2024年山東省濟南市長清區十校聯盟中考數學模擬試卷

一.選擇題（40分）

1.（4分）下列立體圖形中，主視圖是圓的是（）

2.（4分）中國倡導的“一帶一路”建設將促進我國與世界各國的互利合作，根據規劃“一帶一路”地區

覆蓋總人口約為4500000000人，這個數用科學記數法表示為（）

A.45X108B.4.5X109C.4.5X108D.4.5X1O10

3.（4分）數學中處處存在著美，從三國時期的趙爽弦圖，到19世紀的萊洛三角形，再到近代的科克曲線

和謝爾賓斯基三角形，這種特殊的數學之美，令人沉述.下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱

萊洛三角形

4.（4分）實數小方在數軸上對應點的位置如圖所示，下列結淪正確的是（）

-3-2-10123

A.ub>0B.a+b>0C.\a\<\b\D.a+\<b+\

5.（4分）如圖，將矩形直尺的一個頂點與三角尺的直角頂點重合放置，測得N2=58°,則N1的度數為

A.22°B.32°C.42°D.62°

6.（4分）小冰和小雪自愿參加學校組織的課后托管服務活動，隨機選擇自主閱讀、體育活動、科普活動

三項中的某一項，那么小冰和小雪同時選擇“體育活動”的概率為（）

122

A.-B.-D.

339

7.（4分）一次函數），=or+〃與反比例函數,，=芋（〃，〃為常數且均不等于0）在同一坐標系內的圖象可

8.（4分）在測浮力的實驗中，將一長方體石塊由玻璃器皿的上方，向下緩慢移動浸入水里的過程中，彈

簧測力計的示數尸拉力（N）與石塊下降的高度大（cw）之間的關系如圖所示.（溫馨提示：當石塊位于

水面上方時，尸拉力=G電力，當石塊入水后，F拄力=C型力-F浮力.）則以下說法正確的是（）

A.當石塊下降時，此時石塊在水里

B.當6WxW10時，F拉力（N）與x（切?）之間的函數表達式為“拉力=竟+學

o4

C.石塊下降高度8c機時，此時石塊所受浮力是1N

22

D.當彈簧測力計的示數為3N時，此時石塊距離水底可cm

9.（4分）如圖，在△ABC中，NA6C=90°,ZC=30°,以點A為圓心，以A4的長為半徑作弧交A3

于點。，連接B。，再分別以點8,。為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點P,兩弧交于點

P，作射線AP交6c于點E,連接DE,則下列結論中不正確的是（)

A

A.BE=DEB.D￡垂直T分線段AC

C.S'EDC=—D.BD1=BC*BE

S^ABC3

10.（4分）已知拋物線P：），=7+4a”3（a>0）,將拋物線尸繞原點旋轉180°得到拋物線P',當iWx

W3時，在拋物線P'上任取一點M,設點M的縱坐標為/,若fW3,則a的取值范圍是（）

13133

A.0<a<^B.0<a<^C.~^a<-D.a>

二.填空題

11.（4分）因式分解：〃尸+2〃?+1=.

12.（4分）關于工的一元二次方程/-4x+c=0沒有實數根，則c的值可以是（寫出一

個即可）.

13,（4分）代數式丁三與代數式三的值相等，則工=_______.

2x-lx

14.（4分）一個小球在如圖所示的矩形地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地病上.每塊地成的大小、質

地完全相同，其中在矩形43co中，5c=4,CQ=2,以4。為直徑的半圓。與3c相切于點E,連接

BD,則那么該小球停留在陰影區域的概率是.（結果保留TT）

15.（4分）澄波湖公園有一條筆直的健身跑道，每天有很多市民在此晨練，成為濟陽區一道艦麗的風景.每

天早晨小紅與父親勻速跑步，已知父女倆起點、終點均相同，起點與終點間的距離為600處約定先到

終點的原地休息等待另一個人.已知小紅先出發20s,如圖兩人之間的距離），（〃?）與父親出發的時間x

（5）的函數關系如圖所示，父女兩人之間的距離為80〃?時，父親出發的時間x為s.

