2024年重慶八中中考數學一模試卷

一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、

D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側正確答案所對應的方框涂黑。

1.（4分）?6的倒數是（）

A.6B.-6C.AD.-A

66

2.（4分）五個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，從上面得到的視圖是（）

正而

3.（4分）2024年某市計劃重點工程建設項目投資總額為50450000萬元，將數50450000用科學記數法表

示為（）

A.50.45X106B.0.5045X1034s

C.5.045X107D.5.045X106

4.（4分）把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若Nl=47°,則N2的度數為（）

5.（4分）用邊長相等的正方形和等邊三角形按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案用了4個正方形,

第②個圖案用了6個正方形，…，按此規律排列下去，則第2024個圖案中用的正方形的個數是（）

6.（4分）設〃為正整數且＜7+1，則〃的值為（）

V2

A.5B.6C.7D.8

7.（4分）如圖，是。。的直徑，過AB的延長線上的點。作。。的切線，點。是。0上一點，連接

BD,若NBDP=a,則NC等于（）

A.aB.2aC.900-aD.900-2a

8.（4分）某種植物只有一個主干，該主干上長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，

設一個主干長出工個支干，則下列方程中正確的是（）

A.1+,?=IllB.（1+x）2=111

C.l+x+f=lllD.1+（1+x）4-（1+x）2=111

9.（4分）如圖，已知正方形ABC。的邊長為1,點E為邊BC上一點，作ND4E的平分線交C。于點凡

若尸為CQ的中點（）

3245

10.（4分）按順序排列的8個單項式小b,c,d,-a,-b,-d中，任選加（機22）（其中至少包含一

個系數為I的單項式和一個系數為-I的單項式）相乘，計算得單項式M,計算得單項式M最后計算

M-N,可選互不相鄰的4-a,得M=a反，在剩下的單項式a,c,d,?d中可選c,d相乘，此時

M-N=abc?cd,….下列說法中正確的個數是（）

①存在“積差操作”，使得為五次二項式；

②共有3種“積差操作”，使得M-N=ad-be；

③共有12種“積差操作”，使得M-N=O.

A.0B.1C.2D.3

二、填空題（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線

上

11.（4分）計算：+53|=.

12.（4分）已知反比例函數尸二?與一次函數尸匕-2的圖象交于點A（-1,3）,則攵的值為.

13.（4分）正〃邊形的每一個外角都是它相鄰的內角的2倍，則〃的值為.

14.（4分）有四張正面分別標有數字?2,二，0,2的卡片，它們除數字不同外其余全部相同.現將四

張卡片背面朝上，則抽取的兩張卡片上的數字之積為負數的概率是.

15.（4分）如圖，在RtZ^A/3c中，NAC8=90°,AC=2,點。是A8邊上的中點，的長為半徑作弧

BC.則圖中陰影部分的面積為.

BDA

16,（4分）如圖，D,E是△A8C外兩點，連接AO,AB=AD,AC=AE,BE交于點F,則NQFE的度

數為.

17.（4分）若關于x的一元一次不等式組《AX2有解旦最多有3個整數解，且使關于）的分式方程

3x-a41

a=5yZ3+?則所有滿足條件的整數a的值之和是

y-11-y

18.（4分）如果一個四位自然數而的各數位上的數字不全相等，滿足羨+E3=5（a+b+c+d），V12+33

=5（1+2+3+3）,，1323是“跳躍數”，752+34^5（5+3+2+4）,??.5324不是“跳躍數”.若一個“跳

躍數”為工函;若一個“跳躍數”的前三個數字組成的三位數而與后三個數字組成的三

位數嬴的差能被7整除.

三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給出必要

的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。

19.（8分）計算：

（I）。（〃-4）+（3。-2）（d+1）；

a

（2）—2--------r（a-l+-

20.（10分）（】）如圖，在中，用直尺和圓規；（只保留作圖痕跡）

（2）在（1）所作的圖形中，連接D4,若Z）C=A&探究與的位置關系

解：CZ/B3理由如下：

???8。平分NABC,

/是AC的垂直平分線,

DC=AB,

ZADB=ZABD.

AD//BC.

