2024-2025學年江蘇省南通等六市高考數學試題原創模擬卷（七）注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，若函數在區間上單調遞增，則的最大值為（）．A． B． C． D．2．某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長度的集合，則（）A．B．C．D．3．已知，，若，則向量在向量方向的投影為（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的左焦點為，直線經過點且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線與雙曲線的左支交于不同的兩點，，若，則該雙曲線的離心率為（）．A． B． C． D．5．某人用隨機模擬的方法估計無理數的值，做法如下：首先在平面直角坐標系中，過點作軸的垂線與曲線相交于點，過作軸的垂線與軸相交于點（如圖），然后向矩形內投入粒豆子，并統計出這些豆子在曲線上方的有粒，則無理數的估計值是（）A． B． C． D．6．設是定義在實數集上的函數，滿足條件是偶函數，且當時，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．7．有一改形塔幾何體由若千個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為8，如果改形塔的最上層正方體的邊長小于1，那么該塔形中正方體的個數至少是（）A．8 B．7 C．6 D．48．已知曲線的一條對稱軸方程為，曲線向左平移個單位長度，得到曲線的一個對稱中心的坐標為，則的最小值是（）A． B． C． D．9．若點x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區域內（包括邊界），則A．-3,1 B．-3,5 C．-∞,-310．已知等差數列中，若，則此數列中一定為0的是（）A． B． C． D．11．如圖，平面與平面相交于，，，點，點，則下列敘述錯誤的是（）A．直線與異面B．過只有唯一平面與平行C．過點只能作唯一平面與垂直D．過一定能作一平面與垂直12．一個頻率分布表（樣本容量為）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數據在上的頻率為，則估計樣本在、內的數據個數共有（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記為數列的前項和，若，則__________.14．展開式中項系數為160，則的值為______.15．在中，內角所對的邊分別是，若，，則__________.16．若函數(R，)滿足，且的最小值等于，則ω的值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（1）若曲線在點處的切線方程為，求，；（2）當時，，求實數的取值范圍.18．（12分）已知橢圓：的離心率為，左、右頂點分別為、，過左焦點的直線交橢圓于、兩點（異于、兩點），當直線垂直于軸時，四邊形的面積為1．（1）求橢圓的方程；（2）設直線、的交點為；試問的橫坐標是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．19．（12分）如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側面是矩形,是的中點,是棱上的點,且.（1）證明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.20．（12分）平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，點．（1）求曲線的極坐標方程與直線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于點，曲線與曲線交于點，求的面積．21．（12分）曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；(2)若直線與曲線，的交點分別為、（、異于原點），當斜率時，求的最小值.22．（10分）已知函數f(x)=x-2a-x-a（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范圍；（Ⅱ）若a<0，對?x，y∈-∞,a，都有不等式f(x)≤(y+2020)+

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

由題意利用函數的圖象變換規律，正弦函數的單調性，求出的最大值．【詳解】解：把函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，若函數在區間，上單調遞增，在區間，上，，，則當最大時，，求得，故選：C．本題主要考查函數的圖象變換規律，正弦函數的單調性，屬于基礎題．2．D【解析】

如圖所示：在邊長為的正方體中，四棱錐滿足條件，故，得到答案.【詳解】如圖所示：在邊長為的正方體中，四棱錐滿足條件.故，，.故，故，.故選：.本題考查了三視圖，元素和集合的關系，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.3．B【解析】

由，，，再由向量在向量方向的投影為化簡運算即可【詳解】∵∴，∴，∴向量在向量方向的投影為.故選：B.本題考查向量投影的幾何意義，屬于基礎題4．A【解析】

直線的方程為，令和雙曲線方程聯立，再由得到兩交點坐標縱坐標關系進行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設.則，且將代入雙曲線方程中，得到設則由，可得，故則，解得則所以雙曲線離心率故選：A此題考查雙曲線和直線相交問題，聯立直線和雙曲線方程得到兩交點坐標關系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.5．D【解析】

利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區域的面積，進而利用幾何概型的概率公式得出關于的等式，解出的表達式即可.【詳解】在函數的解析式中，令，可得，則點，直線的方程為，矩形中位于曲線上方區域的面積為，矩形的面積為，由幾何概型的概率公式得，所以，.故選：D.本題考查利用隨機模擬的思想估算的值，考查了幾何概型概率公式的應用，同時也考查了利用定積分計算平面區域的面積，考查計算能力，屬于中等題.6．C【解析】∵y=f（x+1）是偶函數，∴f（-x+1）=f（x+1），即函數f（x）關于x=1對稱．

