第9章

軸對稱、平移與旋轉世界充滿著運動，從天體、星球的運行，到原子、粒子的作用，其中最基本的是軸對稱、平移、旋轉等運動.軸對稱、平移與旋轉等合成了大千世界千姿百態的運動.★本章將探究在軸對稱、平移與旋轉的圖形變化下圖形的不變性質，并應用軸對稱、平移與旋轉等方法進行圖案設計，從中體會圖形變化在幾何研究中的作用.9.1.1生活中的軸對稱1.通過欣賞、折疊等活動，認識軸對稱圖形的共同特征，能識別簡單的軸對稱圖形及對稱軸.2.通過實踐操作，理解軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區別.3.判別一個圖形是否是軸對稱圖形，軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱的區別與聯系.欣賞生活中的圖片：這些美麗的圖形來自生活，把這些圖形沿著某條直線對折一下，看看對折后的兩部分能完全重合嗎？如果折一次得不到你想要的結果，那再多折幾次試試.生活中有很多類似的現象，如從鏡子里看到自己的像，把手掌蓋在鏡子上，鏡子里的手與自己的手完全重合在一起，這些都可以稱為對稱，你還能舉些例子嗎？那么，什么是對稱？對稱的特點是什么？軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿著某條直線對折，對折后的兩部分完全重合，像這樣的圖形，叫做軸對稱圖形，這條直線就叫做這個圖形的對稱軸.軸對稱圖形對稱軸知識點1軸對稱圖形1.“完全重合”的意思是__________.2.這條直線可以不經過這個圖形本身嗎？3.圓的直徑是圓的對稱軸嗎？完全相等不可以.不是.直徑所在的直線是圓的對稱軸.試一試

用一張半透明的紙描出如圖所示的星形圖，然后用不同的方式對折，可知這顆星有_____條對稱軸，請你在圖中畫出來.6例1

找出下列各圖形中的對稱軸，并說明哪一個圖形的對稱軸最多....圓的對稱軸最多.?溫馨提示：(1)對稱軸是一條直線，而不是線段或射線.(2)一個軸對稱圖形的對稱軸可以有一條，也可以有兩條，還可以有無數條，要視圖形具體分析判定.知識點2兩個圖形成軸對稱下面的兩組圖形有什么共同特點？A′ABC對稱軸對稱軸

把一個圖形沿著某一條直線對折，如果它能與另一個圖形完全重合，那么就說這兩個圖形成軸對稱,這條直線叫做對稱軸.折疊后重合的點是對應點,叫做對稱點.如圖點A、A′就是一對對稱點.軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱的區別與聯系：軸對稱圖形兩個圖形成軸對稱圖形區別聯系有特殊位置關系的兩個相同圖形1.都是沿著某條直線折疊后能重合；2.可以通過分割或整合互相轉化.具有特殊形狀的一個圖形A1ABB1C1例2

請你標出圖中A、B、C三點的對稱點A1、B1、C1.C知識點3軸對稱圖形的基本性質如圖，點A1、B1、C1即為所求.?歸納軸對稱圖形(或成軸對稱的兩個圖形)沿對稱軸對折后的兩部分是完全重合的.軸對稱圖形(或成軸對稱的兩個圖形)的對稱線段(對折后重合的線段)相等，對應角(對折后能夠重合的角)相等.1.下列圖形中，一定是軸對稱圖形的是（）

A.銳角三角形B.曲線

C.線段D.直角三角形C2.如圖，哪一個選項中的右邊圖形與左邊圖形成軸對稱()ABCDC3.下列交通標志中哪些是軸對稱圖形？×√×√4.判斷下列圖形是否為軸對稱圖形？解：(1)(3)(4)(7)

