第05講一次方程（組）及其應用

錄

題型01利用等式的變形判斷式子正誤

題型02利用等式的性質求解

題型03判斷一元一次方程.

題型04解一元一次方程

題型05錯看或錯解一元?次方程

題型06二元一次方程（組）的概念

題型07解二元一次方程組

題型08錯看或錯解二元一次方程組問題

題型09構造二元一次方程組求解

題型10利用一元一次方程解決實際問題

題型11利用二元一次方程解決實際問題

真題實戰練N

重難創新練

題型過關練

題型01利用等式的變形判斷式子正誤

1.（2023?浙江衢州?三模）已知Q=b,下列等式不一定成立的是（）

A.5a=5bB.a+4=b+4C.b-2=a-2D.—c=—c

2.（2023?內蒙古包頭?二模）設x、y、c是實數，正確的是（）

A.若工=y,WJx+c=c-yB.若工=y,Me-x=c-y

C.若x=y,則？=?D.若以=￡貝U2x=3y

3.（2023?浙江杭州?統考二模）設a,b,加均為實數，（）

A.若a>b,則a+m>匕-mB.若a=b,則ma=mb

C.若Q+?n>b-ni,則a>/?D.若ma=mb,則a=b

題型02利用等式的性質求解

I.（2023?河北保定?校考一模）已知Q—b=a+3—：,則下列表示〃的式子是（）

4

A.—43B.3——4C.3d—4D.----4---3

2.（2023?廣東江門?統考三模）若一2Q=1,貝IJQ的值是（）

A.一：B.；C.2D.-2

22

3.（2022?安徽合肥?合肥38中校考三模）已知“物且。+；=方+工則下列結論正確的是（）

ba

A.a+b=0B.ab=1

C.若a+力=0,則a—力=2D.若a—b=2,則a+〃=0

題型03判斷一元一次方程.

1.（2022.江蘇鹽城?校聯考三模）在下列方程中：①犬+2產3,②:-3x=9,③?=y+￡=0,是

一元一次方程的有（只填序號）.

2.（2019?內蒙古呼和浩特?統考中考真題）關于久的方程佃-l）x?2=0如果是一元一次方程，

則其解為一.

1/59

題型04解一元一次方程

I.（2023?浙江?統考一模）解方程：3一1二三竺

36

2.（2023?浙江溫州?統考一模）解方程學+號=1,以下去分母正確的是（）

34

A.4（%+2）+3（2x-1）=12B.4（x+2）4-3（2x-1）=1

C.x+2+2x-1=12D.3（%+2）+4（2x-1）=12

3.（2023常州市二模）對任意四個有理數小b,c,d定義新運算：\^\=ad-bc,已知仔力|=18,則

x=（）

A.-1B.2C.3D.4

4.（2023?陜西西安?校考模擬預測）解一元一次方程：1-空二甲一工

46

題型05錯看或錯解一元一次方程

1.（2022?河北邯鄲?統考三模）嘉淇在解關于x的一元一次方程呼+Q=3時，發現正整數

被污染了;

（1）嘉淇猜□是2,請解一元一次方程等+2=3；

（2）若老師告訴嘉淇這個方程的解是正整數，則被污染的正整數是多少？

2.（2022.山西太原?一模）（1）下面是小明同學解方程學-早=1的過程，請認直閱讀，并完成相應的

26

任務.

解：去分母，得3（工+3）-（5%-3）=1.第一步

去括號，得3x+9-5x+3=1.第二步

移頂，得3%-5%=-9-3+1.第三步

合并同類項.得一2%二一11.第四步

系數化為1，得“g第五步

任務一：①解答過程中，第步開始出現了錯誤，產生錯誤的原因是_________;

②第三步變形的依據是.

任務二：①該一元一次方程的解是:

②寫出一條解一元一次方程時應注意的事項.

3.（2022?河北保定?統考一模）已知整式（02一2。匕）一（—4/）,其中“■”處的系數被墨水污染了.當

。二-2,b=l時，該整式的值為16.

（1）則■所表示的數字是多少？

2/59

（2）小紅說該代數式的值是非負數，你認為小紅的說法對嗎？說明理由.