21.（1（）分）某校組織了一場歷史知識競賽，現從七年級和八年級參與競賽的學生中各隨機選出10名同學

的成績進行分析，將學生競賽成績分為A,B,C,分別是：4：x<70,B：704V80,D：90&WI00.下

面給出了部分信息：

七年級學生的競賽成績為：69,75,75,88,88,91,94

八年級等級C的學生成績為：84,88,89.

兩組數據的平均數、中位數、眾數、方差如下表:

學生平均數中位數眾數方差

七年級84.788b87.12

八年級84.7a9183.12

根據以上信息，解答下列問題：

（I）填空：a=,b=,m=；

（2）根據以上數據，你認為在此次知識競賽中，哪個年級的成績更好？請說明理由（寫出一條理由即

可）；

（3）若該校七年級有600名學生參賽，八年級有500名學生參賽，請估計兩個年級參賽學生中成績為

D等級的共有多少人？

八年級學生競賽成績扇形統計圖

22.（10分）某書店準備購進甲和乙兩種書，已知每本甲比每本乙的進價少10元，用900元購進甲的數量

是用600元購進乙數量的2倍.

（I）求甲和乙這兩種書每本的進價分別是多少元？

（2）若書店購進乙的數量比日的數量的2倍還要多5本，且甲的數量不少于648本，購法甲和乙兩種

書的總費用不超過71700元

23.（10分）如圖，在等腰3c中，NC=90",點。，E分別在AC,AD=BE=\,動點P以每秒1

個單位長度的速度從點。出發沿折線OfC—E方向運動，設點P的運動時間為/秒，△A8P的面積記

為戶.

（1）請直接寫出戶關于，的函數表達式并注明自變顯/的取值范圍；

（2）若函數y=12（t>0），在給定的平面直角坐標系中分別畫出函數），1和”的圖象，并寫出'I

2t

的一條性質:

（3）結合函數圖象，請直接寫出V=），2時對應的t的取

yi

13

12

11

值.012345678910111213z

24.（10分）如圖，我市在三角形公園A8C旁修建了兩條騎行線路：①E-4-C；②E-。-C.經勘測，

點C在點8的正南方，點4在點C的北偏西45°方向，點￡在點。的正西方，點A在點E的北偏東

30°方向.（參考數據：V2?l.4LV3^1.73）

（1）求OE的長度.（結果精確到1千米）

（2）由于時間原因，小渝決定選擇一條較短線路騎行，請計算說明他應該選擇線路①還是線路②？

25.（10分）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=o?+區+。（〃片0）與工軸交于46兩點，其中

8（-1,0）,OA=7OB,BC,

乙

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖1,點M為線段OC（不含端點O,C）上一點，連接4P,CP,求點M的坐標及△ACP面積

的最大值；

（3）如圖2,將該拋物線沿射線AC方向平移，當它過點8時得到新拋物線，點G為新拋物線的頂點,

連接BG,過點8作尸G交新拋物線于點"連接"7.在新拋物線上確定一點M寫出所有符合

條件的點N的坐標，并寫出求解點N的坐標的其中一種情況的過程.

yA

圖1圖2

26.(10分)△A6C和△OEC是以點。為公共頂點的等腰三角形，其中ZM=6CDC=DE,連接AE.

(1)如圖1,當NA8C=90°,點七在3。的延長線上時，連接陽.若AC=3?,CD=42x

(2)如圖2,點、F為AE中點,連接尸8,F8交AC于點G.點〃是AC上一點，連接8”.延長8H,

求證：AH=HC；

(3)如圖3,當N48C=90°,點。在8c的延長線上時，使得EN=4C.延長AE至點時，使得EM

圖1圖2圖3

2024年重慶八中中考數學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、

D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側正確答案所對應的方框涂黑。

I.（4分）-6的倒數是（）

A.6B.-6C.AD.-A

66

【解答】解：-6的倒數是

8

故選：D.

2.（4分）五個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，從上面得到的視圖是（）

【解答】解；俯視圖有2歹ij,從左到右小正方形的個數是2,3,

故選：C.