地而B

21.（8分）為了解學生完成書面作業所用時間的情況，進一步優化作業管理，某中學從全校學生中隨機抽

取部分學生，對他們一周平均每天完成書面作業的時間/（單位：分鐘）進行調查.將調查數據進行整

理后分為五組:A組“0V/W45"；8組“45VK60”；C組“60VW75”；。組“75<，W90"；E組一

>90現將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖.

根據以上信息，解答下列問題：

（1）這次調查的樣本容量是，請補全條形統計圖；

（2）在扇形統計圖中，A組對應的圓心角的度數是°,本次調查數據的中位數落在

組內；

（3）若該中學有2000名學生，請你估計該中學一周平均每天完成書面作業不超過90分鐘的學生有多

少人？

22.（8分）如圖，。。是△ABC的外接圓，4。是OO的直徑，尸是AO延長線上一點，連接C。，。凡

且NOC尸=NC4O.

（1）求證：是。。的切線；

（2）若4。=10,COSB=3求。的長.

c

F

23.w（10分）端午節是中國傳統節日，人們有吃粽子的習俗.今年端午節來臨之際，某商場預測A粽子能

夠暢銷.根據預測，每千克A粽子節前的進價比節后多2元，節前用240元購進A粽子的數量比節后

用相同金額購進的數量少4千克.根據以上信息，解答下列問題：

（1）該商場節后每千克A粽子的進價是多少元？

（2）如果該商場在節前和節后共購進A粽子400千克，且總費用不超過4600元，并按照節前每千克

20元，節后每T?克16元全部售出，那么該商場節前購進多少「克A粽子獲得利潤最大？最大利潤是多

少？

24.（10分）如圖1,木匠陳師傅現有一塊五邊形人木板，它是矩形人8CO木板用去△CE/7后的余

料，AD=4,AB=5,DE=\,”是BC邊上一點.陳師傅打算利用該余料截取一塊矩形材料，其中一條

邊在A。上.

［初步探究］

（1）當8尸=2時.

①若截取的矩形有一邊是DE,則截取的矩形面積的最大值是：

②若截取的矩形有一邊是RF,則截取的矩形面積的最大值是:

［問題解決］

（2）如圖2,陳師傅還有另一塊余料，ZBAF=ZAFE=90°,AB=EF=\,CO=3,A尸=8,CD//AF,

且C。和AF之間的距離為4,若以4/所在直線為x軸，AF中點為原點構建宜角坐標系，則曲線OE

是反比例函數）=［圖象的一部分，陳師傅想利用該余料截取一塊矩形MNG”材料，其中一條邊在AF

73

上，所截矩形MNG”材料面積是求GN的長.

6

25.（12分）已知拋物線產-，+云+C與x軸交于4,B兩點，與），軸交于點C（0,4）,其對稱軸為x=

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖1,點D是線段0C上的一動點，連接AD,BD,將△AB。沿直線AD翻折，得到AAB'。，

當點8恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點。的坐標；

（3）如圖2,動點P在直線AC上方的拋物線上，過點尸作直線AC的垂線，分別交直線AC,線段4c

于點七，”，過點“作"G_Lx地，垂足為G,求FG+V2”的最大值.

圖1圖2

26.（12分）（1）問題發現：如圖1,矩形4EFG與矩形A8C。相似，且矩形AEFG的兩邊分別在矩形ABC。

的邊A3和A。上BC：AB=1：百，連接C立線段。/與06的數量關系為：

（2）拓展探究：如圖2,將矩形AEFG繞點A逆時針旋轉，其它條件不變.在旋轉的過程中，（1）中

的結論是否仍然成立，請利用圖2進行說理.

（3）解決問題；當矩形A4CO的邊從。=48時，點？為直線C。上異于。，C的一點，以AK為邊作

正方形AEFG,點，為正方形AEFG的中心，連接QH,若A/）=4,DE=2,直接寫出。H的長.