題型06二元一次方程（組）的概念

1.下列方程組中，二元一次方程組的個數有（）

x+3y=5產-2y=3,

。匕+y=3q%+xy==05

①*=1

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2023?貴州六盤水?統考二模）下面4組數值中，哪組是二元一次方程％+2y=5的解（）

.（X=1（X=1（x=2（X=-1

A,（y=1B，ly=2c,\y=2D,\y=-2

3.（2023?河北張家口?統考一模）不號下列哪個方程的解（）

A.x+y=0B.x-y=-2C.2x-y=-lD.x+2y=1

4.（2022?浙江紹興?校聯考二模）已知C二，3是方程4人-”=?的個解，那么”的值是一

題型07解二元一次方程組

1.（2022?遼寧沈陽?統考模擬預測）二元一次方程組的解是_

2.（2022.江蘇無錫.統考二模）已知方程組出二，則x+y的值為

\LX"Ty—z1

仁一3=1①

3.（2023?陜西西安?校考二模）解方程組：23

4x-y=8.@

題型08錯看或錯解二元一次方程組問題

1.（2023?廣東惠州?統考二模）小麗和小明同時解一道關于％、y的方程組［黨；二:，其中a、b為常

數.在解方程組的過程中，小麗看錯常數”，解得仁:I小明看錯常數》,解得

（1）求a、b的值；

⑵求出原方程組正確的解.

2.（2021.廣東汕頭.統考一模）甲、乙兩人同解方程組［："+,57=152，由于甲看錯了方程①中的小

-by=-10@

得到方程組的解為｛jl,乙看錯了方程②中的江得到方程組的解為二

（1）求。，力的值;

3/59

（2）若關于x的一元二次方程ax?-bx+TH=0兩實數根為修，x2?且滿足7/一2次=7,求實數〃，的

值.

3.（2022許昌市二模）下面是小穎同學解二元一次方程組的過程，請認真閱讀并完成相應的任務.

2x—y=4①

解方程組:

8x-3y=20②

解：①x4,得8x-4y=16③......................第一步,

②一③，得一y=4,......................第二步，

y=-4....................第三步，

將），=—4代入①，得％=0...............第四步，

所以，原方程組的解為..........第五步?

填空：

（1）這種求解二元一次方程組的方法叫做.

小代入消元法

8、加減消元法

（2）第步開始出現錯誤，具體錯誤是:

（3）直接寫出該方程組的正確解：.

4.（2021?浙江嘉興?統考二模）解方程組：一2、二”），小海同學的解題過程如下:

%+y

解：由②得y=5+x,③...................(1)

把③代入①得3%-2%+5=6,..................(2)

“T..................(3)

把％=-1代入③得y=1?...................(4)

??.此方程組的解為|短;I...................(5)

判斷小海同學的解題過程是否正確，若不正確，請指出錯誤的步驟序號，并給出正確的解題過程.

題型09構造二元一次方程組求解

1.（2021?青海?統考中考真題）已知a,b是等腰三角形的兩邊長，且Q,b滿足。2a—3b+5+

（2a+3b-13）2=0,則此等腰三角形的周長為（）.

A.8B.6或8C.7D.7或8

2.（2023?江蘇淮安?校考二模）反比例函數y的圖象經過力（3,血）、兩點，則k的值為

（）

A.4B.6C.9D.12

3.（2023廣東深圳?深圳市南山外國語學校校聯考二模）若（4x+y-4）z與|2x-y+l|互為相反數，則”

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的值是.

題型10利用一元一次方程解決實際問題

1.（2022?陜西寶雞?統考一模）某醫療器械企業計劃購進20臺機器生產口罩，已知生產口罩面的機器每臺

每天的產量為12000個，生產耳掛繩的機器每臺每天的產量為96000個，口罩是一個口罩面和兩個耳掛繩

構成，為使每天生產的口罩面和耳掛繩剛好配套，該企業應分別購進生產口罩面和生產耳掛繩的機器各多

少臺？

2.（2022?山西運城?統考?模）在落實國家“精準扶貧”政策的過程中，政府為某村修建?條長為400米的公

路，由甲、乙兩個工程隊負貨施工.甲工程隊獨立施工2天后乙工程隊加入，兩工程隊聯合施工4天后，

還剩70米的工程.已知甲工程隊每天比乙工程隊多施工5米，求甲、乙工程隊每天各施工多少米？

3.（2022?安徽馬鞍山?安徽省馬鞍山市第七中學校聯考二模）某奶茶店的一款主打奶茶分為線上和線下兩

種銷出模式，消費者從線上下單，每次可使用“滿30減28”消費券一張（線下下單沒有該消費券），同規格

的一杯奶茶，線上價格比線下高20%,外賣配送費為4元/次，訂單顯示用券后線上一次性購買6杯實際支

付金額和線下購買6杯支付金額一樣多，求該款奶茶線下銷售價格.

