球溪高級中學學年（上）高三期末考試（普通班）數學考生注意：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分上.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題紙上對應題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號寫在本試卷上無效回答非選擇題時，將答案寫在答題紙上寫在本試卷上無效.考試結束后，將本試卷與答題卡一并由監考人員收回.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求解分式不等式，再利用交集定義即可求得.【詳解】由可得：，即，解得或，故,因，則．故選：C2.已知復數，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】計算兩復數?？傻么鸢?第1頁/共18頁【詳解】虛數不能比較大小，，，故．故選：B3.已知向量，，若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由向量平行的坐標表示可得，然后可得答案.【詳解】因為，所以，解得，所以．故選：A4.設為數列前項和，若，則的值為（）A.8B.4C.D.【答案】D【解析】【分析】易知數列前和求出通項公式，再由等比數列的性質化簡求得結果.【詳解】當時，，∴，當時，，則，∴，即數列是首項，公比的等比數列，即，∴故選：D.5.為了配合調配水資源，某市欲了解全市居民的月用水量.若通過簡單隨機抽樣從中抽取了1000戶進行調查，得到其月用水量的平均數為9噸，則可推測全市居民用戶月用水量的平均數（）A.一定為9噸B.高于9噸C.約為9噸D.低于9噸【答案】C第2頁/共18頁【解析】【分析】由樣本估計總體相關知識即可求解.【詳解】推測全市居民用戶月用水量的平均數是估計值，約為9噸.故選：C.6.已知，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用輔助角公式、兩角和與差的正弦公式即可求解.【詳解】因為，所以，即.故選：A.7.如圖，一個三階魔方由27個單位正方體組成，把魔方的中間一層轉動了45°之后，表面積增加了（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第3頁/共18頁【分析】結合圖形可得新增了16個全等的小三角形面積，結合題意可得小三角形為等腰直角三角形，設其直角邊為x，由可得x，即可得答案.【詳解】由題設分析如下圖，轉動了45°后，此時魔方相對原來多出了16個小三角形的面積，顯然小三角形為等腰直角三角形且周長為3，設其直角邊為x，則斜邊為，則，解得．由幾何關系得1個小三角形的面積為，所以增加的面積為．故選：A8.已知函數，若關于的方程有2個不相等的實數解，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，轉化為與的圖象有2個交點，分、和，三種情況討論，結合導數的幾何意義與函數的圖象，即可求解.【詳解】由題意，關于的方程有2個不相等的實數解，即與的圖象有2個交點，如圖所示，第4頁/共18頁當，直線與的圖象交于點，又當時，，故直線與（）的圖象無公共點，故當時，與的圖象只有一個交點，不合題意；當，直線與曲線（）相切時，此時與的圖象有2個交點，設切點，則，又由過點，所以，解得，所以；當時，若，則，由，可得，所以當時，直線與的圖象相切，由圖得當時，直線與的圖象有2個交點．綜上所述，實數的取值范圍是．故選：C．36分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數的導函數為的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）第5頁/共18頁A.在上單調遞增B.在上單調遞減C.在處取得極小值D.在處取得極大值【答案】ACD【解析】【分析】根據導函數與函數的單調性和極值的關系求解.【詳解】當時，單調遞增，由圖可知時，，單調遞增，故A正確；當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，故B錯誤；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以在處取得極小值，故C正確；當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以在處取得極大值，故D正確.故選：ACD.10.已知拋物線的焦點為Fl且與x軸交于點QP是lPF與拋物線交于M，N兩點，若，則（）第6頁/共18頁A.B.C.D.【答案】ABC【解析】得到關于的二次方程，最后利用根與系數的關系結合拋物線的定義即可求逐項判斷.C:拋物線的焦點為，C正確；對D,設,，,，，到準線的距離分別為，，由拋物線的定義可知，，于是．，則直線的傾斜角為或，斜率為，因為，故，D錯誤；對AB:,，直線的方程為，將，代入方程，并化簡得，，于是．,故AB正確；故選：ABC．已知函數，下列命題正確的是（）第7頁/共18頁A.函數的初相位為B.若函數的最小正周期為，則C.若，則函數的圖象關于直線對稱D.若函數的圖象關于直線對稱，則的最小值為1【答案】ACD【解析】【分析】根據初相位的概念，可判斷A的正誤；根據最小正周期公式，可判斷B的正誤，根據的對稱性，代入計算，即可判斷C、D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A，根據解析式，可得的初相位為，故A正確；對于B：若的最小正周期為，則，解得，故B正確；對于C：若，則，當時，，，所以函數的圖象關于直線對稱，故C正確；對于D：若函數的圖象關于直線對稱，則，解得，又，所以的最小值為1，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，且它們的離心率互為倒數，是與的一個公共點，則的面積為__________.【答案】6【解析】【分析】根據題意和雙曲線標準方程可推出橢圓的值，根據橢圓與雙曲線定義可求出的值，根據三邊關系即可求出面積.【詳解】由題可知，的離心率為2，則的離心率為，則.第8頁/共18頁根據對稱性，不妨設在第一象限，則，解得，則，所以為直角三角形，則的面積為.故答案為：6.13.已知函數的方程恰有5個不同的實數解，則實數的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】利用換元法結合函數圖象分析方程的根的情況即可.【詳解】作出函數的大致圖象，如圖所示，令，則可化為，則或，則關于的方程恰有5個不同的實數解等價于的圖象與直線的交點個數之和為5個，由圖可得函數的圖象與直線的交點個數為2，所以的圖象與直線的交點個數為3個，即此時，解得.