7.2.2復數的乘、除運算題型一：復數代數形式的乘法運算復數代數形式的乘法運算的策略：復數代數形式的乘法運算的策略：（1）按照復數的乘法法則，三個或三個以上的復數相乘可按從左到右的順序運算或利用結合律運算，混合運算和實數的運算順序一致.在計算時，若符合乘法公式，則可直接運用公式計算.（2）可類似多項式的乘法運算，最后再化簡為即可.【例1】已知是虛數單位，復數對應的點的坐標是，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題設.故選：A【例2】已知，則（

）A．10 B． C．5 D．【答案】A【詳解】解法一：，解法二：因為，所以，故選：A.【變式1-1】已知，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【詳解】已知，即.則可得.由可得，將代入中，得到，解得或.當時，，；當時，，.所以.故選：C.【變式1-2】設復數的共軛復數是，若復數，，且是實數，則實數等于．【答案】/【詳解】是實數，則，．故答案為：.【變式1-3】若復數滿足，其中是虛數單位，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設，則，因此，則，，即，所以.故選：A題型二：復數的乘方利用i利用i冪值的周期性解題的技巧：（1）熟記i的冪值的4個結果，當冪指數除以4所得的余數是0,1,2,3時，相應的冪值分別為．（2）對于，有．【例3】（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以.故選：C.【例4】已知復數，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【詳解】因為，所以.故選：A【變式2-1】若，，則的取值可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【詳解】因為，所以，，．故選：A.【變式2-2】復數，其中為虛數單位，則復數的共軛復數的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，由得，，，故.故選：A【變式2-3】知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意得，故.故選：A.題型三：復數代數形式的除法運算復數代數形式的除法運算的策略：復數代數形式的除法運算的策略：根據復數的除法法則，通過分子，分母都乘以分母的共軛復數，使＂分母實數化＂，這個過程與＂分母有理化＂類似．【例5】在復平面內，復數對應的點與復數對應的點關于實軸對稱，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，所以復數對應的點為，因為復數對應的點與復數對應的點關于實軸對稱，所以復數對應的點為，所以，故選：D.【例6】i是虛數單位，，若復數z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，可得：，所以，故選：B【變式3-1】歐拉公式（其中為虛數單位）是由瑞士數學家歐拉發現的．若復數，則在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】由題可得，所以所以在復平面內對應的點為，位于第三象限，故選：C【變式3-2】復數是成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當時，再計算：，所以當時，成立，充分性成立.由，則：，即或，所以當時，不一定等于，必要性不成立.因為充分性成立，必要性不成立，所以復數是成立的充分不必要條件，故選：A.【變式3-3】（多選）已知為復數，則下列結論正確的是（

）A．若，則B．C．若，則為純虛數D．若，則的最小值為1【答案】ABD【詳解】A選項，因為，所以，故A正確；B選項，設，，則，又，，所以成立，故B正確；C選項，當時，有成立，但此時為實數，故C錯誤；D選項，設，，由于，則，即，故，由，得，則，故當時，的最小值為1，故D正確．故選：ABD題型四：共軛復數互為共軛復數的兩個復數在復平面內所對應的點關于實軸對稱．特別地，實數和它的共軛復數在復平面內所對應的點重合，且在實軸上．互為共軛復數的兩個復數在復平面內所對應的點關于實軸對稱．特別地，實數和它的共軛復數在復平面內所對應的點重合，且在實軸上．【例7】復數滿足（為虛數單位），則的共軛復數的虛部是.【答案】1【詳解】，所以，所以的共軛復數的虛部是1.故答案為：1【例8】關于復數與其共軛復數，下列結論正確的是（

）A．在復平面內，表示復數和的點關于虛軸對稱B．C．必為實數，必為純虛數D．若復數為實系數一元二次方程的一根，則也必是該方程的根【答案】D【詳解】對于選項A，表示復數和的點關于實軸對稱，故A錯誤：對于選項B和選項C，當時均不成立，故BC錯誤；對于選項D，若方程的可得為實數，即，符合題意；若，則方程的兩個復數根為和，此時兩根互為共軛復數，因此D正確.故選：D【變式4-1】已知復數是虛數單位.(1)若復數在復平面上對應點落在第一象限，求實數的取值范圍；(2)若虛數是實系數一元二次方程的根，求實數值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知得到，因為在復平面上對應點落在第一象限，所以，解得，所以（2）因為虛數是實系數一元二次方程的根，所以是方程的另一個根，所以，所以，所以，所以，所以.【變式4-2】（多選）下列命題為真命題的是（