∵當x≥1時，為減函數，∵f（log32）=f（2-log32）=f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，

故選C7．A【解析】

則從下往上第二層正方體的棱長為：，從下往上第三層正方體的棱長為：，從下往上第四層正方體的棱長為：，以此類推，能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1時該塔形中正方體的個數的最小值的求法.【詳解】最底層正方體的棱長為8，則從下往上第二層正方體的棱長為：，從下往上第三層正方體的棱長為：，從下往上第四層正方體的棱長為：，從下往上第五層正方體的棱長為：，從下往上第六層正方體的棱長為：，從下往上第七層正方體的棱長為：，從下往上第八層正方體的棱長為：，∴改形塔的最上層正方體的邊長小于1，那么該塔形中正方體的個數至少是8.故選：A.本小題主要考查正方體有關計算，屬于基礎題.8．C【解析】

在對稱軸處取得最值有，結合，可得，易得曲線的解析式為，結合其對稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對稱軸.，又..∴平移后曲線為.曲線的一個對稱中心為..，注意到故的最小值為.故選：C.本題考查余弦型函數性質的應用，涉及到函數的平移、函數的對稱性，考查學生數形結合、數學運算的能力，是一道中檔題.9．D【解析】

畫出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區域，y+1x-2表示封閉區域內的點(x,y)【詳解】畫出曲線x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區域內的點(x,y)和定點P(2,-1)設k=y+1x-2，結合圖形可得k≥k由題意得點A,B的坐標分別為A(3,0),B(1,2)，∴kPA∴k≥1或k≤-3，∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D．解答本題的關鍵有兩個：一是根據數形結合的方法求解問題，即把y+1x-210．A【解析】

將已知條件轉化為的形式，由此確定數列為的項.【詳解】由于等差數列中，所以，化簡得，所以為.故選：A本小題主要考查等差數列的基本量計算，屬于基礎題.11．D【解析】

根據異面直線的判定定理、定義和性質，結合線面垂直的關系，對選項中的命題判斷.【詳解】A.假設直線與共面，則A，D，B，C共面，則AB，CD共面，與，矛盾，故正確.B.根據異面直線的性質知，過只有唯一平面與平行，故正確.C.根據過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知，故正確.D.根據異面直線的性質知，過不一定能作一平面與垂直，故錯誤.故選：D本題主要考查異面直線的定義，性質以及線面關系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.12．B【解析】

計算出樣本在的數據個數，再減去樣本在的數據個數即可得出結果.【詳解】由題意可知，樣本在的數據個數為，樣本在的數據個數為，因此，樣本在、內的數據個數為.故選：B.本題考查利用頻數分布表計算頻數，要理解頻數、樣本容量與頻率三者之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．-254【解析】

利用代入即可得到，即是等比數列，再利用等比數列的通項公式計算即可.【詳解】由已知，得，即，所以又，即，，所以是以-4為首項，2為公比的等比數列，所以，即，所以。故答案為：本題考查已知與的關系求，考查學生的數學運算求解能力，是一道中檔題.14．-2【解析】

表示該二項式的展開式的第r+1項，令其指數為3，再代回原表達式構建方程求得答案.【詳解】該二項式的展開式的第r+1項為令，所以，則故答案為：本題考查由二項式指定項的系數求參數，屬于簡單題.15．【解析】

先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值.【詳解】由于，所以，所以.由正弦定理得.故答案為：本小題主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函數的基本關系式，考查兩角和的正弦公式，考查三角形的內角和定理，屬于中檔題.16．1【解析】

利用輔助角公式化簡可得,由題可分析的最小值等于表示相鄰的一個對稱中心與一個對稱軸的距離為,進而求解即可.【詳解】由題,,因為,,且的最小值等于,即相鄰的一個對稱中心與一個對稱軸的距離為,所以,即,所以,故答案為:1本題考查正弦型函數的對稱性的應用,考查三角函數的化簡.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