3.（4分）2024年某市計劃重點工程建設項目投資總額為50450000萬元，將數50450000用科學記數法表

示為（）

A.50.45XW6B.0.5045X10s

C.5.045X107D.5.045X106

【解答】葩50450000=5.045X107.

故選：c.

4.（4分）把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若Nl=47°,則N2的度數為（）

;

A.53°B.45°C.43°D.33°

【解答】解：如圖,

???直尺的對邊平行，

/.Zl+Z3=180°,

VZ6=470,

???N3=I33°,

VZ3=Z2+90°,

/.Z2=43°,

故選：C.

5.（4分）用邊長相等的正方形和等邊三角形按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案用了4個正方形,

第②個圖案用了6個正方形，…，按此規律排列下去，則第2024個圖案中用的正方形的個數是（）

【解答】解：由所給圖形可知，

第①個圖案中用的正方形個數為：4=IX8+2；

第②個圖案中用的正方形個數為：6=7X2+2;

第③個圖案中用的正方形個數為：3=3X24-5；

所以第〃個圖案中用的正方形個數為（2〃+2）個,

當〃=2024時，

5/2+2=2X2024+4=4050（個；，

即第2024個圖案中用的正方形個數為4050個.

故選：D.

6.（4分）設〃為正整數且軍返則〃的值為（）

V2

A.5B.6C.7D.8

【解答】解：原式=相-I,

V49<63<64,

**.7<V63<2，

**.6<V63-1<8,

貝ij〃=6,

故選：從

7.（4分）如圖，是。。的直徑，過的延長線上的點C作。。的切線，點。是。。上一點，連接

A.aB.2aC.90°-aD.90°-2a

【解答】解：連接OR如圖，

〈PC為。。的切線，

???0_LPC,

???NO〃C=900，

4POB=2/PDB=2a,

/.ZC=90°-6a.

故選：D.

A

8.（4分）某種植物只有一個主干，該主干上長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支,

設一個主干長出工個支干，則下列方程中正確的是（）

A.1+A-2=111B.（1+A）2=ili

C.l+x+/=111D.1+（1+x）-F（1+x）2=111

【解答】解：??,一個主干長出X個支干，每個支干乂長出同樣數目的小分支，

???共長出x2個小分支.

根據題意得：1+X+/=1II.

故選：C.

9.（4分）如圖，已知正方形A8c。的邊長為1,點￡為邊8c上一點，作ND4￡的平分線交CO于點凡

若F為C。的中點（）

A.2B."C.2D.A

3245

【解答】解：過點尸作FHA.AE,連接EF,

??/為C￡＞中點,

：.DF=CF=1-,

2

???四邊形ABC。是正方形，

/.Z￡>=ZC=90°,

〈Ar是角平分線，

:,DF=HF=CF,

/.RtA/ADF^RtAA/ZF(HL),

：.AD=AH=3,

同理可得RtAEFA/^RtAEFG

:?EH=CH,

設CE=x,則AE=l+x,

/.14+(1-x)2=(3+x)2,

解得x=2，

8

：.BE=\-A=J..

24

故選：C.

10,(4分)按順序排列的8個單項式a,b,c,d,-a,-h,-d中，任選/〃(〃[22)(其中至少包含一

個系數為1的單項式和一個系數為-1的單項式)相乘，計算得單項式M,計算得單項式M最后計算

M-N,可選互不相鄰的瓦_Q,得在剩下的單項式。，。，d,-d中可選0,d相乘，此時

M-N=abc-cd,下列說法中正確的個數是()

①存在“積差操作”，使得M-N為五次二項式；

②共有3種“積差操作”，使得M-N=ad-be；

③共有12種“積差操作”，使得M-N=0.

A.0B.1C.2D.3

【解答】解；①存在“積差操作”，使得用N為五次二項式說法正確、〃相乘得單項式用、c、d、

-a,則M-N=-ab-abc^d是五次二項式；

②共有3種“積差操作”，使得說法錯誤、N=(-〃)?"、N=a?(-d)、N=(-“)?"、

N=a?(-d)共有8種;

③共有12種“積差操作”，使得M?N=0說法正確、N=(?《)?》、N=a?1?b)、N=(?a)?c、N=

a?(-c)、N=(-〃)?/、N=〃?(-d)、N=(-5)?(?、N=b"-c)、N=(-b)?d、N=b<-d)、N=

(-c)?d、N=c?(-d)共12種,

綜上所述，已知說法中正確的個數是2.