故答案為：.第9頁/共18頁14.某市政府決定派遣8男3女）分成兩個小組，到該市甲、乙兩個縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少3人，且女干部不能單獨成組，則不同的派遣方案共有_________種.（用數字作答）【答案】180【解析】【分析】由派遣8名干部分成兩個小組，每組至少3人，可得分組的方案有3、5和4、4兩類，分別求得兩類分法的種數，再由分類計數原理，即可求解．【詳解】由題意，派遣8名干部分成兩個小組，每組至少3人，可得分組的方案有3、5和4、4兩類，第一類有種；第二類有種，由分類計數原理，可得共有種不同的方案.【點睛】本題主要考查了分類計數原理，及排列、組合的應用，其中解答中根據題意合理分組，分別求得兩組分法的種數，再由分類計數原理求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．四、解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內角，，的對邊分別為，，，且滿足．（1）求；（2）若，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】1）由正弦定理及三角恒等變換化簡得解；（2）由余弦定理及三角形面積公式計算得解.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理得，所以，，第10頁/共18頁即．因為，所以．由于，所以．【小問2詳解】由余弦定理，得，解得或所以，所以的面積．16.已知函數，其中.（1）求函數的單調區間；（2）若在上單調遞增，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】1）求導，分和兩種情況，結合導數符號判斷原函數的單調性；（2）分析可知在上恒成立，令，利用導數求其最值，結合恒成立問題分析求解.【小問1詳解】由題意可知：的定義域為，且，當時，由于，所以恒成立，從而在上單調遞增；當時，若則，；若，則；可知在上單調遞增，在上單調遞減.第11頁/共18頁綜上所述：當時，的單調遞增區間為，沒有單調遞減區間；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.【小問2詳解】因為，則，若在上單調遞增，可知在上恒成立，即在上恒成立，令，則，若，當趨近于，可知趨近于；若，當時，；當時，；可知內單調遞減，在內單調遞增，則的最小值為，可得，解得，所以實數的取值范圍為.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面PAD為等腰直角三角形，且，F為棱PCADF與棱PB交于點E．（1）求證：平面ABCD．第12頁/共18頁（2）若，且平面平面ABCD，求異面直線PB與DF所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）由底面ABCD是正方形，可得，進而可得平面PBC．然后由線面平行性質可得，即可完成證明；（2）以A為坐標原點，AB，AD，AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，然后由，結合題意可得，對應坐標，即可得答案.【小問1詳解】因為底面ABCD是正方形，所以，因為平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又因為平面ADFE，平面平面，所以，因為平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD．【小問2詳解】因為平面平面ABCD，平面平面，，平面PAD，所以平面ABCD，又由四邊形ABCD為正方形，得．以A為坐標原點，AB，AD，AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．由可得，又，則，即，又由（1），則，得則，因所以，所以，．設異面直線PB與DF所成的角為，第13頁/共18頁，故異面直線PB與DF所成角的余弦值為．18.已知、是雙曲線的左、右焦點，直線經過雙曲線的左焦點，與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點.（1）求直線斜率的取值范圍；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】1的方程為置關系可得出關于實數的不等式組，即可解得的取值范圍；（2）設直線的方程為，設點、，由平面向量的坐標運算可得出，將直線的方程與雙曲線的方程聯立，結合韋達定理求出的值，可得出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】第14頁/共18頁解：在雙曲線中，，，則，該雙曲線的左焦點為設直線的方程為，設點、，聯立可得，因為直線與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點，所以，，解得，因此，直線的斜率的取值范圍是.【小問2詳解】解：因為，，由可得，則，當直線與軸重合時，則點、，，，此時，，不合乎題意，設直線的方程為，聯立可得，由（1）可得，則或，第15頁/共18頁由韋達定理可得，則，，即，解得，則，所以，.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的取值范圍問題的求解方法（1）函數法：用其他變量作為參數，建立函數關系，利用求函數值域的方法求解．（2）不等式法：根據題意建立含參數的不等式，通過解不等式求參數的取值范圍．（3）判別式法：建立關于某變量的一元二次方程，利用根的判別式求參數的取值范圍．（4）數形結合法：研究參數所表示的幾何意義，利用數形結合思想求解．19.列的一次“和擴充”經過第一次“和擴充”后得到數列“和擴充”后得到數列．設數列經過次“和擴充”后得到的數列的項數為，所有項的和為．（1）若，求；（2）求不等式的解集；（3）是否存在數列，使得數列為等比數列？請說明理由．【答案】（1）（2）（3）或【解析】1）根據題意得到第二次“和擴充”后得到數列，從而計算出；（2）數列經每一次“和擴充”后是在原數列的相鄰兩項中增加一項，數列經過次“和擴充”后得到的數列的項數為，則經第次“和擴充”后增加的項數為，得到，構造等比數列，求出，從而得到不等式，求出解集；第16頁/共18頁（3）得到，從而利用累加法求和得到，從而得到結論.【小問1詳解】，第一次“和擴充”后得到數列，第二次“和擴充”后得到數列，；【小問2詳解】數列經每一次“和擴充”后是在原數列的相鄰兩項中增加一項，數列經過次“和