(1)對函數求導，運用可求得的值，再由在直線上，可求得的值；(2)由已知可得恒成立，構造函數，對函數求導，討論和0的大小關系，結合單調性求出最大值即可求得的范圍.【詳解】（1）由題得，因為在點與相切所以，∴（2）由得，令，只需，設（），當時，，在時為增函數，所以，舍；當時，開口向上，對稱軸為，，所以在時為增函數，所以，舍；當時，二次函數開口向下，且，所以在時有一個零點，在時，在時，①當即時，在小于零，所以在時為減函數，所以，符合題意；②當即時，在大于零，所以在時為增函數，所以，舍.綜上所述：實數的取值范圍為本題考查函數的導數，利用導數求函數的單調區間及函數的最小值，屬于中檔題．處理函數單調性問題時，注意利用導函數的正負，特別是已知單調性問題，轉化為函數導數恒不小于零，或恒小于零，再分離參數求解，求函數最值時分析好單調性再求極值，從而求出函數最值．18．（1）（2）是為定值，的橫坐標為定值【解析】

（1）根據“直線垂直于軸時，四邊形的面積為1”列方程，由此求得，結合橢圓離心率以及，求得，由此求得橢圓方程.（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，化簡后寫出根與系數關系.求得直線的方程，并求得兩直線交點的橫坐標，結合根與系數關系進行化簡，求得的橫坐標為定值.【詳解】（1）依題意可知，解得，即；而，即，結合解得，，因此橢圓方程為（2）由題意得，左焦點，設直線的方程為：，，．由消去并整理得，∴，．直線的方程為：，直線的方程為：．聯系方程，解得，又因為．所以．所以的橫坐標為定值．本小題主要考查根據橢圓離心率求橢圓方程，考查直線和橢圓的位置關系，考查直線和直線交點坐標的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.19．（1）見解析（2）【解析】

（1）連結BM，推導出BC⊥BB1，AA1⊥BC，從而AA1⊥MC，進而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推導出四邊形AMNP是平行四邊形，從而MN∥AP，由此能證明MN∥平面ABC．（2）推導出△ABA1是等腰直角三角形，設AB，則AA1＝2a，BM＝AM＝a，推導出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M為坐標原點，MA1，MB，MC為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．【詳解】（1）如圖1，在三棱柱中，連結，因為是矩形，所以，因為，所以，又因為，，所以平面，所以，又因為，所以是中點，取中點，連結，，因為是的中點，則且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（圖1）（圖2）（2）因為，所以是等腰直角三角形，設，則，.在中，，所以.在中，，所以，由（1）知，則，，如圖2，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，.所以，則，，設平面的法向量為，則即取得.故平面的一個法向量為，因為平面的一個法向量為，則.因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.本題考查線面平行的證明，考查了利用空間向量法求解二面角的方法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．20．（1）．（2）【解析】

(1)根據題意代入公式化簡即可得到.(2)聯立極坐標方程通過極坐標的幾何意義求解，再求點到直線的距離即可算出三角形面積.【詳解】解：（1）曲線，即．∴．曲線的極坐標方程為．直線的極坐標方程為，即，∴直線的直角坐標方程為．（2）設，，∴，解得．又，∴（舍去）．∴．點到直線的距離為，∴的面積為．此題考查參數方程，極坐標，直角坐標之間相互轉化，注意參數方程只能先轉化為直角坐標再轉化為極坐標，屬于較易題目.21．（1）的極坐標方程為；曲線的直角坐標方程.（2）【解析】

(1)消去參數，可得曲線的直角坐標方程，再利用極坐標與直角坐標的互化，即可求解.(2)解法1：設直線的傾斜角為，把直線的參數方程代入曲線的普通坐標方程，求得，再把直線的參數方程代入曲線的普通坐標方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：設直線的極坐標方程為，分別代入曲線，的極坐標方程，得，，得出，即可基本不等式，即可求解.【詳解】(1)由題曲線的參數方程為（為參數），消去參數，可得曲線的直角坐標方程為，即，則曲線的極坐標方程為，即，又因為曲線的極坐標方程為，即，根據，代入即可求解曲線的直角坐標方程.(2)解法1：設直線的傾斜角為，則直線的參數方程為（為參數，），把直線的參數方程代入曲線的普通坐標方程得：，解得，，，把直線的參數方程代入曲線的普通坐標方程得：，解得，，，，，即，，，，當且僅當，即時取等號，故的最小值為.解法2：設直線的極坐標方程為），代入曲線的極坐標方程，得，，把直線的參數方程代入曲線的極坐標方程得：，，即，，曲線的參，即，，，，當且僅當，即時取