2024年山東省濟南市長清區十校聯盟中考數學模擬試卷

參考答案與試題解析

一,選擇題（40分）

1.（4分）下列立體圖形中，主視圖是圓的是（）

【解答】解：4、的主視圖是圓，故A符合題意:

B、的主視圖是矩形，故8不符合題意；

C、的主視圖是三角形，故C不符合題意；

。、的主視圖是正方形，故。不符合題意；

故選：A.

2.（4分）中國倡導的“一帶一路”建設將促進我國與世界各國的互利合作，根據規劃“一帶一路”地區

覆蓋總人口約為4500000000人，這個數用科學記數法表示為（）

A.45XIO8B.4.5XIO9C.4.5X108D.4.5X1O10

【解答】解：4500000000=4.5X109.

故選：B.

3.（4分）數學中處處存在若美，從三國時期的趙爽弦圖，到19世紀的萊洛三角形，再到近代的科克曲線

和謝爾賓斯基三角形，這種特殊的數學之美，令人沉述.下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱

萊洛三角形

謝爾賓斯基三角形

【解答】解：4該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意;

B.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

c.該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意;

D.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意.

故選：C.

4.（4分）實數小人在數軸上對應點的位置如圖所示，下列結淪正確的是（）

?g1??2????

-3-2-10123

A.ub>（）B.u+b>0C.|u|<|/?|D.?+!</?+1

【解答】解：A選項，??ZV0,b>0,

，出Y0,故該選項不符合題意；

B選項，Vfl<0,b>0,|。|>|加，

?\a+b<0,故該選項不符合題意：

C選項，間>|臼，故該選項不符合題意；

。選項，Va<b,

At/+!</?+1,故該選項符合題意；

故選：D.

5.（4分）如圖，將矩形直尺的一個頂點與三角尺的直角頂點重合放置，測得N2=58°,則N1的度數為

（）

A.22°B.32°C.42°D.62°

【解答】解：???矩形直尺對邊平行，

???N3=/2=58°,

AZ1=90°-58°=32°.

故選：B.

2

AB

6.（4分）小冰和小雪自愿參加學校組織的課后托管服務活動，隨機選擇自主閱讀、體育活動、科普活動

三項中的某一項，那么小冰和小雪同時選擇“體育活動”的概率為（）

1212

A.-B.-C.一D.-

3399

【解答】解：設自主閱讀、體育活動、科普活動分別記為A、8、C,

畫樹狀圖如下:

小冰BC

/T\

小雪ABC

共有9種等可能的結果，其中小冰和小雪同時選擇“體育活動”的結果有I種,

???小冰和小雪同時選擇“體育活動”的概率為點

故選：C.

7.（4分）一次函數），=〃計〃與反比例函數（小人為常數且均不等于0）在同一坐標系內的圖象可

【解答】解：4、一次函數）=如+〃的圖象經過第一、二、三象限,則。>0,b>0,所以而>0,則反

比例v=?應該位于第一、三象限，故本選項不可能;

則反比例產號應

B、一次函數的圖象經過第一、二、四象限,則aVO,b>0,所以而<0,

該位于第二、四象限，故本選項不可能;

則反比例產學應

C、一次函數>=加+〃的圖象經過笫一、三、四象限,則〃>0,b<0,所以abVO,

該位于第二、四象限，故本選項不可能;

D、一次函數尸ai+0的圖象經過第一、二、四象限，則〃<0,b>0,所以他<0,則反比例尸皆應

該位于第二、四象限，故本選項有可能；

故選：D.

8.（4分）在測浮力的實驗中，將一長方體石塊由玻璃器皿的上方，向下緩慢移動浸入水里的過程中，彈

簧測力計的示數尸拉力（N）與石塊下降的高度x（cm）之間的關系如圖所示.（溫馨提示：當石塊位于

水面上方時，尸拉力一G甫力，當石塊入水后，F枚力一C尊力-F字力.）則以下說法正確的是（）

01246810121416^/cm

A.當石塊下降3c〃?時，此時石塊在水里

3

-X+245

B.當6WxW10時，尸拉力（N）與％（cm）之間的函數表達式為廣拉力=8

C.石塊下降高度85?時，此時石塊所受浮力是1N

22

D.當彈簧測力計的示數為3N時，此時石塊距離水底二cm

【解答】解：A、由圖得，當石塊下降3s?時，拉力不變，此時石塊不在水里，故A不符題意;

B、設尸=履+江代入（6,4）（10,2.5）,得尸=一3+竽，故B不符合題意：

33

得

尸4-

25=13下143-

C、將x=8代入/=4,4故。不符合題意;

■8A

D、將尸=3代入戶=一奈什易得產多16-學=等故。符合題意；

故選：D.