故選：C.

二、填空題（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線

上

11.（4分）計算：?d+|-3|=2.

【解答】解：

=-1+3

=5,

故答案為：2.

12.（4分）已知反比例函數y二3與一次函數,，=履?2的圖象交于點A（-1,3）,則出的值為-5.

x

【解答】解：???反比例函數與一次函數>=依-2的圖象交于點A（-4,

，3=?k?2,

:?k=-4.

故答案為：-5.

13.（4分）正〃邊形的每一個外角都是它相鄰的內角的2倍，則〃的值為3.

【解答】解：設正〃邊形的每一個外角為2x,則它相鄰的內角為x,

2v+x=180,

解得：x=60,

3A=120,

則”=360+120=3.

故答案為：3.

14.（4分）有四張正面分別標有數字-2,-1,0,2的卡片，它們除數字不同外其余全部相同.現將四

2

張卡片背面朝上，則抽取的兩張卡片上的數字之積為負數的概率是-1.

一3一

【解答】解：列表如下：

-2_X02

6

-7（-2,（-2,0）（-5,2）

,1）

2

8）

0（0,-5）（o,_A）（0,2）

8

3（2,-2）⑶.A）（2,0）

2

共有12種等可能的結果，其中抽取的兩張卡片上的數字之積為負數的結果有：（-2,（_心，2）,-3）,

2

二），共7種，

2

???抽取的兩張卡片上的數字之積為負數的概率是

122

故答案為：1.

3

15.（4分）如圖，在RtZkA/3c中，NAC8=90°,AC=2,點。是48邊上的中點，的長為半徑作弧

BC.則圖中陰影部分的面積為"二

【解答】解：如圖，連接?！辏?，

VRt"5C,點。是A3的中點，

:,DA=DB=DC,

VZA=60°=NQC4,

???/8OC=2NA=120°,

在中，AC=2,

：,AB=—典—=2?4C=2近,

cosZ-A

???扇形BDC的半徑為2,

?'?S陰影部分=5@形。8C-S^BDC

=S扇形08c-

故答案為：12L-Vs.

3

1------------C

16,（4分）如圖，D,E是△A8C外兩點，連接AO,AB=AD,AC=AE,BE交于點F,則NQFE的度

數為140°.

【解答】解：設A4交。。于點G,

?：ZBAD=ZCAE=40°,

：.ZBAE=ZDAC=40°+NBAC,

在△B4E和△D4C中，

'AB=AD

<ZBAE=ZDAC>

AE=AC

??.△BAE經△OAC(SAS),

/.NABE=ND,

:?NBFD=NBGD-NABE=4BGD-NQ=NR4Q=40°,

AZDFE=180°-ZBFD=180°-40°=140°,

故答案為：140。.

>x-3

17.（4分）若關于x的一元一次不等式組《2有解且最多有3個整數解，且使關于）的分式方程

3x-a41

a二5y

+7,則所有滿足條件的整數。的值之和是」

y-11-y

x-l〉江①

【解答】解：*'51,

3x-a《l②

解①得：x>-2；

解②得：x《史工

c3

???不等式組有解，

???不等式組的解集為：.5<x4生二

3

;有解且最多有5個整數解，

.?.-IV311V3,

3

解得：-4，V3,

???整數。為：-4,-3,-8,0,1,8,3,4,3,6,7,

去分母，得。=3-2y+7(y-1),

去括號，得a=3-5y+7y-4,

合并同類項，得〃=2y-4,

解得y=2至，

???分式方程有整數解，

???Qi是整數，旦交1

62

???〃為偶數，且4#-4,

，整數4為：-4,0,2,4,6,

，所有滿足條件的整數。的值之和是-6+0+2+7+6=8,

故答案為：3.

18.(4分)如果一個四位自然數而的各數位上的數字不全相等，滿足羨+E5=5(a+b+c+d)，???12+33

=5(1+2+3+3),???1323是“跳躍數”，752+34^5(5+3+2+4),工5324不是“跳躍數”.若一個“跳

躍數"為磕’4437:若一個“跳躍數”的前三個數字組成的三位數嬴與后三個數字組成的三位

數嬴2的差能被7整除9369.

