數二——基本知識點DeranPan2017.8.11

目錄第一章 極限 4一、 定理 4二、 重要極限 4三、 等價無窮小 4六、 積分和求極限 4四、 佩亞諾余項泰勒展開 4第二章 一元函數微分 5一、 函數微分 5二、 微分運算法則 5三、 基本微分公式 5四、 變限積分求導 5五、 N階導數 5六、 參數方程導數 5七、 隱函數求導法則，冪指函數求導法則 5八、 反函數的一階、二階求導 5九、 單調、極值、凹凸、拐點 5十、 漸近線 5十一、 曲率 6十三、 泰勒定理 6十四、 極限與無窮小的關系 6十五、 附 6第三章 一元函數積分 7一、 定理 7二、 基本積分公式 7三、 基本積分方法 7四、 一個重要的反常積分 7五、 定積分的應用 7第四章 多元函數微分 8一、 如果limx→x0y→y0fx,y存在，則二、 求重極限方法 8三、 可微性討論 8四、 復合函數微分 8五、 高階偏導 8六、 隱函數求導 8七、 二元函數極值的充分條件 8八、 條件極值、拉格朗日乘數法 8九、 二重積分 8十、 柯西積分不等式 10第五章 常微分方程 11一、 一階微分方程 11二、 可降階的高階微分方程 11三、 高階常系數微分方程 11第一章 行列式 12一、 余子式&代數余子式 12二、 幾個重要公式 12三、 抽象n階方陣行列式公式 12第二章 矩陣 12一、 運算規則 12二、 特殊矩陣 12三、 可逆矩陣 12四、 秩 13第三章 向量 13一、 線性表出、線性相關、極大線性無關組 13二、 施密特正交化 13三、 正交矩陣 13第四章 線性方程組 14一、 克拉默法則 14二、 齊次線性方程組、基礎解系 14三、 非齊次線性方程組、通解結構 14第五章 特征值、特征向量、相似矩陣 14一、 特征值、特征向量 14二、 相似矩陣 14三、 實對稱矩陣 15四、 矩陣、特征值、特征向量 15五、 判斷A是否相似于對角 15第六章 二次型 15一、 二次型 15二、 標準型 15三、 規范型 15四、 化二次型為標準型，規范型 15五、 合同 16六、 慣性定理 16七、 實對稱矩陣A、B合同的充要條件 16八、 正定 16九、 正定陣性質 16后記 17

極限定理夾逼定理，單調有界定理重要極限 1.limx→0 3.limn→∞ 5.等價無窮小當x→0時sinxtanx1-eIn1+arcsinarctanαx洛必達法則積分和求極限lim佩亞諾余項泰勒展開esincosIn1+x

一元函數微分函數微分d微分運算法則uuCu基本微分公式Cxαelogcossincottanseccscarcsinarccosarctanarccot變限積分求導φ1=N階導數uu+參數方程導數yy隱函數求導法則，冪指函數求導法則反函數的一階、二階求導dxφ單調、極值、凹凸、拐點漸近線水平漸近線：lim鉛直漸近線：lim斜漸近線：lim曲率k=R=定理費馬定理（駐點）、羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。泰勒定理f極限與無窮小的關系lim其中附麥克勞林公式：fxx泰勒公式：fn=0拉格朗日余項：n=0Rff拉格朗日中值定理n=1佩亞諾余項：n=1Rff?增量與微分的關系式

一元函數積分定理定積分存在定理原函數存在定理積分中值定理a基本積分公式x1αesincostancotseccscseccsc1111基本積分方法湊微分法換元積分法含a2-含x2+a含x2-a部分積分法利用被積函數的奇偶性拆項積分一個重要的反常積分-∞定積分的應用平面圖形的面積

A平面曲線的弧長

S=旋轉體體積

V=π旋轉曲面面積

S=2π

多元函數微分如果limx→x0y→y求重極限方法利用極限性質、四則運算、夾逼準則等消除分母中為零的因子，有理化、等價無窮小等轉化為一元函數求極限利用無窮小乘以有節量仍為無窮小可微性討論可微考察fx'x0考察