9.（4分）如圖，在△ABC中，乙48c=90°,ZC=30°,以點4為圓心，以48的長為半徑作弧交A8

1

于點D，連接8D,再分別以點8,。為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點P,兩弧交于點

尸，作射線4。交8c于點E,連接。E,則下列結論中不正確的是（)

A

B

A.BE=DEB.DE垂直平分線段AC

「S^EDC6

c.----------=—D.B0=BC?BE

S—BC3

【解答】解：由題意可得NABC=90°,NC=30°,AB=ADfAP為的垂宜平分線,

[BE=DE,

???NB4E=ND4E=30°,

???△AEC是等腰三角形,

'：AB=AD,AC=2AB,

.??點力為4c的中點,

???。后垂直平分線段4C,

故選項A,8正確，不符合題意;

在AABC和△EQC中,

ZC=ZC,ZABC=ZEDC=90°,

/.△ABC^AEDC,

ABACBC

EDEC~DC

BCV3八1八

*/—=c?os30°=—,DC=-xACt

AC22

BC

???____.V5,

DC

.S^ABC2

??=(V3)=3,

S^EDC

.S-EDC_1

S4ABe3

故選項C錯誤，符合題意;

在△AB。中,

*：AB=AD,N84Z)=60°,

/\ABD是等邊三角形,

???/ABO=NAQ8=60°,

:?/DBE=/BDE=30°,

在48七。和△BQC中，NDBC=NEBD=30°,NBDE=NC=30°,

:?△BEDsABDC,

?_B_E_B_D

?■=_，

BDBC

:.B0=BC?BE,

故選項。正確，不符合題意.

故選：C.

1（）.（4分）已知拋物線P：,，=/+4ar-3（<z>0）,將拋物線P繞原點旋轉180°得到拋物線P',當1Wx

W3時，在拋物線P'上任取一點M,設點M的縱坐標為，，若fW3,則。的取值范圍是（）

13133

--c-<aV-a>-

A.4B.44-4D.-4

【解答】解：設拋物線P'上任意一點（x,y）,

則點（■y）原點旋轉180°后對應的點為（?x,-y）,

-）'=f-4。%-3,

，拋物線P'的解析式為>'=-?+4?A-+3,

*/y=-/+40￥+3=-（x-2a）2+4a2+3,

當x=2a時，），有最大值4廿+3,

①當2.V1時，即a.1=1時j有最大值，

，2+4aW3,

：-a<I，

此時a<I；

②當2心3時，即a*,x=3時y有最大值,

-6+12aW3，

,,<z—4,

此時a不存在；

1O

③當1W2〃W3時，即-WaW*x=2o時），有最大值，

2,

，4J+3W3

???4=0,

此時a不存在；

綜.上所述：OVa0上,

故選：A.

二.填空題

11.（4分）因式分解：〃尸+2〃?+1=（〃?+1）2.

【解答】解：原式=病+2m+『=（m+1）2,

故答案為：（/n+l）2.

12.（4分）關于x的一元二次方程f-4x+c=0沒有實數根，則c的值可以是5（答案不唯一）（寫

出一個即可）.

【解答】解：因為關于x的一元二次方程/-4%+c=0沒白實數根，

所以A=（-4）2-4c<0,

解得c>4.

故答案為：5（答案不唯一）.

53

13.（4分）代數式丁一;與代數式一的值相等，則.丫=3.

2x-lx

53

【解答】解：由題意得，T--=-

2X-1X

去分母得，5x=3（2A--I）,

解得x=3,

經檢驗x=3是原方程的解，

所以原方程的解為工=3,

故答案為：3.