【解答】解：①:箱？是“跳躍數

???43+10加+7=7（4+，〃+3+8）,

解得m=4,

???這個數為4437：

②設滿足條件的“跳躍數”的最大值是瓦石，

.,.90+c+10/?+(/=5(9+〃+c+d),

4

,:b,c,d是0?7中的整數，

???c+d=15,b=3,

工滿足條件的“跳躍數”的最大值是短，

???前三個數字組成的三位數力直與后三個數字組成的三位數不，

且930+c-(300+10c+d)=630-9c-d=4(90-c)-(2c+d),

???2c+d是3的倍數，

Vc+J=15,

Ae+15的7的倍數,

，c最大為6,

:?d=2,

???滿足條件的“跳躍數”的最大值是9369；

故答案為：9369.

三、解答題：(本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分)解答時每小題必須給出必要

的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形(包括輔助線)，請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。

19.(8分)計算：

(I)a(〃-4)+(3〃-2)(。+1)；

——a-1等).

a+2a+l*1

【解答】解：(I)a(a-4)+(3〃-8)(〃+1)

=a2-2a+3o2+7。-2a-2

=2a2-3a-7；

⑵--(a-l+^r)

a，2a+6a+3

一a二(a-2)(a+l)+l

(aT)2a+4

(a+1)2a+1

=a.a+1

(a+1)5a2

二8

a(a+1)

_1

~~8~,

a+a

20.(10分)(1)如圖，在△A8C中，用直尺和圓規；(只保留作圖痕跡)

(2)在(1)所作的圖形中，連接DA,若DC=4B,探究04與8c的位置關系

解：DA//BC,理由如下：

〈BO平分NABC,

■NABD=NCBD.

???/是AC的垂直平分線，

AAD=CD.

'：DC=AB,

AAD=AB.

???NADB=NABD.

???NCBD=NADB.

：.AD//RC.

???/是AC的垂直平分線,

：.AD=CD.

*：DC=AB,

：.AD=AB.

：.NADB=NABD.

；?NCBD=NADB.

：,AD//BC.

故答案為：NABD=NCBD；AD=CD；ZCBD=ZADB.

21.（10分）某校組織了一場歷史知識競賽，現從七年級和八年級參與競賽的學生中各隨機選出10名同學

的成績進行分析,將學生競賽成績分為將B,C,分別是:A：xV70,B：70WxV80,D：904W100.下

面給出了部分信息：

七年級學生的競賽成績為：69,75,75,88,88,91,94

八年級等級C的學生成績為：84,88,89.

兩組數據的平均數、中位數、眾數、方差如下表：

學生平均數中位數眾數方差

七年級84.788b87.12

八年級84.7a9183.12

根據以上信息，解答下列問題：

（1）填空：a=88.5,b=88,m=30：

（2）根據以上數據，你認為在此次知識競賽中，哪個年級的成績更好？請說明理由（寫出一條理由即

可）；

（3）若該校七年級有600名學生參賽，八年級有500名學生參賽，請估計兩個年級參賽學生中成績為

。等級的共有多少人？

八年級學生競賽成績扇形統計圖

【解答】解:(1)八年級A、B組的頻數和為10X(10%+20%)=3,

所以將八年級10名學生的成績按從大到小排序后，第5個數和第3個數在。組，89,

則其中位數。=至幽=88.5,

2

根據七年級成績可知88分的最多有5人，所以眾數為6=88,

七年級C組的人數為3人，

/./?%=34-IOX100%=30%,

所以/〃=30；

故答案為：88.4,88；

(2)八年級的成績更好，理由如下：

七、八年級的平均數相同，所以八年級的更好(答案不唯一)：

(3)600XA+500X

1010

答：估計兩個年級參賽學生中成績為。等級的共有380人.

22.(10分)某書店準備購進甲和乙兩種書，已知每本甲比每本乙的進價少10元，用900元購進甲的數量

是用600元購進乙數量的2倍.