4.（2023?陜西西安?陜西師大附中校考模擬預測）為有效落實雙減工作，切實做到減負提質，很多學校高

度重視學生的體育鍛煉，不定期舉行體育比賽.已知在一次足球比賽中，勝一場得4分，平一場得2分，負

一場得0分，某隊在已賽的13場比賽中保持連續不敗的戰績，共得40分，求該隊獲勝的場數.

5.（2023?河北滄州?統考三模）嘉嘉和淇淇玩游戲，下面是兩人的對話.

入心里隨便想一個數，然后按

圖中的步驟正確操作，我就能立

刻說出你想的那個數。

嘉嘉

really?這么神奇!

那我來試試。

淇洪

想一個數-?X3-6+7-?結果告訴嘉嘉

（1）如果淇淇想的數是-6,求他告訴嘉嘉的結果；

⑵設淇淇心里想的數是x,求淇淇告訴嘉嘉的結果；若淇淇告訴嘉嘉的結果是66,求淇淇想的那個數是

兒.

6.（2023?陜西西安?交大附中分校校考三模）如圖，某小區矩形綠地的長寬分別為35m,15m.現計劃對其

進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地.若擴充后的矩形綠地的長是寬的

2倍，求新的矩形綠地的長與寬；

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15m

35m

7.（2023?陜西西安?陜西師大附中校考模擬預測）以井測繩.若將繩三折測之，繩多五尺；若將繩四折測

之，繩多半尺.則井深幾何？題目大意：古人用繩子測量水井的深度.如果將繩子折成三等份測量，繩子

比井深多五尺；如果將紳子折成囚等份測量，則繩子比井深多半尺.求此水井的深度.

8.（2023?陜西西安?西北大學附中校考模擬預測）《算法統宗》是中國古代重要的數學著作，其中記載：我

間開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.其大意為：今有若干人住店，若每

間住7人，則余下7人無房可住；若每間住9人，則余下一間無人住，求店中共有多少間房？

9.（2022?安徽合肥?合肥市第四十五中學校考一模）《九章算術》中有一道題，原文是：“今有善行者行一

百步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？題目意思是：同樣時

間段內，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，且兩人的步長相等，若走路慢的人先走100

步，求走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？（注釋；“步”是古代的一種計量單位）

題型11利用二元一次方程解決實際問題

I.（2023?福建泉州?福建省泉州第一中學校考模擬預測）元旦期間，七（1）班明明等同學隨家長一同到某

景區游玩，該景區門票價格規定婦圖：

嬴

成人：每張55元

學生:按成人票半價優惠

團體票（16人以上，含16人）；

按成人票6折優惠

（1）明明他們一共12人，分別按成人和學生購票，共需550元，求他們一共去了幾個成人，幾個學生？

（2）購完票后，明明發現，如果購團體票更省錢，正在此時，七（2）班濤濤等8名同學和他們的12名家長共

20人也來購票，請你為七（2）班設計出最省錢的購票方案，并求出此時的購票費用.

2.（2023?廣東東莞?模擬預測）A、8兩地相距4千米，甲從A地出發步行到8地，乙從8地由發騎自行車

到A地，兩人同時出發，30分鐘后兩人相遇，又經過10分鐘，甲剩余路程為乙剩余路程的3倍.

（I）求甲、乙每小時各行多少千米？

（2）在他們出發后多長時間兩人相距1千米？

3.（2021?江蘇泰州?統考中考真題）甲、乙兩工程隊共同修建150km的公路，原計劃30個月完工.實際施

工時，甲隊通過技術創新，施工效率提高了50%,乙隊施工效率不變，結果提前5個月完工.甲、乙兩工

程隊原計劃平均每月分別修建多長？

4.（2017?安徽?中考真題）《九章算術》中有一道闡述“盈不足術”的問題，原文如下；

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今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數，物價各幾何？

譯文為：

現有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元，問共有多少人？這個

物品的價格是多少？

請解答上述問題.

5.（2023?福建廈門?廈門一中校考一模）學校為實現垃圾分類投放，準備在校園內擺放大、小兩種垃圾

桶.購買2個大垃圾桶和4個小垃圾桶共需600元；購買6個大垃圾桶和8個小垃圾桶共需1560元.求

大、小兩種垃圾桶的單價.