14.（4分）一個小球在如圖所示的矩形地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地磚上.每塊地磚的大小、質

地完全相同，其中在矩形人8CO中，BC=4,CD=2,以人。為直徑的半圓。與相切于點E,連接

BD,則那么該小球停留在陰影區域的概率是（結果保留n）

8

BEC

2

【解答】解：根據題意得：S,彤部分=S廂形ODE==71,

)°O曹Ow：

71TC

所以該小球停留在陰影區域的概率是丁二=一，

4X28

TC

故答案為：

8

15.(4分)澄波湖公園有一條筆直的健身跑道，每天有很多市民在此晨練，成為濟陽區一道艦麗的風景.每

天早晨小紅與父親勻速跑步，已知父女倆起點、終點均相同，起點與終點間的距離為600/n,約定先到

終點的原地休息等待另一個人.已知小紅先出發20s,如圖兩人之間的距離)，(〃?)與父親出發的時間x

(5)的函數關系如圖所示，父女兩人之間的距離為80〃?時，父親出發的時間工為120或240s.

【解答】解：由函數圖象可得：

小紅的速度為40?20=2(,武)，父親的速度為600+200=3(〃?/5),

40

父親追上小紅所需時間為=40(s),

，A的坐標為(40,0),

當父親出發的時間x=200s時，兩人之間的距離y=2OOX3-(200+20)X2=160(W,

坐標是(200,160),

小紅到達終點所需時間為等=300(s),300-20=280,

的坐標為(280,0),

設所在直線解析式為

把力(40,0),B(200,160)代入解析式得；

f40m+n=0

(200m+n=160'

解得產=1,

In=-40

???44所在直線解析式為)，=x-40,

當)，=80時，x-40=80,

解得x=120；

設8c所在直線的解析式為)，=心:+力，把8(200,160),C(280,0)代入得:

200/c+b=160

280k+b=0

解時:羔

???8C所在直線的解析式為y=-2A+560,

當)=80時，?2%+560=80,

解得x=240,

???父女兩人之間的距離為80〃?時，父親出發的時間x為1205或240.V,

故答案為：12()或240.

16.(4分)如圖，正方形ABCO中，4B=4,點石是對角線即上一點，連接AE,過點七作E/JLAE,交

BC于點F,連接4F,交BD千點M,將△EFM沿石/翻折，得到連接AN,交所于點G,若

點?是8c邊的中點，則線段4N的長是￥.

-3-

AD

MYG

解：如圖，過點E作〃K_L4。于”，交BC于K,

MXG

FKC

???四邊形ABC。是正方形,

：.AD//BC,AB=BC=AD=4,

二點尸是AB的中點,

:?BF=^BC=2,

在RtAABF中，AF=>JAB2+BF2=V42+22=275,

\*AD//BC,

：.2AMDs叢FMB,

AMAD4

???一——乙o9

FMBF2

：.AM=2FM,

?：AM+FM=AF,

A2FM+FM=2V5,

?g/2后

,.FM=

，：BD是正方形ABCD的對角線，

AZABD=ZADB=45<>,

?:EH上AD,

???△/)/?，是等腰直角三角形，

:?DH=DE,

VZADC=ZBCD=ZDHK=90°,

???四邊形CZ)”K是矩形，

：.HK=CD=AD,

:,HK-EH=AD-DH,即EK=AH,

*：EF.LAE,

AZAEH+ZFEK=90°,

???NAEH+/E4〃=90°,

：./FEK=/EAH,

*：ZEKF=ZAHE=90°,

:.△EFK@4AEH(ASA),

:?AE=EF,

???△AE尸是等腰直角三角形，

，NEFM=45°,

???將△EFM沿E/翻折，得到△EFM

2年

:.FN=FM=*,/EFN=NEFM=45°,

:?4AFN=4EFM+4EFN=4、°+45°=90°,

，4N=7AF2+FN?=J(26)2+(竽)2=1^?.

10-

故答案為:

3

三,解答題

17.(6分)計算：V4-2sin45°-(71-3)°+|-V2|.