lim?x→0?y→0可微的必要條件：可微必可導，不可導一定不可微。可微的充分條件：有連續一階偏導函數一定可微。復合函數微分一元與多元復合

d多元與多元復合

?z全微分形式不變

d高階偏導????fxy''x,y與fyx隱函數求導利用公式一元：d二元：?z?方程組兩端分別求導利用微分形式不變，方程兩端求微分二元函數極值的充分條件若fx'x0設A=fxx''則：AC-B2>0，取的極值，A>0AC-AC-條件極值、拉格朗日乘數法構造拉格朗日函數F解方程組?F?F?F所有滿足解的點是可能的極值點二重積分性質比較定理估值定理中值定理計算直角坐標系下的計算適合先y后x的積分域D適合先x后y的積分域D極坐標下的計算極點O在區域D之外D=極點O在區域D的邊界上D=極點O在區域D的內部D=環形域D=利用對稱性和奇偶性對稱性若積分域關于x或y對稱若積分關于直線x=y對稱，則

f柯西積分不等式f(x)?g

常微分方程一階微分方程可分離變量方程齊次方程dydx=fydy線性方程y'y=可降階的高階微分方程反復積分，y不是含有y的二階微分方程y''=fy則：y不是含有x的二階微分方程y''=則：y高階常系數微分方程齊次方程：+解特征值：τ有不相同的兩個實根：y有一對相等的實根：y=有一對共軛復根α±iβy非齊次方程：y通解形式為y=若fx=eλxk為特征值λ的重數若fx=ek為特征值α±iβ

行列式余子式&代數余子式幾個重要公式上（下）三角形行列式AA副對角線行列式AAA、B分別是m階，n階矩陣AO范德蒙行列式1抽象n階方陣行列式公式AkAAAAA若A～B，矩陣運算規則加法數乘乘法轉置AkAABA伴隨矩陣AAAkAAA方陣的冪AA特殊矩陣單位陣 數量陣 對角陣 上\下三角陣對稱陣 發對稱陣 正交陣 初等矩陣伴隨矩陣可逆矩陣運算性質kAABAAA求逆矩陣公式法：A初等變換：A分塊矩陣：BO秩rrrr若A可逆，r若A是m×n陣，B是n×s陣，AB=O分塊矩陣：

r向量線性表出、線性相關、極大線性無關組施密特正交化βββτ1=β1τ1正交矩陣AA是正交矩陣?AT=A-1如A是正交矩陣，則行列式A

線性方程組克拉默法則齊次線性方程組、基礎解系非齊次線性方程組、通解結構特征值、特征向量、相似矩陣特征值、特征向量若Aα=λα，則：

則稱λ是A的特征值，α是A對應于λ的特征向量性質i=1i=1求法λE-λiE相似矩陣若P-1AP=N階矩陣A可對角化

?特征向量α1λ1≠λ2是A的特征值

λ是A的ri重特征值，則該特征值得特征向量應小于等于性質：A~A，A~B若A~B兩矩陣相似的必要條件A實對稱矩陣元素aijA.實對稱矩陣的特征值全部是實數

B.實對稱矩陣屬于不同特征值對應的特征向量相互正交

C.實對稱矩陣必相似于對角陣，即存在P-1AP=Λ，且存在正交陣實對稱矩陣相似于對角陣步驟λE-Aλi正交化λi將全部特征向量單位化即有Q矩陣、特征值、特征向量矩陣特征值特征向量AλαkAkλαAλαffαAλαAAαA1α判斷A是否相似于對角A是否是實對稱矩陣若A不是，看A是否有n個互不相同的特征值若A有r重根，看對應是否有r個線性無關的特征向量二次型二次型矩陣表示=其中AT=A是對稱矩陣，為二次型若A、B是兩個n階對稱陣，f=若A若A若r若A正定?f正定標準型若二次型fx1,xp+q=r≤n規范型在二次型的標準型中，若平方項的系數di只取1、-1、0化二次型為標準型，規范型對于任意一個n元二次型f=XTAX，必存在正交變換X=QY任意一個二次型f，都可以通過（配方法）可逆線性變換X=CY，其C可逆化為標準型：

合同設A、B兩個n階方陣，若存在可逆矩陣C，使得

C則稱A合同于B，記A?B慣性定理作可逆線性變換化標準型時，線性變化不唯一，標準型也不唯一。但是標準型中正平方項數p和負平方項數q都是由二次型唯一確定的。p：正慣性指數q：負慣性指數p+q：二次型的秩p-q：符號差實對稱矩陣A、B合同的充要條件實對稱陣A?B

正定fx1,可逆線性變化不改變二次型的正定性f正定的充要條件：

f正定的必要條件：

正定陣性質任意秩為r的n階實對稱矩陣鈞與對角矩陣合同，其中p由A唯一確定，Λ稱為A的合同標準型。Λn階矩陣A正定時與A有關的矩陣kA、A

后記離開學已近在咫尺，從辭職考研到現在也已經過去一年多的時間。回想這一年多時間雖然有遺憾和不滿，但更多的