6.（2023?陜西西安?西安市鐵一中學校考模擬預測）如圖，用8次形狀、大小完全相同的矩形地磚拼成一

塊長方形地面，且4B=60cm,地放的拼放方式如圖，求每塊地磚的長與寬.

7.（2023.廣東佛山.統考一模）我國古代數學著作《九章算術》中記載有這樣一個問題：“今有甲、乙二

人，持錢不知其數.甲得乙半而錢五十，乙得甲大半而錢亦五十.問甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：

今有甲、乙二人，各帶了若干錢.如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50：如果乙得到甲所有錢的

那么乙也共有錢50,問甲、乙二人各帶了多少錢？

（1）求甲、乙兩人各帶的錢數；

⑵若小明、小穎去文具店購買作業木，兩人帶的錢數（單位：元）恰好等于甲、乙兩人各帶的錢數，已知

作業本的單價為2.5元/本.由于開學之際，文具店搞促銷活動，凡消費50元可以打八折，那么他們合起

來購買可以比單獨購買多多少本作業本？

8.（2020?湖北黃石?中考真題）我國傳統數學名著《九章算術》無我：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛

二、羊五，直金十六兩.問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5

只羊，值16兩銀子，問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”

根據以上譯文，提出以下兩個問題：

（1）求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？

（2）若某商人準備用19兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），請問商人有幾種購

買方法？列出所有的可能.

9.（2023?湖北孝感?統考一模）我國古代數學名著《九章算術》是人類科學史上應用數學的“算經之首”，上

面記載有這樣一個問題：“今有共買羊，人出五，不足四十五：人出七，不足三.問人數、羊價各幾何？”

其大意是：今有人合伙買羊，每人出5錢，會差45錢；每人出7錢，會差3錢.問合伙人數、羊價各是

多少？請你解答這個問題.

7/59

真題實戰練

1.（2023?湖南永州?統考中考真題）關于x的一元一次方程2%+m=5的解為％=1,則m的值為（）

A.3B.-3C.7D.-7

2.（2023?海南?統考中考真題）若代數式％+2的值為7,則x等于（）

A.9B.-9C.5D.-5

3.（2023?浙江衢州?統考中考真題）下列各組數滿足方程2x+3y=8的是（）

4.（2023?浙江溫州?統考中考真題）一瓶牛奶的營養成分中，碳水化合物含量是蛋白質的1.5倍，碳水化合

物、蛋白質與脂肪的含量共30g.設蛋白質、脂肪的含量分別為%（g）,y（g）,可列出方程為（）

A.江+3/=3。R.x+|y=30C.齊+y=30D-+）=30

5.（2023?四川眉山?統考中考真題）已知關于羽y的二元一次方程組二霽）；的解滿足'一'=4，

則加的值為（）

A.0B.1C.2D.3

6.（2023?四川南充?統考中考真題）關于x,），的方程組匕）彗T的解滿足％+y=1,則用+2n

的值是（）

A.1B.2C.4D.8

7.（2022?湖南株洲?統考中考真題）對于二元一次方程組一殘，將①式代入②式，消去y可以得

lx+2）=7②

到（）

A.x+2x—1=7B.x+2x-2=7

C.x+x—1=7D.x+2x+2=7

8.（2023?四川甘孜?統考中考真題）有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛

（斛，音hd是古代的一種容量堂位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛.1個大桶、1個小桶分別可

以盛酒多少斛？設大桶可以盛酒k斛，小桶可以盛酒），斛，則可列方程組為（）

（5x+y=3,（5x+y=3,（x+5y=3,（5x+5y=3,

（x+5y=2\x+y=2\5x+y=2（x+5y=2

9.（2023?內蒙古?統考中考真題）某校舉行籃球賽，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場

得I分.某隊在12場比賽中得2Q分.設該隊勝工場，負y場，則根據題意，列出關于％、y的二元一次方程

組正確的是（）

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x+y=20x+y=12

x+2y=12x+2y=20

%4-y=20(x+y=12

2x+y=1212x+y=20

10.（2022?江蘇宿遷?統考中考真題）我國古代《算法統宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都