【解答】解：V4-2sin45°-(zr-3)°4-|-V2|

=2-2x芋—1+x/2

=2—V2—1+A/2

=1.

（4（x-1）<7x+2

⑻“分）解不等式組x+2〈里’并寫出它的整數解?

4(%-1)<7x4-2?

【解答】解:x+8

x+2<②

3

解不等式①得“2-2,

解不等式②得工<1,

所以不等式組的解集為：-2WxV|,

所以不等式組的所有整數解為：-2,-1,0.

19.（6分）如圖，平行四邊形ABCO中,E,尸是直線AC上兩點，且AE=CF.

求證：DF=BE.

【解答】證明???四邊形A4c。是平行四邊形,

：,AB=CD,AB//CD

：.ZACD=ZCAB.

在與△AEB中,

AB=CD

Z.ACD=乙CAB,

CF=AE

：,/\CFD^AAEB(SAS),

:?DF=BE.

20.（8分）“蕩秋千”一直以來都是人們喜聞樂見的休閑方式之一，某天，小明和小亮兩人玩蕩秋千，如

圖為側面幾何圖，靜止時秋千位于鉛垂線/小上，蕩秋千的起始位置為C,終點為點C距離地面為

1.08米，秋千位于C時，安全鏈AC與鉛垂線A8夾角為37°,安全鏈4c=2.4〃?.

（1）求點A到地面的距離AB為多少？

（2）當小明用力將小亮從C推出后可達到最高點。處，此時N00=100°,求點。到地面的距離為

多少？(結果精確到0.01/H,參考數據sin37020.6,cos37020.8,sin27020.47)

【解答】解：（I）過點。作CE_L4B,垂足為E,

在RtZkACE中，ZCAE=31Q,人C=2.4〃7,

???AE=4C?cos37°^2.4X0.8=1.92(〃?)，

??,點、。距離地面為1.08米，

：,AB=AE+EB=1.92+1.08=3(m),

/.點A到地面的距離AB約為3/zn

(2)過點D作DFA.AB,垂足為F,

.*.ZDM=90°,

由題意得：AD=AC=2Am,

VZCAD=100°,ZCAB=3V,

AZDAF=ZCAD=ZCAE=63°，

產=90°-ZDAF=2T,

在RtAAD尸中,AF=AD-sin27°-2.4X0.47=1.128（m）,

：,FB=AB-AF=3-1.128^1.87（〃?），

工點。到地面的距離約為1.87w.

21.（8分）為了解學生完成書面年業所用時間的情況，進一步優化作業管理，某中學從全校學生中隨機抽

取部分學生，對他們一周平均每天完成書面作業的時間，（單位：分鐘）進行調查.將調查數據進行整

理后分為五組：A組“0V忘45”；5組“45VEW60”；。組“60V/W75”；。組“75VW90"；上組“F

根據以上信息，解答下列問題：

（1）這次調查的樣本容量是50,請補全條形統計圖；

（2）在扇形統計圖中,A組對應的圓心角的度數是36°，本次調查數據的中位數落在2組內:

（3）若該中學有2000名學生，請你估計該中學一周平均每天完成書面作業不超過90分鐘的學生有多

少人？

【解答】解：（1）這次調查的樣本容量是：13+26%=50：

4組的人數為；50513202=10（人），

補全條形統計圖如下：

人勉

⑵A組對應的圓心角的度數是：360°x磊=36°；

本次調查數據的中位數落在C組，

故答案為：36；C；

(3)2000x=1920(人)，

vJV/

答：估計該中學一周平均每天完成書面作業不超過90分鐘的學生有1920人.

22.(8分)如圖，。0是△ABC的外接圓，A。是。。的直徑，尸是延長線上一點，連接CO,CF,

(I)求證：c廠是OO的切線；

□

(2)若40=10,cos3=S求FQ的長.

【解答】(1)證明：連接OC,

???NACQ=90°,

AZADC+ZCAD=90°,

又VOC=OD,

???ZADC=ZOCD,

又?:/DCF=/CAD.