不是軸對稱圖形.軸對稱圖形軸對稱兩個圖形成軸對稱基本性質9.1.2軸對稱的再認識1.通過折疊的方式認識線段和角等圖形的軸對稱性，通過探索得到軸對稱圖形的對稱軸的畫法.（重點）2.通過畫對稱軸，掌握基本的作圖方法.3.會用尺規作圖作已知線段的垂直平分線和作已知角的平分線.（重點、難點）如果一個圖形沿著某條直線對折后，對折的兩部分是完全重合的，那么這個圖形就是軸對稱圖形，這條直線就叫做這個圖形的對稱軸.2.什么是兩個圖形成軸對稱？把一個圖形沿著某一條直線對折，如果它能與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸，兩個圖形中的對應點(即兩個圖形重合時互相重合的點)叫做對稱點.1.什么是軸對稱圖形？我們已經學會了什么是軸對稱圖形，那么線段、角是軸對稱圖形嗎？知識點1線段的對稱性問題1請你在半透明紙上畫出線段AB，對折線段AB，使點A與點B重合，在折痕上任取兩點P、Q，然后用直尺畫出折痕PQ，直線PQ與線段AB相交于點O.對折后，線段OA與OB是否重合？∠POA與∠POB是否重合？你能說明直線PQ與線段AB的關系嗎？ABPQ∟OABPQ∟O通過上面的操作可以看出，線段OA和線段OB互相重合，∠POA=∠POB=90°.因此，直線PQ是線段AB的垂直平分線.可知：線段是軸對稱圖形，其對稱軸就是該線段的垂直平分線.注意：線段的垂直平分線是直線.問題2

根據前面的發現，你能利用尺規作圖作出已知線段的垂直平分線嗎？（1）分別以點A和B為圓心、相同長（大于線段AB長的一半）為半徑作弧，兩弧分別相交于點P和點Q；（2）作直線PQ.直線PQ就是所要求作的線段AB的垂直平分線．

如圖，已知線段AB，試利用尺規作圖，按下列作法準確地作出線段AB的垂直平分線.BAPQ如圖，作△ABC的邊BC的垂直平分線.ABCEF答：直線EF就是要求作的垂直平分線.知識點2角的軸對稱性問題3

如圖，在半透明的紙上畫出∠AOB，對折∠AOB，使角的兩條邊完全重合，然后在折痕(角的內部)上任取一點P，用直尺畫出折痕OP，顯然射線OP是該角的平分線，看看直線OP與∠AOB是什么關系.AOBP

從上面的操作中可以看出，角也是軸對稱圖形，其對稱軸是這個角的平分線所在的直線.思考我們已經能利用尺規作圖作出已知線段的垂直平分線，那么如何作出已知角的平分線，從而得到已知角的對稱軸呢？（1）以點O為圓心、任意長為半徑作弧，與角的兩邊分別交于M、N兩點；（2）分別以M、N為圓心、相同長（大于線段MN長的一半）為半徑作弧，在∠AOB內，兩弧相交于點P；（3）作射線OP.射線OP就是所要求作的∠AOB的平分線.ABONMP做一做

如圖，已知∠AOB，試利用尺規作圖，按下列作法準確地作出∠AOB的平分線.ADECB

如圖，∠B即為所求.知識點3確定軸對稱圖形的對稱軸

試一試

方格紙內的兩圖形都是軸對稱圖形，請畫出它們的對稱軸.做一做

如圖，點A和點A′關于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？分析

根據線段的對稱性，若連結AA′，線段AA′關于其垂直平分線對稱，則點A、點A′關于線段AA′的垂直平分線也對稱.（1）連結AA′；（2）作AA′的垂直平分線l；直線l就是點A和點A′的對稱軸.AA′l

用前面的方法試著分別畫出如圖所示圖形的對稱軸.

對稱軸的畫法(1)找出軸對稱圖形的任意一組對稱點并連結.(2)畫出對稱點所在線段的垂直平分線，則這條線就是它的對稱軸.即：如果一個圖形是軸對稱圖形，那么連結對稱點的線段的垂直平分線就是該圖形的對稱軸.1.

正方形的對稱軸有

()A.

1

條

B.

2

條 C.

3

條

D.

4

條2.

下列說法正確的是

()A.

角是軸對稱圖形，它的平分線就是它的對稱軸B.