來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”詩中后面兩句的意思是：如果一間客房住7人，那么有7

人無房可住；如果一間客房住9人，那么就空出一間客房，若設該店有客房4間，房客），人，則列出關于

小y的二元一次方程組正確的是（）

?7x-7=yr7x4-7=y（7x+7=y（7x-7=y

,（9（x—1）=y，（.9（%—1）=y'*（9x—1=y*（9x—1=y

11.（2022?浙江寧波?統考中考真題）我國古代數學名著《九章算術》中記載：“粟米之法：粟率五十；粉米

三十.今有米在十斗桶中，不知其數.滿中添粟而春之，得米七斗.問故米幾何？''意思為：50斗谷子能

出30斗米，即出米率為|.今有米在容量為10斗的桶中，但不知道數量是多少.再向桶中加滿谷子，再舂

成米，共得米7斗.問原來有米多少斗？如果設原來有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程組為

x+y=10X+y=10x+y=7x+y=7

A.,3_B.3,-C..5D.{5I

x+-y=7x+y=7[x+-y=10[-x4-y=10

12.（2023?山東?統考中考真題）常言道：失之亳厘，謬以千里.當人們向太空發射火箭或者描述星際位置

時，需要非常準確的數據.1"的角真的很小.把整個圓等分成360份，每份這樣的弧所對的圓心角的度數

是1。.1。=60'=3600〃.若一個等腰三角形的腰長為1千米，底邊長為4.848亳米，則其頂角的度數就是

1〃.太陽到地球的平均距離大約為1.5x108千米.若以太陽到地球的平均距離為腰長，則頂隹為1〃的等腰

三角形底邊長為（）

A.24.24千米B.72.72千米C.242.4千米D.727.2千米

13.（2023?湖南益陽?統考中考真題）某學校為進一步開展好勞動教育實踐活動，用1580元購進4,8兩種

勞動工具共145件，A,4兩種勞動工具每件分別為10元，12元.設購買4,4兩種勞動工具的件數分別

為I,?那么下面列出的方程組中正確的是（）

（x+y=145（x-y=145

A，（10x+12y=1580（10%+12y=1580

（x+y=145（x-y=145

（12x+10y=15805（12x+lOy=1580

14.（2022.四川雅安.統考中考真題）已知C：J是方程紈+力=3的解，則代數式2〃+46-5的值為—.

15.（2022?黑龍江綏化?統考中考真題）某班為獎勵在數學競賽中成績優異的同學，花費48元錢購買了

甲、乙兩種獎品，每種獎品至少購買1件，其中甲種獎品每件4元，乙種獎品每件3元，則有種購買

方案.

16.（2021?重慶?統考中考真題）盲盒為消費市場注入了活力，既能夠營造消費者購物過程中的趣味體驗，

也為商家實現銷售額提升拓展了途徑.某商家將藍牙耳機、多接口優盤、迷你音箱共22個，搭配為A,

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B,。三種盲盒各一個，其中A盒中有2個藍牙耳機，3個多接口優盤，1個迷你音箱；8盒中藍牙耳機與

迷你音箱的數量之和等于多接口優盤的數量，藍牙耳機與迷你音箱的數量之比為3：2；C盒中有1個藍牙

耳機，3個多接口優盤，2個迷你音箱.經核算，4盒的成本為145元，B盒的成本為245元（每種盲盒的

成本為該盒中藍牙耳機、多接口優盤、迷你音箱的成本之和），則。盒的成本為元.

17.（2022.重慶.統考中考真題）特產專賣店銷售桃片、米花糖、麻花三種特產，其中每包桃片的成本是麻

花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售價分別比其成本高20%、30%、20%.該店五月份銷售桃片、米

花耦、麻花的數量之比為1：3：2,三種特產的總利潤是總成本的25%,則每包米花糖與每包麻花的成本

之比為.

18.（2023?山東?統考中考真題）《九章算術》中有一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足

四、問人數、物價各幾何？”題目大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；每人出7

元，少4元.I、可有多少人？該物品價值多少元？設有x人，該物品價值y元，根據題意列方程

組：.

19.（2022?貴州貴陽?統考中考真題）“方程”二字最早見于我國《九章算術》這部經典著作中，該書的第八

章名為“方程”如：UUUU__________要從左到右列出的算籌數分別表示方程中未知數％,y的系數與相

20.（2023?湖南婁底?統考中考真題）若干個同學參加課后社團——舞蹈活動，一次排練中，先到的〃個同

學均勻排成一個以。點為圓心，一為半徑的圓圈（每個同學對應圓周上一個點），又來了兩個同學，先到的

同學都沿各自所在半徑往后移。米，再左右調整位置，使這（九+2）個同學之間的距離與原來〃個同學之間

的距離（即在圓周上兩人之間的圓弧的長）相等.這（幾+2）個同學排成圓圈后，又有一個同學要加入隊

伍，重復前面的操作，則每人須往后移米（請用關于a的代數式表示），才能使得這6+3）個同學之

間的距離與原來〃個同學之間的距禽相等.