???NQO*NOCO=90",

即OCA.FC,

工產C是OO的切線；

（2）解：ZB=ZADC,cosB=

cosZADC=V，

在RtZXACO中，

3rn

VcosZADC=j=AD=\0,

3

/.CD=AD*cosZADC=lOx1=6,

J

：.AC=y/ADz-CD2=8,

?CD__3

??~~~=一,

AC4

■:NFCD=NFAC,/F=NF,

/.△FCD^AMC,

CDFCFD3

''AC~FA~FC~4

設FQ=3.r,貝lj產C=4x,人/=3x+10,

又?：FU=FD?FA,

即（4.r）2=31（3X+10）,

解得尸斗（取正值），

/?FD=3x=-j-.

23.（10分）端午節是中國傳統節日，人們有吃粽子的習俗.今年端午節來臨之際，某商場預測4粽子能

夠暢銷.根據預測，每千克A粽子節前的進價比節后多2元，節前用240元購進4粽子的數量比節后

用相同金額購進的數量少4千克.根據以上信息，解答下列問題：

（1）該商場節后每千克A粽子的進價是多少元？

（2）如果該商場在節前和節后共購進A粽子400千克，且總費用不超過4600元，并按照節前每千克

20元，節后每千克16元全部售出，那么該商場節前購進多少千克人粽子獲得利潤最大？最大利潤是多

少？

【解答】解：(1)設該商場節后每千克4粽子的進價為x元，

?一,240240

根據題思，得-----4=---

XX+2

解得工=10或%=-12(舍去)，

經檢驗，x=10是原分式方程的根，且符合題意，

答：該商場節后每千克A粽子的進價是10元；

(2)設該商場節前購進/〃T?克人粽了，總利潤為w元，

根據題意，得12m+10(400-m)W4600,

解得〃忘300,

w=(20-12)m+(16-10)(400-w)=26+2400,

V2>0,

隨著加增大而增大，

當〃7=30()時，卬取得最大值，最大利潤為2X300+2400=3000(元)，

答：該商場節前購進300千克人粽子獲得利潤最大，最大利潤是3000元.

24.(10分)如圖1,木匠陳師傅現有一塊五邊形人木板，它是矩形人ACO木板用去△CE/7后的余

料，40=4,48=5,DE=\,尸是8c邊上一點.陳師傅打算利用該余料截取一塊矩形材料，其中一條

邊在上.

［初步探究］

(1)當8尸=2時.

①若截取的矩形有一邊是。E，則截取的矩形面積的最大值是4；

②若截取的矩形有一邊是則截取的矩形面積的最大值是10;

［問題解決］

(2)如圖2,陳師傅還有另一塊余料，^BAF=ZAFE=9Q°,AB=EF=\,CD=3,A尸=8,CD//AF,

且C。和AF之間的距離為4,若以A/所在直線為工軸，AF中點為原點構建宜角坐標系，則曲線OE

是反比例函數)=［圖象的一部分，陳師傅想利用該余料截取一塊矩形MNG”材料，其中一條邊在AF

73

上，所截矩形MNG”材料面積是”.求GN的長.

6

【解答】解：(1)①當DE為陰形一條邊，A。為矩形另一條邊時，截取的矩形面積的最大,

???AO=4,DE=\,

，S=4X1=4,

???截取的矩形面積的最大值4；

故答案為:4：

②當A尸為矩形一條邊，為矩形另一條邊時，截取的矩形面積的最大，

;AB=5,BF=2,

.*.5=5X2=10,

???截取的矩形面積的最大值10；

故答案為：10：

(2)??"=8,

人(-4.0),F(4,0),

'：AB=EF=\,

：.B(-4,1),E(4,1),

點在函數)=［圖象上，

?3=4,

???反比例函數的解析式為

??.CD和4戶之間的距離為4,CD//AF,

:?D(1,4),

VCD=3,

AC(-2,4),

設直線BC的解析式為)，=心一4

.(-4kr+b=1

??［一2/+6=4'

3

3

7

2

4上

-‘

‘3

1

t

3

3

4

2

^

(

1

6

s

-

3

*

3

t

/=

7

-

-

2

.

長為二

N的

???G

2

3

2

=

軸為x