(I)求甲和乙這兩種書每本的進價分別是多少元？

(2)若書店購進乙的數量比日的數量的2倍還要多5本，且甲的數量不少于648本，購正甲和乙兩種

書的總費用不超過71700元

【解答】解：(1)設甲種書每本的進價是4元，則乙種書每本的進價是(x+10)元，

由題意得：900=600><2>

xx+10

解得：x=30,

經檢驗，x=30是原方程的解，

???x+10=40,

答:甲種書每本的進價是30元，乙種并每本的進價是40元；

(2)設購進甲種書/〃本，則購進乙種書(2〃?+6)本，

由題意得：仲^648,

130m+40(2m+5)<71700

解得：648W〃zW650,

???根為正整數，

?"=648,649,

當〃?=648時，7/?+5=2X648+8=1301；

當/〃=649時，2〃?+5=6X649+5=1303；

當m=650時，2//J+4=2X650+5=1305；

???書店有8種購買方案：①購進甲種書648本，乙種書1301本，乙種書1303本，乙種書13()5本.

23.(10分)如圖，在等腰RlZXABC中，ZC=90°,點O,E分別在AC,AD=BE=\,動點P以每秒I

個單位長度的速度從點。出發沿折線力一C-E方向運動，設點尸的運動時間為/秒，△4BP的面積記

為1yl.

(1)請直接寫出戶關于/的函數表達式并注明自變量/的取值范圍；

(2)若函數y=12(t>0)，在給定的平面直角坐標系中分別畫出函數)，1和)，2的圖象，并寫出V

2t

的一條性質；

(3)結合函數圖象，請直接寫出yi=”時對應的/的取

y，

13

12

11

值.01234567891011121

【解答】解：當點P在線段QC上時，即0W/W3,

VZC=90°,AC=BC=S,

AZA=45°,

,\AF=AB=4yfi,

V2

DP=t,貝ijA尸=1+3

.??尸尸=1^,

V7

Ayi=4—x4yx_1^JL=81+2,

2V2

當點P在線段CE上，即3V/W8,

過點。作尸"_L48,如圖,

VZC=90°,AC=BC=4,

，N8=45°,

:,PH=BH=BP=3-t

7T7F

x

?,-yi=-|-X4V4-3/+I4,

乙7T

.5=r2t+3,0<t<3

[-7t+14,3<t<6

(2)如圖所示:

（3）由圖象可知，當出邛=.\2時，，=2或7.

24.（10分）如圖，我市在三角形公園A8C旁修建了兩條騎行線路：①E-A-C；②E-Z）-C.經勘測，

點C在點8的正南方，點A在點。的北偏西45°方向，點E在點。的正西方，點A在點七的北偏東

30°方向.（參考數據：V2?l.4LV3?l.73）

（1）求。E的長度.（結果精確到1千米）

（2）由于時間原因，小渝決定選擇一條較短線路騎行，請計算說明他應該選擇線路①還是線路②？

北

【解答】解：（1）過點E作E/LL84,交84的延長線于點孔

，NEM=90°，

由題意得：ZB=ZD=90°,

???四邊形正陽。是矩形，

:,EF=BD,BF=DE,

在為△A8C中，NACB=45。，

:.BC=—氈k=10（千米），

tan45

?：CD=20千米，

AEF=BD=BC+CD=30（千米），

在RtZ\AE/中，ZAEF=30°,

???A產=EF?tan30°=30X近=10日

3

：,DE=BF=AF+AB=10A/3+10^27（千米），

，DE的長度約為27千米；

（2）他應該選擇線路②，

理由：在RtZXAE尸中，ZAEF=30c

???AE=4A尸=20盯（千米），

在RtZXABC中，8c=1（）千米，

??.AC=—二==￥=1。近，

cos45-2

???線路①的總路程=4仄4。=204豕1跖，

線路②的總路程=a+。。=10^+10+20~47.3（千米），

V47.2千米V48.7千米，

???他應該選擇線路②.