21.（2023?遼寧大連?統考中考真題）我國的《九章算術》中記載道：“今有共買物，人出八，盈三；人出

七，不足四.問有幾人大意是：今有人合伙購物，每人出8元錢，會多3錢；每人出7元錢，又差4錢，

問人數有多少.設有工人，則可列方程為：.

22.（2023?湖南懷化?統考中考真題）定義新運算：（a,b）?（c,d）=ac+/>d,其中a,b,c,d為實數.例

如：（1,2）?（3,4）=1x3+2x4=11.如果（2x,3）?（3,-1）=3,那么％=.

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23.（2023?浙江?統考中考真題）古代中國的數學專著《九章算術》中有一題：“今有生絲三十斤，十之，

耗三斤十二兩.今有干絲一十二斤，問生絲幾何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古代

中國1斤等于16兩）.今有干絲12斤，問原有生絲多少？”則原有生絲為斤.

24.（2023?浙江衢州?統考中考真題）小紅在解方程?=竽+1時，第一步出現了錯誤：

36

：解：2x7x=（4x-l）+l,：:

（1）請在相應的方框內用橫線劃出小紅的錯誤處；

（2）寫出你的解答過程.

25.（2023.山東棗莊?統考中考真題）對于任意實數a,b,定義一種新運算：a^b=

\°羽,例如：3X1=3—1=2,5※4=5+4-6=3.根據上面的材料,請完成下列問

（a+匕-6（a<2b）

題：

⑴4※3=,(-1)※(-3)=

(2)若(3x+2)※(工-1)=5,求x的值.

x-2y=1?

26.（2023?湖南常德?統考中考真題）解方程組:

3x+4y=23(2)

27.（2023?北京?統考中考真題）對聯是中華傳統文化的瑰寶，對聯裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別

稱為天頭和地頭，左、右空白處統稱為邊.一般情況下，天頭長與地頭長的比是6:4,左、右邊的寬相

等，均為天頭長與地頭長的和的卷.某人要裝裱一幅對聯，對聯的長為100cm,寬為27cm.若要求裝裱后

的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長.（書法作品選自《啟功法書》）

笠裱后的寬

天頭

T

3

天頭長

裝

裱

后

邊..一邊

的

長

!.....F

:地頭長

工;I1f

邊的寬地頭

28.（2023?河北?統考中考真題）某磁性飛鏢游戲的靶盤如圖.珍珍玩了兩局，每局投10次飛鏢，若投到

邊界則不計入次數，需重新投，計分規則如下：

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投中位置A區4區脫靶

一次計分（分）31-2

在第一局中，珍珍投中A區4次，8區2次，脫靶4次.

⑴求珍珍第一局的得分；

⑵第二局，珍珍投中A區2次，月區3次，其余全部脫靶.若本局得分比第一局提高了13分，求人的值.

29.（2023?吉根統考中考真題）2022年12月28日查干湖冬捕活動后，某商家銷售A,B兩種查干湖野生

魚，如果購買1箱A種魚和2箱B種魚需花費1300元：如果購買2箱A種魚和3箱B種魚需花費2300

元.分別求每箱A種魚和每箱6種魚的價格.

30.（2023?湖南張家界?統考中考真題）為拓展學生視野，某中學組織八年級師生開展研學活動，原計劃租

用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數量的60座客車，則多出三輛車，且其余客車恰

好坐滿.現有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如下表所示：

甲型客車乙型客車

載客量（人/輛）4560

租金（元/輛）200300

（1）參加此次研學活動的師生人數是多少？原計劃租用多少輛45座客車？

（2）若租用同一種客車，要使每位師生都有座位，應該怎樣租用才合算？

31.（2023?安徽?統考中考真題）根據經營情況，公司對某商品在甲、乙兩地的銷售單價進行了如下調整：

甲地上漲10%,乙地降價5元，已知銷售單價調整前甲地比乙地少10元，調整后甲地比乙地少1元，求調整

前甲、乙兩地該商品的銷售單價.

