襄陽四中級高一年級2月月考數(shù)學試卷一、單選題1.函數(shù)的定義域為（A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)式的真數(shù)大于0，然后解三角不等式可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域為：，則，解得：，所以函數(shù)的定義域為故選：D.2.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（）A.2B.16C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意列出方程組，求得m的值，即得函數(shù)解析式，代入求值可得答案.【詳解】由題意得，解得，所以，故,故選：D3.已知且，若，則（）第1頁/共19頁A.B.C.D.【答案】C【解析】分析】先根據(jù)指數(shù)式對數(shù)式互化求出，再根據(jù)換底公式轉(zhuǎn)化，再根據(jù)求解即可.【詳解】由，得，即，所以，所以.故選:C.4.的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)單位圓交點的縱坐標為，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】有三角函數(shù)的定義得，然后利用二倍角的余弦公式求出，求解即可.【詳解】將角的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)，與單位圓交點的縱坐標為，所以，所以，所以，故選：B.5.要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)y＝cosx的圖象（）第2頁/共19頁A.向左平行移動個單位長度，橫坐標縮短為原來倍，縱坐標不變．B.向左平行移動個單位長度，橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變．C.向右平行移動個單位長度，橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變．D.向右平行移動個單位長度，橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變．【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)圖象的平移和伸縮變換,得到由y＝cosx變換為的方式.【詳解】解:要得到函數(shù)的圖象,只需要將函數(shù)y＝cosx的圖象向左平移個單位,得到y(tǒng)＝cos(x),再把橫坐標縮短為原來的,縱坐標不變即可.故選:B.【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖象的平移和伸縮變換,屬基礎題.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第3頁/共19頁【分析】根據(jù)圖象結合五點法可得，即可得函數(shù)解析式.【詳解】設的最小正周期為，由圖可知，，即，且，所以，此時，將代入得，即，且，則，可得，解得，所以.故選：D.7.若定義域均為的函數(shù)，滿足：，且，使得，則稱與互為“親近函數(shù)”已知與互為“親近函數(shù)”，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性知是的唯一零點，根據(jù)“親近函數(shù)”的定義可知在內(nèi)存在零點，利用換元法，分離參數(shù)后結合對勾函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】在上為增函數(shù)，且，故是的唯一零點，要使和互為“親近函數(shù)”，則存在，使得，即在內(nèi)存在零點，所以方程有解，令，則，第4頁/共19頁故，易知不是此方程的解當時，有，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，，故的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于弄清“親近函數(shù)”的定義，求得的唯一零點，從而可得在內(nèi)存在零點，結合換元法求解即可.8.已知函數(shù)恰有兩個對稱中心在區(qū)間上，且，則的所有可能取值之和是（）A.6B.C.D.16【答案】D【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)結合對稱中心個數(shù)分類求出的值.【詳解】函數(shù)，其最小正周期，由函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個對稱中心，得，即，解得，又，則當是函數(shù)圖象對稱軸時，，解得，此時或，或；當與為周期長的區(qū)間兩個端點時，，解得，符合題意，所以的所有可能取值之和是.故選：D求出是關鍵.二、多選題9.下列說法正確的是（）第5頁/共19頁A.若函數(shù)的定義域為[0，2]，則函數(shù)的定義域為[0，1]B.若函數(shù)過定點，則函數(shù)經(jīng)過定點C.冪函數(shù)在是增函數(shù)D.圖象關于點成中心對稱【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域判斷A；根據(jù)函數(shù)圖像平移判斷BD；根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷C.【詳解】對于A，若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為，故A錯誤；對于B，函數(shù)向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到函數(shù)圖像，由于過定點，故函數(shù)經(jīng)過定點，B正確；對于C，冪函數(shù)在是減函數(shù)，由于，定義域為，，在C正確；對于D，，其圖像由向左平移2個單位，再向上平移2個單位得到，且圖像關于原點對稱，故圖像關于點成中心對稱，D正確.故選：BCD10.已知角滿足，則（）A.0B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知條件可得，然后利用同角三角函數(shù)的關系求出，再化簡計算第6頁/共19頁即可得答案【詳解】由，得，所以，則，化簡整理得，所以，或，當時，，所以當時，，當時，，當時，，故選：ACD已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當時，，則（）A.的周期為B.C.的所有零點之和為D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意由的奇偶性和對稱性分析的周期判斷A；結合已知結合對稱性得，，，，進而利用周期性求和判斷B；的零點可看作與的圖象交點的橫坐標，作出與的圖象，根據(jù)中心對稱即可判斷C；結第7頁/共19頁合與的函數(shù)值的符號，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)和周期性判斷D.【詳解】由為偶函數(shù)，得，即，函數(shù)的圖象關于直線對稱，由為奇函數(shù)，得，即，則，的圖象關于點對稱，因此函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，A錯誤；由當時，，得，而，，，因此，B正確；的零點可看作與的圖象交點的橫坐標，作出與的圖象，觀察圖形知，直線與的圖象共有個交點，且它們關于點成中心對稱，所以所有零點之和為，C正確；當時，，，與均為奇函數(shù)，則當時，因此當時，，又與的周期都為，所以，D正確．