98種情況，當(dāng)時，可取共97種情況，當(dāng)時，可取共96種情況，，當(dāng)時，可取共2種情況，當(dāng)時，可取共1種情況，綜上，可取的情況共有.故答案為：486；4948.15．【答案】(1)或(2)【詳解】（1）由得，則，由，得，則或所以或.（2）由，得，，在中，由及正弦定理，得，而，則，于是，又，則，解得，即，則，由，得，所以的面積.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，取的中點，連接，連接，交于.在中，，，，平面平面，平面底面，平面，底面，平面，，在正方體中，，，又，，即，平面平面，平面.（2）過點作的平行線，交于，則，由（1）知底面，平面，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，因為平面平面，平面平面，平面平面，，則，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，，設(shè)所成二面角為，由圖可知為銳角，，，，所成二面角的正切值為.17．【答案】(1)，事件和事件不獨立(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為369元【詳解】（1），，同時取到雅丹黑外觀和月影灰內(nèi)飾的模型有2個，即，.

因為，所以，即事件和事件不獨立.（2）由題意知760，380，190，則外觀和內(nèi)飾均同色的概率外觀和內(nèi)飾都異色的概率僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率，因為，所以，，，則X的分布列為：（元）.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得整理得，解得，所以橢圓方程為.（2）（i）當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)，則因為原點是的重心，所以，得到，，將，代入，解得，或，此時到直線的距離為.（ii）當(dāng)斜率存在時，設(shè)所在直線方程為，由，消得，則，即，且，因為原點是的重心，所以，得到，故，又點在橢圓上，則，整理可得，所以點到直線的距離為.綜上所述，得點到直線的距離的最大值為.19．【