25.（10分）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=a1+bx+c（。工0）與工軸交于A,8兩點，其中

B（-h0）,04=708,BC,tanZCAB=^-

2

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖1,點M為線段OC（不含端點O,C）上一點，連接AP,CP,求點M的坐標及△4C尸面積

的最大值；

（3）如圖2,將該拋物線沿射線AC方向平移，當它過點8時得到新拋物線，點G為新拋物線的頂點,

連接3G,過點8作3”〃"G交新拋物線于點H,連接PH.在新拋物線上確定一點M寫出所有符合

條件的點N的坐標，并寫出求解點N的坐標的其中一種情況的過程.

yk

圖1圖2

【解答】解：(1)?:B(-1,0),

JOB=8,

*：OA=1OB,

：,A(-7,5),

,tanZCAB^1

?

??-0---C--,--6-，

0A2

???OC=1，

2

AC(0,1),

6

將A、B、C三點代入y=of+bx+c,

，7

?「節

Ja-b+c=0'

49a-7b+c=5

1

-2

解得，b=8,

7

C^2

，拋物線的解析式為)，=2/+5.計工；

22

(2)設直線AC的解析式為產依+~|,

J-7^=0,

2

解得k=S,

2

???直線AC的解析式為），=/+/■,

過P點作PQ//y軸交AC于點Q,

設尸(39+3社工)，則Q6.11),

2225

PQ=A/+A_lr+4/+-?.)=-Ar-L,

223237

.,.5AACP=AX6X87)2^343

2￥5IT

???當/=-1時，ZLACP的面積有最大值2絲工，-也）,

81627

設直線PB的解析式為），=心?+",

-k'+b'=0

k

解得，

7

b

4

???直線PB的解析式為尸親+5

：.M（0,1）;

7

（3）設拋物線沿/軸正半軸方向平移2m個單位，則沿），軸正方形平移〃?個單位,

???平移后的函數解析式為），=［（箝卜42/n）2-i./n,

22

???經過點&

8=—(-7+4-2〃？)2-9+機,

22

解得〃?=6(舍)或悔=$,

2

???平移后的函數解析式為(x-1)4-2,

當)，=0時，_|(x-1)8-2=0,

解得x=-4或x=3,

：,F(3,4),

???G是頂點,

：.G(1,-2),

???直線GF的解析式為y=x-5,

,JBH//FG,

，直線HB的解析式為y=x+\,

當x+l=2(x?1)6.2時，解得x=5或x=-7,

2

:?H(5,6),

過點G作x軸的垂線與的延長線交于K點，與x軸交于L點，過點。作x軸的平行線CT,

???直線6〃與y軸的交點(3,1〉，

:?NHBF=45°,

*：LF=2,GL=3,

/.ZBFG=45°,

???ZBFE=ZHBF+ZBHF=NFBG+NBHF,

ZNCA=ZFBG+ZBHF,

:?/NCA=/BFE,

???直線HF的解析式為尸3x-9,

：.K(6,-6),

?:/\LKFS4EKG,

.LK=LF即且=_L

??甌EG，'KEEGf

；?KE=3EG,

???GK=4,

VGE7+(3GE)2=GK(\

：,EG=^^-,

5

：,EK=7^^.,

5

???KF=24I5，

.,?所=漢運

5

/.tanZGFE=A,

5

當N點在C點上方時，

VTC//AB,

???ZNCT=ZCAB,

VtanZCAfi=X

2

JZACT=/GFE,

???NNCT=45°,

設N(〃,A(〃-1)2.2),

2

/.-/?=—(n-1)*-2--?

52

解得n=V-10(舍)或〃=-J15，

:?N(-Vio?Vio+—)：

2

當N點在C點下方時，設NT與直線AC交于S點，

，S(-Vio?1--

52

：.SC=^^,

2

,??$X713XVI5=2X品巨NR,

234

:.NR=3版,

VtanZ7VC/?=3,

:?CR=版,

設R(x,-kv+-),

32

?,?熱14=2,

4

解得x=gl叵，

6

：.R(漢道，垣+工)，

532

???直線NR的解析式為)=-6.v-V10+—，

2

設N點關于直線AC的對稱點為N(〃，-In-V10+—)，

2

?:CN=CN,

8^5=7n2+(Vl0+4n)2,

解得①或〃=-VTo?

5

??w(垣，.XI或&

352

?,?直線CN的解析式為尸