全等三角形一定能關于某條直線對稱C.

直角三角形不是軸對稱圖形D.

等邊三角形有三條對稱軸DD3.

如圖所示的五角星是軸對稱圖形，它的對稱軸共有()A.

1

條B.

3

條C.

5

條D.

無數條4.

①正方形；②等腰三角形；③長方形；④圓；⑤等邊三角形，都是軸對稱圖形，按對稱軸由少到多的順序排列是()A.

①③②⑤④

B.

①②③④⑤C.

②③⑤①④

D.

④①⑤③②CCBA

5.四等分已知線段AB.如圖，線段AB被四等分.6.下列各圖中，畫出你認為是軸對稱的圖形的對稱軸.圖2、圖3是軸對稱圖形，對稱軸如圖所示：線段的對稱性軸對稱線段的垂直平分的作法角平分線的作法角的軸對稱形軸對稱圖形確定圖形的對稱軸9.1.3作軸對稱圖形1.能按要求作出簡單平面圖形關于直線對稱的圖形，探索作一般的軸對稱圖形的方法；（重點）2.探究較復雜的軸對稱圖形的作法.（難點）

怎么畫軸對稱圖形的對稱軸？(1)找出軸對稱圖形的任意一組對稱點并連結.(2)畫出對稱點所在線段的垂直平分線，則這條線就是它的對稱軸.下列圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，請畫出它們的對稱軸.是我們本節課就來研究一下如何畫軸對稱圖形.將畫好的軸對稱圖形遮掉左邊一半或右邊一半后，你能還原出原來的圖形來嗎？試一試

如圖，實線所構成的圖形為已知圖形，虛線為對稱軸，試畫出已知圖形的軸對稱圖形.畫好之后，你可以通過折疊的方法來驗證你畫得是否正確.在格點圖中，可以通過找到格點關于對稱軸的對稱點，作出已知圖形的軸對稱圖形.(1)需要找到_____個關鍵點，然后順次連結即可；(2)需要找到_____個關鍵點，然后順次連結即可.53做一做

如果沒有上述的格點圖輔助，我們該如何做呢？如圖，已知點

A

和直線l，試畫出點

A

關于直線l

的對稱點

A′.﹒lA﹒A′O作法：(1)過點

A

作l的垂線，垂足為點

O；(2)在垂線上l的另一側截取

OA′=OA.則點

A′

就是點

A

關于直線l

的對應點.

知識點1畫已知點的對稱點

前面我們已經能利用尺規作圖，作已知線段的垂直平分線，作已知角的平分線，那么如何利用尺規作圖，過已知點作出已知直線的垂線？已知點與已知直線可以有兩種不同的位置關系：點在直線上；點在直線外.現分別按這兩種情況作圖.如圖，已知點C在直線AB上，因此所要求作的垂線正好是平角∠ACB的平分線所在的直線.試利用尺規作圖，按下列作法準確地作出直線AB的垂線.（1）作平角∠ACB的平分線CP；（2）反向延長射線CP.直線CP就是所要求作的垂線.CBAP1.經過直線上一點作已知直線的垂線如圖，經過已知直線AB外一點C，試利用尺規作圖，按下列作法準確地作出直線AB的垂線.（1）以點C為圓心、適當長(大于點C到直線AB的距離)為半徑作弧，交直線AB于M、N兩點；（2）分別以點M、N為圓心，相同長(大于線段MN長的一半)為半徑作弧，兩弧相交于點P;（3）作直線CP.直線CP就是所要求作的垂線.CBAMNP2.經過直線外一點作已知直線的垂線如圖，點P在∠O的一邊上，試過點P作該角兩邊的垂線.AOPB如圖，PA、PB即為所求作的垂線.知識點2畫軸對稱圖形例1

已知△ABC和直線l，作出△ABC關于直線l對稱的圖形.你能否從上面的畫法中得到啟示，幫助你解決例題？分析：△ABC可以由三個頂點的位置確定，只要能分別畫出這三個頂點關于直線l的對應點，連結這些對應點，就能得到要作的圖形.ABC作法：(1)