故選：BCD第8頁/共19頁【點睛】結論點睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結論：（1關于直線關于點中心對稱，則，反之也成立；（2的周期為.三、填空題12.函數(shù)的對稱中心為________.【答案】【解析】【分析】利用正切函數(shù)的對稱中心求解.【詳解】令，解得，所以的對稱中心為，故答案為：13.若函數(shù)，則的解集為____________【答案】【解析】【分析】做出函數(shù)的大致圖象，結合函數(shù)的單調(diào)性，把，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】由題意，做出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減函數(shù)，第9頁/共19頁又由，可得，解得，即的解集為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，其中解答中當題設條件中出現(xiàn)“”考查了推理論證能力以及數(shù)形結合思想.14.已知實數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】將原恒成立問題轉(zhuǎn)化為求，利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)求得最值，然后對分類討論去絕對值求其最值即可.【詳解】當對對任意，不等式恒成立時，又，，而，當且僅當時等號成立，第10頁/共19頁故所以，即，要取最大值，則必有，兩邊平方整理得，所以當時，，當時，，所以，所以，當時，，所以，所以，當時，，所以，所以，當時，，所以，所以，綜上所述：的最大值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)求出，另外遇到絕對值可以分類討論去絕對值處理.四、解答題15.已知角頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點．第11頁/共19頁（1）求；（2）求的值；（3）若角是三角形內(nèi)角，且，求的值．【答案】（1）；（2）（3）或1【解析】1）根據(jù)角終邊過點，利用三角函數(shù)的定義求解；（2）由（1）得到，根據(jù)，利用商數(shù)關系求解；（3）由，得到，由（1）得到，再和，利用兩角差正弦公式求解.【小問1詳解】解：因為角終邊過點，所以點P到原點的距離為，所以；【小問2詳解】由（1）知：，所以，第12頁/共19頁；【小問3詳解】因為是三角形內(nèi)角，且，所以，由（1）知：，所以，當時，，；當時，，.16.已知函數(shù).（1）求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】1）易得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）由得到，根據(jù)，得到，則由求解.第13頁/共19頁【小問1詳解】，，令，，則，，故該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，；【小問2詳解】對任意，都有可得，所以，又，所以，要滿足對任意，都有，則有，解得：，所以實數(shù)的取值范圍為.17.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)f（x）在x[﹣1，1]上的值域；（2）若函數(shù)f（x）在實數(shù)集R上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）2）.【解析】【分析】（12）轉(zhuǎn)第14頁/共19頁化為，再通過換元轉(zhuǎn)化為有正根，分，和三種情況討論，求的取值范圍.1）根據(jù)題意，當時，，設t＝2x，則，∴，；（2），即令，所以（*）有正根，設（*）的兩根為t，t2當a＜0時，即可，即1+8a≥0，解得；當a＝0時，t＝1符合；當a＞0時，，顯然符合題意，故實數(shù)a的取值范圍．【點睛】本題考查與指數(shù)函數(shù)有關的二次函數(shù)，一般都需通過換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)分析問題，需注意換元時，中間變量的取值范圍.18.筒車發(fā)明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一種古老的提水設備，距今已有1000多年的歷史，它以水流作動力，取水灌田.如圖，為了打造傳統(tǒng)農(nóng)耕文化，某景區(qū)的景觀筒車直徑12米，有24個盛水筒均勻分布，分別寓意一年12個月和24節(jié)氣，筒車轉(zhuǎn)一周需48秒，其最高點到水面的距離為10米，每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，盛水筒（視為質(zhì)點）的初始位置到水面的距離為7米.（1）盛水筒經(jīng)過秒后到水面距離為米，求筒車轉(zhuǎn)動一周的過程中，關于的函數(shù)解析式；（2正上方距離水面8米處正中間設置一個寬4米的水平盛水槽，筒車受水流沖擊轉(zhuǎn)到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒轉(zhuǎn)一圈的過程中，有多長時間能把水倒入第15頁/共19頁盛水槽.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1），（2）秒【解析】1）首先以點為原點，建立平面直角坐標系，利用三角函數(shù)表示；（2）由題意轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為三角不等式問題，即可求解.【小問1詳解】以簡車中心為原點，與水面平行的直線為軸建立平面直角坐標系，由題知，，又筒車半徑為6，點的縱坐標為3，則，由題知，，解得，，故，；【小問2詳解】如圖，作弦平行且等于盛水槽，則在中，，，，則，則距離水面的高度，盛水筒轉(zhuǎn)到盛水槽的正上方（即第16頁/共19頁即當時符合題意，則，即，解得，因為，所以盛水筒轉(zhuǎn)一圈的過程中，能把水倒入盛水槽的時間為秒.19.已知函數(shù)內(nèi)的任意實數(shù)及給定的非零常數(shù)，恒有成立，則稱函數(shù)是上的“級遞減類周期函數(shù)”，類周期為；若恒有成立，則稱函數(shù)是上的“級類周期函數(shù)”，類周期為．（1）判斷函數(shù)是不是上的類周期為1的“2級遞減類周期函數(shù)”，并說明理由．（2是在上的“級類周期函數(shù)”在上嚴格單調(diào)遞增，當時，．求當時，函數(shù)的解析式，并求實數(shù)的取值范圍．（3）是否存在非零實數(shù)，使函數(shù)是上的類周期為的“級類周期函數(shù)”？給出結論并證明你的結論．【答案】（1）函數(shù)是上的類周期為1的2級遞減類周期函數(shù)，理由見解析（2），（3）存在，證明見解析【解析】1）利用P級遞減周期函數(shù)定義，計算驗證作答.（2）根據(jù)給定條件，利用P級周期函數(shù)定義，依次計算時解析式，根據(jù)規(guī)律寫出結論作答.（3）假定存在符合題意的k值，利用P級周期函數(shù)定義列出方程，探討方程解的情況即可作答.【小問1詳解】依題意，函數(shù)的定義域是，第17頁/共19頁，即任意成立，所以函數(shù)是上的類周期為1的2級遞減類周期函數(shù)．【小問2詳解】因為是在上的級類周期函數(shù)，類周期，所以，即，而當時，，當時，，；當時，，則；當時，，則；當時，，則．并且有當時，；當時，；當時，；當時，．因在上嚴格單調(diào)遞增，則有解得，所以當時，，且．【