重難創新練N

1.（2023?重慶?統考中考真題）如果一個四位自然數麗的各數位上的數字互不相等且均不為0,滿足

亞一瓦二罰,那么稱這個四位數為“遞減數”.例如：四位數4129,???41-12=29,???4129是“遞減

數“；又如：四位數5324,???53-32=21H24,?二5324不是“遞減數”.若一個“遞減數”為國臣，則這個

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數為;若一個“遞減數”的前三個數字組成的三位數次與后三個數字組成的三位數放的和能被9

整除，則滿足條件的數的最大值是.

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第05講一次方程（組）及其應用

錄

題型01利用等式的變形判斷式子正誤

題型02利用等式的性質求解

題型03判斷一元一次方程.

題型04解一元一次方程

題型05錯看或錯解一元?次方程

題型06二元一次方程（組）的概念

題型07解二元一次方程組

題型08錯看或錯解二元一次方程組問題

題型09構造二元一次方程組求解

題型10利用一元一次方程解決實際問題

題型11利用二元一次方程解決實際問題

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題型過關練

題型01利用等式的變形判斷式子正誤

1.（2023?浙江衢州?三模）已知a=b,下列等式不一定成立的是（）

A.5a=5bB.a+4=b+4C.b-2=a-2D.—=—

cc

【答案】D

【分析】根據等式的性質，逐項分析判斷即可求解.

【詳解】A.=匕，.，與。=5b,故該選項正確，不符合題意；

B.\,a=b,.\a+4=b+4,故該選項正確，不符合題意；

C.Va=b,/.b-2=a-2,故該選項正確，不符合題意；

D.Va=b,且cwO,半，故該選項不正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了等式的性質，熟練等式的性質是解題的關鍵.等式的性質1：等式兩邊加1或減）同一個

數（或式子），結果仍相等；等式的性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為。的數（或式子），結果

仍相等.

2.（2023?內蒙古包頭?二模）設％、y、c是實數，正確的是（）

A.若工=y,則；t+c=c-yB.若％=y,則c-x=c-y

C.若％=y,則？=?D.若或=事則2x=3y

【答案】B

【分析】根據等式的性質，即可一一判定.

【詳解】解：A.若％=y,則x+c=y+c,故該選項錯誤，不符合題意；

B.若％=y,則c-x=c-y,故該選項正確，符合題意；

C.若％=丫且叱0,貝咤=3故該選項錯誤，不符合題意；

D.若以二恭貝U3%=2y,故該選項錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了等式的性質，熟練掌握和運用等式的性質是解決本題的關鍵.

3.（2023?浙江杭州?統考二模）設小b,m均為實數,（）

A.若a>b,則a+m>b-THB.若。=b,則ma=mb

C.若a+m>b-m,則a>bD.若ma=mb,則a=b

【答案】B

【分析】根據等式的性質和不等式的性質可直接進行排除選項.

【詳解】解：A、若Q>b,則Q+m不一定大于b-m,故錯誤；

若Q=b,則ma=mb,故正鬧；

C、若Q+m>b-m,則a不一定大于b,故錯誤；

D、若ma=mb,zn=0,則a=5；若ma=mb,m=0,則Q*b或a=b,故錯誤；

故選:B.

【點睛】本題考查了等式的性質和不等式的性質.解題的關鍵是掌握等式的性質和不等式的性質，注意等

式兩邊乘同一個數或除以一個不為零的數，結果仍得等式.

題型02利用等式的性質求解

1.（2023?河北保定?校考一模）已知a-b=a+3-；,則下列表示〃的式子是（）

4

A.-4-3B.3--4C.3+-4D.--4-3

【答案】A

【分析】運用等式的基本性質解題即可.

【詳解】解：?.,。一匕=。+3—；

4

，兩邊同時減去4得：一/?=+3

???兩邊同時乘以一1得：Z?=-3+74

故選A.

【點睛】本題考查等式的基本性質，掌握等式的基本性質是解題的關鍵.

2.（2023?廣東江門?統考三模）若-2a=L則a的值是（）

A.--B.-C.2D.-2

22

【答案】A

【分析】根據等式的性質解方程艮］可求解.

【詳解】解：-2a=1

系數化為1,兩邊同時除以一2得，a=-1,

故選:A.

【點睛】本題主要考查等式的性質，掌握等式的性質解方程的運算是解題的關鍵.