過點A

作直線

l

的垂線，垂足為點

O，在垂線上截取

OA′=OA，A′就是點

A

關于直線

l

的對應點；(3)

連結

A′B′，B′C′，C′A′，得到△A′B′C′即為所求.(2)

同理，分別畫出點

B，C關于直線

l

的對應點

B′，C′；ABCA′B′C′O1.畫軸對稱圖形的依據：對稱軸是對稱點連線的垂直平分線，即一對對稱點到對稱軸的距離相等，所以只要過一個點向對稱軸畫垂線并截取相等的垂線段便可以得到它的對稱點．2.畫軸對稱圖形的方法步驟：(1)找出已知圖形中的特殊點

(如線段的端點、角的頂點、折線的拐點等)；(2)作出特殊點關于對稱軸的對稱點；(3)依次連結各對稱點，得到的圖形就是所要求作的圖形．1.下面是四位同學作△ABC關于直線MN的軸對稱圖形，其中正確的

是()B2.下列說法中，正確的是()A.作一個圖形的對稱圖形只能作一個B.作一個圖形的對稱圖形能作有限個C.因為選取對稱軸的位置不同，所以作一個圖形的對稱圖形可有無數個D.不規則的，復雜的圖形不存在對稱軸C3．如圖，△ABC和△A′B′C′關于直線MN對稱，其中點

A，A′是一組對稱點，AA′交MN于點O，若AA′=8cm，則

A′O=____cm，∠A′OM=____度．4904．如圖是由三個小正方形組成的圖形，若在圖中補畫一個小正方形使補畫后的圖形為軸對稱圖形，則共有____種補法．45.在平面鏡里看到其對面墻上電子鐘示數如圖所示，那么實際時間是_________．5:016.如圖，作△ABC邊BC上的高.ABCDAD就是要求作的高.1.畫軸對稱圖形的依據：對稱軸是對稱點連線的垂直平分線，即一對對稱點到對稱軸的距離相等，所以只要過一個點向對稱軸畫垂線并截取相等的垂線段便可以得到它的對稱點．2.畫軸對稱圖形的方法步驟：(1)找出已知圖形中的特殊點

(如線段的端點、角的頂點、折線的拐點等)；(2)作出特殊點關于對稱軸的對稱點；(3)依次連結各對稱點，得到的圖形就是所要求作的圖形．9.1.4

設計軸對稱圖案1.能設計簡單的軸對稱圖案，感受軸對稱在生活中的應用；（重點）2.利用軸對稱設計較復雜的圖案.（難點）

請同學們動手嘗試下圖中的剪紙，試著自己設計一個剪紙，比比看誰的最好看！知識點1圖案的軸對稱性在生活中，我們可以看到豐富多彩的裝飾圖案，仔細觀察這些裝飾圖案，你會發現其中有許多軸對稱圖形.1.請觀察下面的圖形，并思考問題.(1)有_____條對稱軸.(2)它的四部分均是軸對稱圖形嗎？4它的四個部分均是軸對稱圖形.(3)能否利用對稱性通過只作一部分畫出這個圖形？可以利用對稱性通過只作一部分畫出這個圖形.請準備一張正方形紙片，按以下5個步驟來作：(1)在正方形紙片上用虛線作出4條對稱軸.(2)在其中一個三角形中，作出圖形形狀的基本線條(注意：不同的線條最終會得到不同的圖案，你可以自己設計線條).(3)按照其中一條斜的對稱軸畫出圖(2)中圖形的對稱圖形.知識點2設計軸對稱圖形(4)按照另一條斜的對稱軸畫出圖(3)中圖形的對稱圖形；(5)按照水平(或垂直)的對稱軸畫出圖(4)中圖形的對稱圖形，得到圖(5)，從而得到完整圖形.畫好之后，可以在圖案上涂上你喜歡的顏色，擦掉其他多余的線條，一幅軸對稱圖案就完成了.?歸納

畫軸對稱