）A．若，互為共軛復數，則為實數B．若，則C．復數的共軛復數為D．關于復數的方程（）有實數根，則【答案】ABD【詳解】設，，則為實數，A選項正確．設，，則，正確．，其共軛復數是，C選項錯誤．設是方程的實根，則，，．D選項正確．故選：ABD．【變式4-3】已知復數，則的虛部是（

）A． B． C．1 D．i【答案】C【解析】求出，即可得出，求出虛部.【詳解】，，其虛部是1.故選：C.題型五：復數范圍內方程的解在復數范圍內，在復數范圍內，實系數一元二次方程的求解方法：（1）求根公式法：=1\*GB3①當時，；=2\*GB3②當時，．（2）利用復數相等的定義求解，設方程的根為，將其代入方程，化簡后利用復數相等的定義求解.【例9】（多選）已知是虛數單位，表示的共軛復數，復數滿足，則下列正確的是（

）A．的虛部為B．C．是純虛數D．若是方程的一個根，則【答案】BC【詳解】由題設，令且，所以，即，所以，則，可得，所以，，則，A錯，B對；，C對；若是方程的一個根，則，，故，D錯.故選：BC【例10】已知復數（其中為虛數單位），若復數的共軛復數為，且．(1)求復數；(2)求復數；(3)若是關于的方程的一個根，求實數，的值，并求出方程的另一個復數根．【答案】(1)(2)(3)，，另一根為【詳解】（1），所以復數的共軛復數為．（2）因為，所以所以.（3）若是關于的方程的一個根，則，即，所以解得：，，則，即，所以方程另一根為．【變式5-1】若關于的方程有兩個虛根，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】關于的方程化為：，假定方程有實根，而，則且，解得，因此由原方程沒有實根，得，所以實數的取值范圍為.故選：D【變式5-2】已知關于的實系數方程的一個虛根為，則另外一個根的虛部為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【詳解】將代入中可得，解得，故，故，因此另一個虛數根為，故其虛部為1，故選：A【變式5-3】在復數范圍內，方程的解的個數為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【詳解】設，那么原方程即為，得故或或所以，故方程的解的個數為6.故選：C1．已知，且，其中i是虛數單位，則（

）A．20 B．12 C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，所以，解得，，所以.故選：C.2．數學試題）（多選）已知為虛數單位，復數滿足，則（

）A．的實部為3B．的虛部為C．D．在復平面內對應的點在第四象限【答案】ACD【詳解】由于，則的實部為的虛部為2，不是，所以A正確，B錯誤；由于在復平面內對應的點在第四象限，所以CD都正確，故選：ACD.3．已知復數，其中，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由，則，可得或，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4．數學試題）已知復數在復平面內對應的點的坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為復數在復平面內對應的點的坐標為，所以.，所以，故選：.5．（多選）已知，，關于的方程有一個根為，為虛數單位，另一個根為，則（）A．該方程不存在實數根 B．，C．對應的點在第三象限 D．【答案】ABD【詳解】由是方程的根，得，整理得，因此，解得，所以方程為，故B正確；對于A，根據方程，可得，所以方程無實數根，故A正確；對于C，方程，由韋達定理可知，得，對應的點為，在第四象限，故C錯誤；對于D，，所以，故D正確．故選：ABD．6．已知復數滿足，則復數在復平面內所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】由，則，所以復數在復平面內所對應的點為位于第三象限.故選：C7．（多選）已知為虛數單位，以下選項正確的是（

）A．若，則的充要條件是B．若復數滿足，則C．D．若復數滿足，則的最大值為6【答案】ACD【詳解】對于A，因，則等價于，等價于，即，故A正確；對于B，由可得，當時，等式成立，但與不一定相等，故B錯誤；對于C，因對于，，則，于是，故C正確；對于D，由可理解為復平面內以原點為圓心的單位圓，而可看成點到該圓上點的距離，易得的最大值即，故D正確.故選：ACD.8．（多選）復數，滿足，，則（

）．A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】依題意得，復數，是方程的兩個根，可得，解得，則，，所以，故選項A正確；，故選項B正確；，故選項C錯誤；，故選項D正確．故選：ABD．9．已知，則在復平面內所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據復數模長公式計算可得，再利用共軛復數定義及其幾何意義可求得結果.【詳解】設，