3.（2022?安徽合肥?合肥38中校考三模）已知存從且。+：=0+2?則下列結論正確的是（）

ba

A.G+Z;=0B.ab=I

C.若a+〃=0,則。一力=2D.若a—b=2,則〃+〃=0

【答案】D

【分析】利用等式的性質將代數式的變形計算即可

【詳解】??7+：=〃+工，

ba

，。一人+：--=0,

ba

（）

a-b+-ab=0,

...（"b）（l+總=0，

VG*b,

；?a—bK0,

即

/.1+ab=0?ab=-1,

，選項A、B錯誤；

當a+40時，與必二一1聯立，解得監:；或｛『二

可得a—b=-2或a—〃=2,

故選項C錯誤；

當“一》=2時，與ab=-l聯立，解得｛/二二，

可得〃+力=0,

故選項D正確：

故選D

【點睛】本題考查了等式的性質、代數式的化簡問題，根據已知條件逐項求解即可.

題型03判斷一元一次方程.

I.（2022?江蘇鹽城?校聯考三模）在下列方程中：①工+2產3,②：一3%=9,③彳=y+%=0,是

一元一次方程的有（只填序號）.

【答案】③④

【詳解】試題分析：一元一次方程指只含有一個未知數、未知數的最高次數為1且兩邊都為整式的等

式.根據定義可知：①含有兩個未知數，不是一元一次方程；②含有分式，不是一元一次方程；③和④是

一元一次方程.

2.（2019?內蒙古呼和浩特?統考中考真題）關于"的方程?1）%-2=0如果是一元一次方程，

則其解為—.

【答案】％=2或%=一2或x=-3.

【分析】利用一元一次方程的定義判斷即可.

【詳解】解：???關于x的方程mx2mT+<m-l；x-2=0如果是一元一次方程，

（1）當2m-1=1,即m=l,

即x-2=0

解得：x=2,

（2）當m=O時，-x-2二。，

解得：x=-2

（3）當2m-l=0,即時，

2

方程為；一；％-2=0

22

解得：x=-3,

故答案為x=2或x=-2或x=-3.

【點睛】此題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解本題的關鍵.

題型04解一元一次方程

1.（2023?浙江?統考一模）解方程：浮一1=寶

36

【答案】x=l.S

【分析】按照去分母，去括號，移項，合并同類項，化系數為1的步驟，進行解答即可.

【詳解】解：去分母，得：6%-4-6=5-4%,

移項，得：6x+4x=5+4+6,

合并同類項，得：10%=15,

系數化為1,得：％=1.5.

【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關鍵是在掌握解一元一次方程的方法和步驟.

2.（2023?浙江溫州?統考一模）解方程等十三三二1,以下去分母正確的是()

4

A.4（%+2）+3（2x-1）=12B.4(%+2)+3(2x-1)=1

C.x+2+2x-l=12D.3(%+2)+4(2x-1)=12

【答案】A

【分析】各項同時乘以12運算即可.

【詳解】解.：等+等=1,

去分母得,4(%+2)+3(2%-1)=(2,

故選：A.

【點睛】本題考查了解一元一次方程一去分母.解題的關鍵在于正確的運算.

3.（2023常州市二模）對任意四個有理數小b,c,4定義新運算：\^\=ad-bc,已知|歹一：|=18,則

x=（.）

A.-1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據新運算公式，得：2x+4%=18,解得%=3.

【詳解】解：|?d|=ad-be,

2x+4x=18,

解得％=3,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，解題關鍵是把數式代入到對應的字母中，進行運算求解，易錯

點是數式與字母不能準確對應.

4.（2023?陜西西安?校考模擬預測）解一元一次方程：1一三竺=手一”

46

【答案】x

【分析】按照去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1的步驟解一元一次方程，即可求解.

【詳解】解：1一匕了=歲一無

46

去分母，12-3(4-3x)=2(5x+3)-12x

去括號，12-12+9%=10%+6-12%

移項，9x-10x+12x=6-12-12

合并同類項，llx=6

化系數為1,工=總

【點睛】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵.

題型05錯看或錯解一元一次方程

1.(2022?河北邯鄲?統考三模)嘉淇在解關于x的一元一次方程等+□=3時，發現正整數□

被污染了；

(1)嘉淇猜□是2,請解一元一次方程等+2=3；

(2)若老師告訴嘉淇這個方程的解是正整數，則被污染的正整數是多少？

【答案