第2節(jié)空間幾何體表面積與體積最新考綱了解球、棱柱、棱錐、臺表面積和體積計算公式.1/391.多面體表(側(cè))面積多面體各個面都是平面，則多面體側(cè)面積就是全部側(cè)面面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和.知

識

梳

理2/392.圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝________S圓錐側(cè)＝______S圓臺側(cè)＝____________2πrlπrlπ(r1＋r2)l3/393.柱、錐、臺和球表面積和體積Sh4πR24/39[慣用結(jié)論與微點提醒]1.長方體外接球2.正方體外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切球5/393.正四面體外接球與內(nèi)切球(正四面體能夠看作是正方體一部分) 6/39診斷自測1.思索辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)錐體體積等于底面面積與高之積.(

)(2)球體積之比等于半徑比平方.(

)(3)臺體體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體體積之差.(

)7/39解析(1)錐體體積等于底面面積與高之積三分之一，故不正確.(2)球體積之比等于半徑比立方，故不正確.答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)√8/392.已知圓錐表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓半徑為(

)解析

S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).答案

B9/393.(·浙江卷)某幾何體三視圖如圖所表示(單位：cm)，則該幾何體體積(單位：cm3)是(

)10/39答案A11/394.(·全國Ⅱ卷)體積為8正方體頂點都在同一球面上，則該球表面積為(

)答案

A12/3913/3914/396.(·浙江卷)某幾何體三視圖如圖所表示(單位：cm)，則該幾何體表面積是______cm2，體積是______cm3.15/39解析由三視圖可知，該幾何體為兩個相同長方體組合，長方體長、寬、高分別為4cm、2cm、2cm，其直觀圖以下：其體積V＝2×2×2×4＝32(cm3)，因為兩個長方體重合部分為一個邊長為2正方形，所以表面積為S＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm2).答案72

3216/39考點一空間幾何體表面積【例1】(1)某幾何體三視圖如圖所表示，則該幾何體表面積等于(

)17/39A.17π B.18π C.20π D.28π18/39解析

(1)由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所表示.19/39(2)由題知，該幾何體直觀圖如圖所表示，它是一個球(被過球心O且相互垂直三個平面)答案

(1)B

(2)A20/39規(guī)律方法空間幾何體表面積求法.(1)以三視圖為載體幾何體表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間位置關(guān)系及數(shù)量.(2)多面體表面積是各個面面積之和；組合體表面積注意銜接部分處理.(3)旋轉(zhuǎn)體表面積問題注意其側(cè)面展開圖應用.21/39【訓練1】(1)(·全國Ⅲ卷)如圖所表示，網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1，粗實線畫出是某多面體三視圖，則該多面體表面積為(

)22/39(2)(·全國Ⅰ卷)某多面體三視圖如圖所表示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體各個面中有若干個是梯形，這些梯形面積之和為(

)A.10 B.12 C.14 D.1623/39答案

(1)B

(2)B24/39考點二空間幾何體體積【例2】(1)(一題多解)(·全國Ⅱ卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1，粗實線畫出是某幾何體三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體體積為(

)A.90π

B.63π C.42π

D.36π25/39(2)(·浙江卷)如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外點P和線段AC上點D，滿足PD＝DA，PB＝BA，則四面體PBCD體積最大值是________.解析(1)法一

(割補法)由幾何體三視圖可知，該幾何體是一個圓柱被截去上面虛線部分所得，如圖所表示.26/3927/3928/39規(guī)律方法

空間幾何體體積問題常見類型及解題策略(1)若所給定幾何體是可直接用公式求解柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解.(2)若所給定幾何體體積不能直接利用公式得出，則慣用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進行求解.(3)若以三視圖形式給出幾何體，則應先依據(jù)三視圖得到幾何體直觀圖，然后依據(jù)條件求解.29/39(2)(·浙江卷改編)某幾何體三視圖如圖所表示(單位：cm)，則該幾何體體積是________cm3.30/39(2)由三視圖可知該幾何體是由棱長為2cm正方體與底面邊長為2cm正方形、高為2cm正四棱錐組成.31/39考點三多面體與球切、接問題(變式遷移)解析由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球體積V最大，則球與直三棱柱部分面相切，若球與三個側(cè)面相切，設(shè)底面△ABC內(nèi)切圓半徑為r.32/39答案

B33/39【變式遷移1】

若本例中條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC－A1B1C16個頂點都在球O球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O表面積.解將直三棱柱補形為長方體ABEC－A1B1E1C1，則球O是長方體ABEC－A1B1E1C1外接球.∴體對角線BC1長為球O直徑.34/39【變式遷移2】

若本例中條件變?yōu)椤罢睦忮F頂點都在球O球面上”，若該棱錐高為4，底面邊長為2，求該球體積.解如圖，設(shè)球心為O，半徑為r，35/39規(guī)律方法

空間幾何體與球接、切問題求解方法(1)與球相關(guān)組合體問題，一個是內(nèi)切，一個是外接.球與旋轉(zhuǎn)體組合通常是作它們軸截面解題，球與多面體組合，經(jīng)過多面體一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.(2)若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，可結(jié)構(gòu)長方體或正方體確定直徑處理外接問題.36/39【訓練3】(1)(·全國Ⅲ卷)已知圓柱高為1，它兩個底面圓周在直徑為2同一個球球面上，則該圓柱體積為(

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